Transcript 9. 求数列的通项公式

怎样求数列的
通项公式
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复习等差数列和等比数列的通项公式：
①. 等差数列的通项公式：
等差数列的通项公式：
a n = a 1 + ( n –1 ) d .
②. 等比数列的通项公式：
等比数列的通项公式：
a n = a 1 q n –1 .
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1. 观察法求数列的通项公式：
有些数列，通过观察各项的变化规律，就可以写
出通项公式 .
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例 1 写出下列各数列的一个通项公式：
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（1） -1，4，-9，16，-25，36，· · · ；
解： a n = (-1) n · n2 . ( 如果数列是正负相间的, 把
相应的关于 n 的式子乘以 (-1)n 或 (-1)n+1 就可以了).
（2） 2， 3， 5， 9， 17， 33， · · · ；
解：an = 2n- 1 + 1 .
1
1
3
5
7
,  ,  ,  , 
, ;
2
4
8
16
32
3  2n
解：an 
.
n
2
(3)
1 5 11 19 29
, ,
,
,
, ;
2 6 12 20 30
n(n  1)  1
解 ：an 
.
n(n  1)
注：如果数列的各项是分数，则可以把分子和
分母分别考察，看它们各有什么样的变化规律，以
上两个小题都可以这样考虑.
(4)
(5)
3 13 31 57 91 133
,
,
,
,
,
, .
2 4
6
8 10 12
解：数列中分子不易观察出通项公式，由于各项
都是假分数，我们把它们都变成带分数，
1
1
1
1
1
1
1
, 3 , 5 , 7 , 9
, 11
, 
2
4
6
8
10
12
1
由此便可看出其通项公
式为：an  2n  1  .
2n
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2. 逐差法：
例 2 在 数 列{an } 中 ， 若a1  a, 且
1
an1  an 
(n  1 , 2 , 3 ,  ). 求 数 列 的 通 项
n(n  1)
公 式.
1
1
1
解：由递推式得 ak 1  ak 
 
.
k (k  1) k k  1
令 k = 1 ，2 ，3 ，· · · ，n – 1 ，得
1 1
1 1
1 1
a2  a1   , a3  a2   , a4  a3   ,
1 2
2 3
3 4
1
1
 .
n 1 n
以上诸式左右两边分别相加，得
 an  an1 
1
an  a1  1  (n  2) ,
n
1
an  a  1  .
n
•
当 n = 1 时，a1 = a 亦适合上式 ，
1
所以数列的通项公式为an  a  1 .
n
注：这种方法实质上是利用了公式
an -a1= (a2 -a1) + (a3 -a2) + (a4-a3) + · · · + (an- a n-1)
因而称为逐差法 .
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3. 利用数列前 n 项和 S n 求通项公式：
数列前 n 项和 Sn 与 an 之间有如下关系：
a1  S1
a  S  S (n  2) , 由 此 即 可 由S n 求 an .
n
n1
 n
例3
已知 Sn = 2 n2 + n –1 ，求数列的通项公式 an .
解：an = Sn - Sn-1
= ( 2 n2 + n –1 ) -[ 2 (n- 1)2 + (n –1) - 1 ]
=4n– 1(n2).
a1 = S1 = 2 × 1 2 + 1 – 1 = 2 .
a1  2
 数 列 通 项 公 式 为
an  4n  1 (n  2) .
有时，所给数列的通项 an 正好是另外某一数列的
前 n 项和，只要求得此和，即可求得 an .
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例4 求下列数列的通项公式：
（1）2，22，222，2222，· · · （逐项依次多数字2）
（2）0.23，0.2323，0.232323，· · · （逐项依次多数
字23）.
n个2
位





n


解 ： （1）an  222 2  2  20  200   2000
2(1  10n )
2

 (10n  1) (这是等比数列的前
n
1  10
9
项和，a1  2, q  10) .
（2）解法同上，此小题留给同学们完成，其答案
为：
23
1
an 
(1  2 n ) .
99
10
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4. 借助于等差、等比数列求通项公式：
例 5 设数列 { a n } 的前 n 项和 Sn 与 an 的关系
是，Sn = k an + 1 ( 其中 k 是与 n 无关的实数，且 k 
0， k  1)，求这个数列通项公式.
解：an+1 = Sn+1 – Sn = ( k an+1 + 1 ) - ( k an + 1 )
 an+1 = k an+1 - k an
 k  1 ,  an1 
k
an .
k 1
由题设，S1 = k a1 + 1，即 a1 = k a1 + 1 (S1 = a1)，
1
.
 a1  0 且 an  0 (注意k  0) .
1 k
a n1
k


. 所以数列{ a n } 为等比数列 .
an
k 1
a1 
 an
1

1 k
k  n1
k n1


 
.

n
(k  1)
 k 1
例 6 在数列{ a n } 中，a1 = 1，且
n a n+1 = (n+1) an + 2n(n+1) (n = 1，2，3，   ) ，
求数列的通项公式 .
an1 an
解：由题设条件，得

 2 (n  1, 2, 3, )
n 1 n
an
令
 bn , 则 bn1  bn  2 .
n
a1
 {bn} 为等差数列，首项
b1 
 1 , 公差为2 .
1
 bn = 1 + 2 ( n –1 ) = 2n -1 .
an

 2n  1 .
n
数列的通项公式为 an = n ( 2n – 1 ) .
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5. 分类法：
若把数列的项分为奇数项、偶数项两类，且奇
数项和偶数项与其项数的关系容易求出，不妨设数
列{ an } 的通项为
当 n为 奇 数 ，
 f (n)
an  
则数列的通项公式为
当 n为 偶 数 ，
 g (n)
(1) n
1
an  [ f (n)  g (n)] 
[ f (n)  g (n)] .
2
2
例 7 求下列数列的通项公式：
2，0，2，0，2，0，· · · ( 2，0 交替出现 ) .
当n为 奇 数 ，
2
解 ： 显 然 an  
当n为 偶 数 ，
0
(1) n
1
 an  (2  0) 
(2  0)  1  (1) n1 .
2
2
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6. 归纳法（只作介绍即可）：
例8
在 数 列{a n }中 ， 若a1  1， 且an1
(n  N *)， 求 数 列 的 通 项 公 式
.
an

1  an
a1
1
1
解：由题设条件，得
a1  1，a2 

 .
1  a1 1  1 2
a2
a3 

1  a2
1
2
1
 ,
1 3
1
2
1
a4
1
4
a5 

 ,
1  a4
1 5
1
4
a3
a4 

1  a3
1
3
1
 ,
1 4
1
3
1
可以猜想 an  .
n
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下面用数学归纳法证明上面的结论：
① 当 n = 1 时，公式显然成立 .
1
② 假设当 n  k 时公式成立，即
ak  .
k
1
ak
1
当 n  k  1 时 ，ak 1 
 k 
.
1  ak
1 k 1
1
k
所以当 n = k + 1 时公式也成立 .
由①、②可知，公式对任何正整数 n 都成立 .
 数列的通项公式为
an 
1
.
n
注：“观察——猜想——证明”是求数列通项公式的基本
方法之一，通过观察前面的若干项，来发现通项公式的构造
规律，而后再用数学归纳法加以证明，我们把这种求通项公
式的方法称为归纳法.