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時間數列分析(一)
Time Series Analysis(一)
© 2002 Prentice-Hall, Inc.
Chap 16-1
時間數列分析(一)—概要






何謂時間數列?
時間數列分析之方法與目的。
時間數列之性質與組成四成分。
時間數列之模型。
時間數列之古典分析法—相乘模型分解法。
例題練習。
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Chap 16-2
時間數列分析(二)—概要







移動平均模型。
加權移動平均模型--指數平滑法。
最小平方趨勢配置和預測
Holt-Winters 方法。
時間數列自我迴歸模型分析法。
兩種預測準則。
例題分析。
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Chap 16-3
何謂時間數列?

人類社會的各種活動所產生的資料，如以發生
的時間來區分，則可分為橫斷面資料(cross
section data) 及時間數列資料(time series data)
兩種。

時間數列是依事件或資料發生的先後次序排列
的一群統計數據
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Chap 16-4
何謂時間數列?

時間數列資料指的是同一元素的同一特質(變數)
於不同時點或不同期間的資料，包括逐日的日
資料、週資料、月資料、季資料及年資料等。

例如




民國50年至87年每年台灣地區的國民所得資料l
1998年6月7日至9月23日每週的新台幣匯率資料
宏碁公司87年至88年每一季的電腦螢幕的銷售資料
87年8月4日至87年10月24日的每日台積電的股票交
易資料
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Chap 16-5
何謂時間數列?

分析時間數列是以時間為自變數(independent
variable)，各時間點所發生事件的數值為因變
數(dependent variable)。

時間數列一般表示為
Yt=f(t)
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Chap 16-6
圖例
Quarterly with Seasonal Components
25
20
Sales
15
10
5
0
0
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5
10
15
20
Time
25
30
35
Chap 16-7
時間數列分析方法

時間數列資料的分析方法約可分為







古典分析方法—分解法
平滑法
迴歸分析法
Box-Jenkins 方法—包括自我迴歸模型
計量經濟的方法
類神經網路的方法
本文僅介紹前三種方法及自我迴歸模型
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Chap 16-8
時間數列分析之目的




時間數列分析的目的在於觀察及分析過去的資
料，預測未來。以提供個人、企業乃至於政府
的決策參考。
企業單位對未來有關生產、銷售及存貨的預測
與計劃、新產品的發展、消費者的需求等。
政府部門對國民所得的估計、人力資源的規劃、
利率及物價水準的預測、投資需求的估計等。
時間數列主要用來預測，預測準確的衡量指標
為平均平方差及平均絕對差。
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Chap 16-9
時間數列的性質

時間數列中的觀察值是由四個影響分子組成







長期趨勢(trend)
循環變動(cyclical fluctuation)
季節變動(seasonal fluctuation)
不規則變動(irregular fluctuation)
各個觀察值通常互有關聯性，為時間相隔愈長，
關聯性愈小。
時間數列應依先後次序排列，不可任意變更。
時間數列的時間單位可以是年、季、月、週、
日等。
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Chap 16-10
時間序列的四個成分
Trend
Cyclical
Time-Series
Seasonal
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Random
Chap 16-11
長期趨勢



定義:時間數列資料在長期間呈現上升或下降的
持續變動的現象。
例如:銷售量、銷售收入、利潤、國民所得、人
口數量、消費支出、投資、利率等在長期間大
都會顯示出上升或下降的趨勢。
時間數列的長期趨勢可以用一條平滑的曲線來
表示，稱為長期趨勢線。
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Chap 16-12
各種長期趨勢的圖形
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Chap 16-13
循環變動



年資料的時間數列資料環繞著趨勢線的上下波
動的情形稱為循環變動。
循環變動通常是指一年以上的某一時間，實際
的時間數列觀察值高於趨勢線，而其他期間的
實際時間數列觀察值低於趨勢線的現象。
循環變動並無一定的時間長短，如經濟景氣循
環就是一個常見的、典型的循環變動。
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Chap 16-14
循環變動

循環變動包含了四個階段




上升或擴張(expansion)
高峰(peak)
下降或衰退(recession)
谷底(trough)
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Chap 16-15
圖例:循環變動
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Chap 16-16
季節變動



