Transcript 1等差數列

1
§1-1 等差數列---數列

將一些數依序排成一列，我們通常稱之
為數列。
例:
1，2，3，4，5，6，7、、、
1，3，5，7，9，11、、、
2，4，6，8，10、、、
2
生活中的數列
1
2
1
2
3
1
2
3 4
3
生活中的數列
經緯度
4
生活中的數列
時間
5
生活中的數列
時間
6
生活中的數列
日期
7
生活中的數列
電話
8
生活中的數列
收音機
9
生活中還有許多數列，
是無法拍攝的，
例如：
你心跳的規律
爸媽協奏的酣聲
‧ ‧ ‧ ‧ ‧ ‧ ‧ ‧ ‧
10
仔細觀察，
你會在日常生活中
發現更多規律性的數列！
11
§1-1 等差數列---數列

將一些數依序排成一列，我們通常稱之
為數列。
例:
1，2，3，4，5，6，7、、、
1，3，5，7，9，11、、、
2，4，6，8，10、、、
12

＊ 1
3
5
？
9
11
？

※ 2
4
6
8
10
？
？

＃ 5
15
20
？
30
35

￡100
？
300
400
500
600
13

大明每天存50元，共存了10天，依序列
出他每天的存款總額，就是如下的數列：
50，100，150，______，______，
300，______， _______， ______，
_______。
14


小明坐計程車，計程車費是70元起跳，
每一次跳5元，他坐車時共跳8次，依次
計算出每跳一次的車資金額，就是如下
的數列：
75，80，_______，_______，95，
_______，_______，_______。
15
名詞介紹
項: 數列中的每一個數字均稱為項。
 第一項或首項;記為a1。
 第二項記為a2。第三項記為a3。依序類推
 最後一項稱為末項。
 第n項記為an。

16
隨堂練習
17
隨堂練習
18
例題練習
寫出下列數列的前五項
例 an=2n
例 an=3n
∴a1=2×1 = 2
∴a1=3×1
a2=3×2
a2=2×2 = 4
a3=3×3
a3=2×3 = 6
a4=3×4
a4=2×4 = 8
a5=3×5
a5=2×5 =10

=3
=6
=9
= 12
= 15
19
隨堂練習
寫出下列數列的前五項
(1) an=5n

(2) an=7n
(3) an=9n
20
例題練習

寫出下列數列的前五項
例 an=2n－1
∴a1=2×1－1 = 1
a2=2×2－1 = 3
a3=2×3－1 = 5
a4=2×4－1 = 7
a5=2×5－1 = 9
例
a n= n 2
∴a1= 12
a2= 22
a3= 32
a4= 42
a5= 52
=1
=4
=9
= 16
= 25
21
隨堂練習
寫出下列數列的前三項
(1) an=5n－1

(2) an=7n－2
(3) an=2n
22
等差數列---公差(d)

等差數列：
在一數列中，任意相鄰兩項，後項減前項
所得的差都一樣，我們就稱它為等差數列，
並稱這個差為公差。
例: 請問 1 、4 、7 、10 、13 此數列是否為等差數列？
解:
∵ 4－1＝3， 7－4＝3，
10－7＝3， 13－10＝3
∴此數列為等差數列（公差=3）； （d=3）
23
例題練習

例: 請問 50 、55 、60 、65 、70 、75 、80此
數列是否為等差數列？公差為？
解:
∵ 55－50＝5，60－55＝5，65－60＝5，
70－65＝5，75－70＝5，80－75＝5
∴此數列為等差數列（公差為5）
24
例題練習

例: 請問 18 、16 、14 、12 、10 、8此
數列是否為等差數列？公差為？
解:
∵ 16－18＝－2，14－16＝－2，
12－14＝－2，10－12＝－2，
8－10＝－2
∴此數列為等差數列（公差為－2）
25
26
隨堂練習

例: 請問 1 、4 、7 、13 、16 此 數列是否為等差
數列？公差為？

例: 請問 1 、1 、1 、1 、1 此 數列是否為等差
數列？公差為？
27
例題練習

例: 請問 50 、55 、65 、70 、75 、80 此
數列是否為等差數列？
解:
∵ 55－50＝5，65－55＝10， 70－65＝5，
75－70＝5，80－75＝5
∴此數列不是等差數列
28
例題練習

例: 請問 18 、14 、12 、10 、8 、16 此
數列是否為等差數列？
解:
∵ 14－18＝－4，12－14＝－2，
10－12＝－2， 8－10＝－2 ，
16－ 8＝＋8，
∴此數列不是等差數列
29
隨堂練習

例: 請問 1 、7 、13 、16 此 數列是否為等差
數列？

例: 請問 －1 、－1 、－1 、－1 、－1 此 數列
是否為等差數列？

例: 請問 5 、50 、500 、5000、50000 此 數列
是否為等差數列？
30

判別下列各數列，那些是等差數列（若是請寫出其公差）？
（1） 1，4，7，10，14
→ □不是
□是（公差＝ ） 等差數列
( 2 ) 1，2，4，8，16
→ □不是
□是（公差＝ ） 等差數列
( 3 ) 5，5，5，5，5
→ □不是
□是（公差＝ ） 等差數列
31

等差數列
3，6，9，12，15，18，21
(1) 首項或第一項為____ ，第二項為_____，
第三項為______，第四項為_______，
第五項為_______，第六項為_______，
第七項或末項為_______
→ａ１＝_______，ａ2＝______，ａ3＝_______，
ａ4＝________，ａ5＝______，ａ6＝_______，
ａ7＝________
(2) 項數為_______項
→n＝________
（3） 公差為___________
→d＝__________
32

公差＝後項－前項
例：有一等差數列為 10，8，6，4，2
公差＝8－10＝－2（或6－8＝－2等）

後項＝前項＋公差
例：有一等差數列為2，4，___，___，___
第三項＝第二項＋公差 ＝4＋2＝6
第四項＝第三項＋公差 ＝6＋2＝8
第五項＝第四項＋公差 ＝8＋2＝10
33

前項＝後項－公差
例：有一等差數列為____，____，_____，8，5，2
第三項＝第四項－公差 ＝8－（－3）＝11
第二項＝第三項－公差 ＝11－（－3）＝14
第一項＝第二項－公差 ＝14－（－3）＝17

靈活運用
例：有一等差數列為______，_____，7，3，______
第二項＝第三項－公差 ＝7－（－4）＝11
第一項＝第二項－公差 ＝11－（－4）＝15
第五項＝第四項＋公差 ＝3＋（－4）＝－1
34
在下列空格中填入適當的數，使每個數
列成為等差數列：
(1) ____，____，1，1，____，______

(2) ____，____，7，12，17，___，___
(3)－3，－7，_____，_____
35
例題練習

例:若等差數列的首項為2，公差為3，寫
出這個等差數列的前五項。

解:因首項為2，公差為3
∴2
5
8
11
3
3
3
14
3
a1=2 ，a2=5，a3=8，a4=11，a5=14
36
隨堂練習
(1) 若等差數列的首項為0，公差為4，寫出
這個等差數列的前五項。
(2) 若等差數列的首項為5，公差為－1，寫
出這個等差數列的前五項。
(3)若等差數列的首項為－5，公差為2，寫
出這個等差數列的前五項。
37
隨堂練習
(1)
等差數列的首項為a1，公差為d，寫出
該數列的前五項。
(2)
等差數列的首項為a1，公差為d，寫出
該數列的第六項與第十項 。
38
an＝a1＋(n－1)d