一年內的時間數列資料依週、月或季呈現規則
性的連續重複的變動稱為季節變動。
季節變動用來表示一年內連續重複的變動模式。
例如:




游泳池及海水浴場的營業收入集中於夏季。
百貨公司的營業收入在新年期間明顯高於其他季節
觀光旅遊集中於寒暑假
每月的平均雨量、平均溫度的變化
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Chap 16-17
圖例:季節循環
Quarterly with Seasonal Components
25
20
Sales
15
10
5
0
0
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5
10
15
20
Time
25
30
35
Chap 16-18
不規則變動



數列資料隨機的變動稱為不規則變動。
不規則變動是去除長期趨勢、循環變動及季節
變動三種成分後的殘差項。
不規則變動是不可預測的干活動。
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Chap 16-19
時間數列的模型

時間數列分析依據時間數列的四個組成份子的
數學關係，可分為


相加模型(additive model)
相乘模型(multiple model)
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Chap 16-20
相加模型

相加模型
Y=T+S+C+I
Y 表示 t 期的時間數列值，T，S，C，I 分別表
示四個組成份子:T 為長期趨勢，S 為季節變動，
C 為循環變動，I 為不規則變動。
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Chap 16-21
相加模型的意義





若S>0(<0)表示季節變動對Y有正的(負的)影響
若C>0(<0)表示景氣循環正在繁榮(衰退)
若I>0(<0)顯示有些隨機事件對Y有正的(負的)
影響
相加模型假設各個組成份子彼此獨立互不影響，
為該模型的最大缺點。
在現實的世界裡，任一個份子的變動有時會影
響其他份子的變動，因此在經濟活動中，此種
模型並不適合。
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Chap 16-22
相乘模型

相乘模型
Y=T*C*S*I

模型中 T 以原始單位來表示，S，C，I 則以百
分比來表示
相乘模型是假設時間數列資料的四個成分彼此
相互影響，而非獨立。
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Chap 16-23
相乘模型

由於季節變動只發生於一年的期間，因此對於
年資料沒有影響，故對年資料的相乘時間數列
模型表示為:
Y=T*C*I


若 S，C，I 中任何一個的數值大於 1，表示其
相對效果高於趨勢值，若小於 1，表示其相對
效果低於趨勢值。
就相加與相乘模型而言，通常會採用相乘模型。
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Chap 16-24
相乘模型例


根據大銘鞋店的會計資料，可得出1998年第一
季銷售額的四個成分如下:
T=215(萬元) ，C=0.75，S=1.1，I=0.9
根據乘法模型可得預測值為:
Y=T*C*S*I=(215)*(0.75)*(1.1)*(0.9)
=159.64
1998年第一季銷售額為159.64萬元，其中長期
趨勢為215萬元，但經濟景氣變動為長期趨勢
75%，季節因素高於趨勢10%，不規則變動則
低於長期趨勢10%，四成分相乘得159.64萬元
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Chap 16-25
時間數列之古典分析法



古典時間數列分析法式假設時間數列資料的四
個組成份子可以被分解出來，並加以衡量的分
析法。
分析時先設定四個組成份子的模型，再行分解。
回顧四個成分為:




長期趨勢
循環變動
季節變動
不規則變動
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Chap 16-26
長期趨勢之分析


線性趨勢模型(linear trend model)是一個最常
用的預測趨勢的方法。
簡單線性迴歸模型
Yt=α+βt+εt
其中Yt為時間數列值，t 代表時間，t=i表示時
間數列的第 i個觀察值，εt 為殘差項，滿足迴
歸方程式的假設條件。
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Chap 16-27
長期趨勢之分析--例題一