如果一個等差數列的首項為a1 ，公差為d，
第n項為an ，那麼
an＝a1＋(n－1)d

例:
等差數列 1, 4, 7, 10, 13, … 的首項a1 ＝
1，公差d＝3，則其第10項為多少？
解:
∵ an＝a1＋(n－1)d
a10＝1＋(10－1)×3＝28
39
an＝a1＋(n－1)d 練習
例:
等差數列的首項為3，公差為5，寫出該
數列的第五項和第十一項。
解:
∵ an＝a1＋(n－1)d
∴ a5＝3＋(5－1) × 5 ＝23
∴ a11＝3＋(11－1) × 5 ＝53
40
an＝a1＋(n－1)d 練習
例:
等差數列的首項為5，公差為5，寫出該
數列的第五項和第十一項。
解:
∵ an＝a1＋(n－1)d
∴ a5＝5＋(5－1) × 5 ＝25
∴ a11＝5＋(11－1) × 5 ＝55
41
隨堂練習
(1) 若等差數列的首項為0，公差為4，寫出
這個等差數列的第五項和第十項。
(2) 若等差數列的首項為5，公差為1，寫出
這個等差數列的第五項和第十項。
(3)若等差數列的首項為3，公差為2，寫出
這個等差數列的第六項和第十一項。
42
隨堂練習
(1) 若等差數列的首項為－2，公差為4，寫
出這個等差數列的第五項和第十項。
(2) 若等差數列的首項為5，公差為－1，寫
出這個等差數列的第五項和第十項。
(3)若等差數列的首項為－3，公差為－2，
寫出這個等差數列的第六項和第十一項。
43
an＝a1＋(n－1)d 進階
例:
等差數列的首項為2，公差為7，末項為
93，求該等差數列共有幾項？
解:
設該等差數列共有n項
∵ an＝a1＋(n－1)d
∴ 93＝2＋(n －1) × 7
91＝(n －1) ×7
13＝ n －1
∴ n ＝14
44
an＝a1＋(n－1)d 進階
例:
等差數列的首項為3，公差為10，末項
為93，求該等差數列共有幾項？
解:
設該等差數列共有n項
∵ an＝a1＋(n－1)d
∴ 93＝3＋(n －1) × 10
90＝(n －1) ×10
9 ＝ n －1
∴ n ＝10
45
an＝a1＋(n－1)d 進階練習
(1) 等差數列的首項為10，公差為7，末
項為80，求該等差數列共有幾項？
(2) 等差數列的首項為8，公差為4，末
項為88，求該等差數列共有幾項？
(3) 等差數列的首項為6，公差為10，末
項為76，求該等差數列共有幾項？
46
an＝a1＋(n－1)d 進階
例:
等差數列的首項為3，第十項為93，求
該等差數列公差為何 ？
解:
設該等差數列公差為d
∵ an＝a1＋(n－1)d
∴ 93＝3＋(10 －1) × d
90＝9 × d
10 ＝ d
∴公差＝10
47
an＝a1＋(n－1)d 進階
例:
等差數列的首項為2，第十四項為93，
求該等差數列公差為何 ？
解:
設該等差數列公差為d
∵ an＝a1＋(n－1)d
∴ 93＝2＋(14 －1) × d
91＝13 × d
7 ＝d
∴公差＝7
48
an＝a1＋(n－1)d 進階練習
(1)等差數列的首項為10，第八項為80，求
該等差數列公差為何 ？
(2)等差數列的首項為8，第九項為88，求
該等差數列公差為何 ？
(3)等差數列的首項為6，第十一項為86，
求該等差數列公差為何 ？
49
an＝a1＋(n－1)d 進階
例:
等差數列的公差為10，第十項為100，
求該等差數列首項為何 ？
解:
設該等差數列首項為a1
∵ an＝a1＋(n－1)d
∴ 100＝ a1 ＋(10 －1) × 10
100＝ a1 ＋9 × 10
10 ＝ a1
∴首項＝10
50
an＝a1＋(n－1)d 進階
例:
等差數列的公差為5，第十項為100，求
該等差數列首項為何 ？
解:
設該等差數列首項為a1
∵ an＝a1＋(n－1)d
∴ 100＝ a1 ＋(10 －1) × 5
100＝ a1 ＋9 × 5
55 ＝ a1
∴首項＝55
51
an＝a1＋(n－1)d 進階練習
(1) 等差數列的公差為5，第十項為50，求
該等差數列首項為何 ？
(2) 等差數列的公差為4，第九項為40，求
該等差數列首項為何 ？
(3) 等差數列的公差為8，第九項為100，
求該等差數列首項為何 ？
52
an＝a1＋(n－1)d 進階
例:若等差數列的a5＝10， a10＝5 ，求:
(1) 公差為多少 ？
(2) 首項為多少 ？
(3) a15＝？
解: ∵ an＝a1＋(n－1)d
∴ 10＝ a1 ＋(5 －1) × d ---(1)
5＝ a1 × (10 －1) ×d ---(2)
解聯立方程式，得(1)公差d ＝－1
(2) a1 ＝14 (3) a15＝0
53
an＝a1＋(n－1)d 進階
例:若等差數列的a7＝13， a13＝7 ，求:
(1) 公差為多少 ？
(2) 首項為多少 ？
(3) a20＝？
解: ∵ an＝a1＋(n－1)d
∴ 13＝ a1 ＋(7 －1) × d ---(1)
7＝ a1 ＋ (13 －1) ×d ---(2)
解聯立方程式，得(1)公差d ＝－1
(2) a1 ＝19 (3) a20＝0
54
an＝a1＋(n－1)d 進階練習
(1)若等差數列的a4＝15， a9＝35 ，求:
(1) 公差為多少 ？
(2) 首項為多少 ？
(3) a14＝？
(2)若等差數列的a3＝27， a9＝15 ，求:
(1) 公差為多少 ？
(2) 首項為多少 ？
(3) a17＝？
55
an＝a1＋(n－1)d 進階練習
(1)若等差數列的a4＝21， a6＝15 ，求:
(1) 公差為多少 ？
(2) 首項為多少 ？
(3) a15＝？
(2)若等差數列的a10＝57， a21＝123 ，求:
(1) 公差為多少 ？
(2) 首項為多少 ？
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(3) a17＝？
57