假設小傳科技80-90年的營業收入如下表。公司
高層裕了解營業收入的長期趨勢，並預測92年
的營業收入，應如何進行?
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Chap 16-28
長期趨勢之分析--例題一(續)
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時間 t
營業收入(單位:萬元)Yt
80
808
81
885
82
1,060
83
1,085
84
1,020
85
1,280
86
1,421
87
1,338
88
1,595
89
2,075
90
2,165
Chap 16-29
長期趨勢之分析--例題一(續)
2500
2000
1500
1000
500
0
80
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81
82
83
84
85
86
87
88
89
90
Chap 16-30
長期趨勢之分析--例題一(續)
時間 t
營收Yt
(Yt-Ybar)
t
(t-tbar)
SStt=
(t-tbar)^2
SSty=
(Yt-Ybar)(t-tbar)
80
81
82
83
84
85
86
87
88
89
90
808
885
1060
1085
1020
1280
1421
1338
1595
2075
2165
-531
-454
-279
-254
-319
-59
82
-1
256
736
826
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
-5
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
5
25
16
9
4
1
0
1
4
9
16
25
2655
1816
837
508
319
0
82
-2
768
2944
4130
總和
平均數
14732
1339
110
10
14057
1278
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66
6
Chap 16-31
長期趨勢之分析--例題一(續)

β*=SSty/SStt=14057/110=127.8
α*=Ybar-β*tbar=1339-127.8*6=572.2
Yt’=572.2+127.8t


此一回歸線表示，從安80年起長期間隨著時間
的變動，每增加一年，小傳科技營業收入平均
增加127.8萬元新台幣。
預測小傳科技92年(t=13)的營業收入為新台幣
2,233.6萬元(長期趨勢值) ，即:
Yt’=572.2+127.8*13=2,233.6(萬元)
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Chap 16-32
長期趨勢之分析--例題一(續)
2500
2000
1500
觀察值
配適值
1000
500
0
80
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81
82
83
84
85
86
87
88
89
90
Chap 16-33
長期趨勢之分析--例題二
利用Excel

某甲準備長期投資大銘科技公司的股票，於是
收集了該公司81~90年的股利資料如下:問該公
司股利的長期趨勢為何?可不可以做長期投資?
年
81
82
83
84
85 86
87 88 89
90
股利 0.77 0.88 1.13 1.36 1.6 1.84 2.0 2.1 2.52 3.0
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Chap 16-34
長期趨勢之分析--例題二
利用Excel(續)
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Chap 16-35
長期趨勢之分析--例題二
利用Excel(續)
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Chap 16-36
長期趨勢之分析--例題二
利用Excel(續)
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Chap 16-37
長期趨勢之分析--例題二
利用Excel(續)
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Chap 16-38
長期趨勢之分析--例題二
利用Excel(續)
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Chap 16-39
長期趨勢之分析--例題二
利用Excel(續)
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Chap 16-40
長期趨勢之分析--例題二
利用Excel(續)
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Chap 16-41
長期趨勢之分析--例題二
利用Excel(續)
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Chap 16-42
長期趨勢之分析--例題二
利用Excel(續)
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Chap 16-43
長期趨勢之分析--例題二
利用Excel(續)

配適回歸線為
Yt’=0.435+0.234t


民國81年起，大銘科技公司的股票長期隨時間
變動，每增加一年，股利平均增加0.234元。
根據上式，可預測民國94年時，即t=14，股利
的長期趨勢值為:
Y14’=0.435+0.234*14=3.711

小結:大銘科技應可投資。
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Chap 16-44
循環變動之分析




循環變動是指一年以上的某一期間上下波動的
情形。
估計循環變動成分時，通常以年資料來估計。
年資料的時間數列包括長期趨勢、循環變動及
不規則變動三成分。
相乘模型為:
Y=T*C*I
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Chap 16-45
循環變動之分析(續)

利用長期趨勢的估計值Yt’代替上面的趨勢成分T，
得到循環變動及不規則變動的百分比為:
Ct*It=Yt/Yt’

衡量單位為百分比(不是原始單位)
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Chap 16-46
循環變動之分析—例題

依前例小傳科技營業收入的時間數列資料，試
計算循環變動的成分。
解:前面已解出長期趨勢的配適迴歸線為:
Yt’=572.2+127.8t
可依次求出t=1,2,…11的長期趨勢配適值
最後，再求出循環—不規則變動Yt/Yt’
如下表:
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Chap 16-47
循環變動之分析—例題(續)
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時間 t
營業收入Yt
長期趨勢Yt’
Ct*It=Yt/Yt’
80
808
700
1.154
81
885
827.8
1.069
82
1,060
955.6
1.109
83
1,085
1083.4
1.001
84
1,020
1211.2
0.842
85
1,280
1339
0.956
86
1,421
1466.8
0.969
87
1,338
1594.6
0.839
88
1,595
1722.4
0.926
89
2,075
1850.2
1.121
90
2,165
1978
1.094
Chap 16-48
循環變動之分析—例題(續)



民國80年其循環—不規則變動成分為1.154，表
示80年的營業收入由循環與不規則因子的原因
高於長期趨勢(平均值)15.4%。
民國84年則低於長期趨勢15.8%。
高於1表示循環—不規則有正影響，小於1則有
負影響。
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Chap 16-49
循環變動之分析—例題
利用Excel
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Chap 16-50
循環變動之分析—例題
利用Excel(續)
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Chap 16-51
循環變動之分析—例題
利用Excel(續)
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Chap 16-52
循環變動之分析—例題
利用Excel(續)
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Chap 16-53
循環變動之分析—例題
利用Excel(續)
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Chap 16-54
季節變動之分析


研究季節變動的目的主要是讓人們能充分了解
及評估季節因素對經濟活動及企業行為的影響。
季節變動的估計方法是利用比率移動平均法
(ratio-to-moving average method)去計算季節
指數(seasonal index) ，用以分析及預測經濟活
動。
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Chap 16-55
季節變動之分析(續)

季節變動可依循下列步驟計算之






計算K期移動總和
計算K期移動平均值
求中央移動平均數 (T*C)
前三項主要算出移動平均數
求季節不規則成分 S*I=Y/(T*C)
求季節因子(季節及不規則成分的平均值)
計算季節指數
後三項求去除移動平均後的季節因素
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Chap 16-56
季節變動之分析—例題

大富電器行過去六年每季電器產品的銷售資料
如下: 根據資料，請幫老闆算算每季的銷售額?
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年別
春季
夏季
秋季
冬季
81
48
62
40
50
82
52
68
44
58
83
46
58
38
52
84
54
70
42
58
85
60
76
50
62
86
66
80
54
60
Chap 16-57
季節變動之分析—例題(續)
100
80
60
數列1
40
20
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21
17
13
9
5
1
0
Chap 16-58
季節變動之分析—例題(續)

K期移動平均法(K-periods moving average)是
依序計算K個連續的觀察值的平均數，再計算每
一個連續的K期移動平均時，先將計算上一期移
動平均數的第一個觀察值拿掉，再往下順序移
動加入下一個觀察值，而後再求平均數。
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Chap 16-59
季節變動之分析—例題(續)



計算K期移動總和，在本例中因一年有四季，故
採四季(K=4)的移動總和。
第一個4期的移動總和為81年四季的銷售值總
和 48+62+40+50=200 它的中央位置在夏季
與秋季之間。
第二個4期的移動總和為81年夏秋冬季與82年
春季銷售值總和 62+40+50+52=204 中央位
置在秋季與冬季之間。
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Chap 16-60
季節變動之分析—例題(續)



計算K期移動平均值
第一個4期移動平均值
MA1=(48+62+40+50)/4=50
第二個4期移動平均值
MA2=(62+40+50+52)/4=51
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Chap 16-61
季節變動之分析—例題(續)

求中央移動平均數(T*C)
由於期數為偶數，並無中央季節，必須進一步
求出中央移動平均數。
(MA1+MA2)/2=(50+51)/2=50.5
作為81年第3季的中央移動平均值。
註:若期數為奇數時，則無須做調整。
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Chap 16-62
季節變動之分析—例題(續)
年
季 銷售額 四季總和 四季MA 中央MA
81
春 48
夏 62
200
50
秋 40
50.5
204
51
冬 50
51.75
210
82
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52.5
春 52
夏 68
Chap 16-63
季節變動之分析—例題(續)
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Chap 16-64
季節變動之分析—例題(續)
100
80
60
40
20
0
銷售額
春
夏
秋
冬
春
夏
秋
冬
春
夏
秋
冬
春
夏
秋
冬
春
夏
秋
冬
春
夏
秋
冬
中央MA
81
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82
83
84
85
86
Chap 16-65
季節變動之分析—例題(續)

求季節不規則成分 S*I=Y/(T*C) ，此一數值
稱為比率移動平均或稱為原時間數列與移動平
均之比例。
如81年秋季之比率移動平均為
S3*I3=40/50.5=0.79
81年冬季之比率移動平均為
S4*I4=50/51.75=0.97
等
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Chap 16-66
季節變動之分析—例題(續)
© 2002 Prentice-Hall, Inc.
Chap 16-67
季節變動之分析—例題(續)
季節不規則
1.5
1
0.5
0
春
夏
秋
冬
春
夏
秋
冬
春
夏
秋
冬
春
夏
秋
冬
春
夏
秋
冬
春
夏
秋
冬
季節不規則
81
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82 83
84
85 86
Chap 16-68
季節變動之分析—例題(續)

求季節因子
年別
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81
82
83
84
85
86
合計
季節因子
春
0.98
0.91
1.00
1.00
1.02
4.91
0.982
夏
1.25
1.18
1.27
1.24
1.23
6.17
1.234
秋
冬
0.79
0.80
0.77
0.74
0.80
0.97
1.10
1.00
1.00
0.97
3.90
0.78
5.04
1.008
Chap 16-69
季節變動之分析—例題(續)



計算季節指數(季節因子的修正)
因為0.982+1.234+0.78+1.008=4.004
不為 4，所以須做調整
春季的季節指數: (0.982/4.004)*4=0.981
夏季的季節指數: (1.234/4.004)*4=1.233
秋季的季節指數: (0.780/4.004)*4=0.779
冬季的季節指數: (1.008/4.004)*4=1.007
春季銷售收入低於所有四季平均銷售的1.9%
夏季銷售收入高於四季平均銷售的23.3%等
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Chap 16-70
季節變動之分析—例題(續)
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Chap 16-71
長期趨勢與季節變動之結合分析


求出季節因子
消除季節因子的時間數列
T*C*I=Y/S

求消除季節因子後的長期趨
Yt’=α+βt + ε

結合長期趨勢與季節變動預測未來
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Chap 16-72
長期趨勢與季節變動-大富電器行
例題(續)-計算季節因子

求出季節因子
春季的季節指數:
夏季的季節指數:
秋季的季節指數:
冬季的季節指數:
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(0.982/4.004)*4=0.981
(1.234/4.004)*4=1.233
(0.780/4.004)*4=0.779
(1.008/4.004)*4=1.007
Chap 16-73
長期趨勢與季節變動-大富電器行
例題(續)-消除季節因子
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Chap 16-74
長期趨勢與季節變動-大富電器行
例題(續)-消除季節因子
Y/S
80
60
40
20
0
春
夏
秋
冬
春
夏
秋
冬
春
夏
秋
冬
春
夏
秋
冬
春
夏
秋
冬
春
夏
秋
冬
Y/S
81
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82
83
84
85
86
Chap 16-75
長期趨勢與季節變動-大富電器行
例題(續)-計算長期趨勢
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Chap 16-76
長期趨勢與季節變動-大富電器行
例題(續)-計算長期趨勢

因此時間數列長期趨勢的迴歸估計式為:
Yt’=47.15+0.727t

87年四季的銷售之長期趨勢的預測
87年第一季:Y25’=47.15+0.727*25=63.33
87年第二季:Y26’=47.15+0.727*26=66.05
87年第三季:Y27’=47.15+0.727*27=66.78
87年第四季:Y28’=47.15+0.727*28=67.51
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Chap 16-77
長期趨勢與季節變動-大富電器行
例題(續)-計算長期趨勢
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Chap 16-78
長期趨勢與季節變動-大富電器行
例題(續)-預測

預測87年各季的銷售收入，將趨勢值乘上季節
指數即可。
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季節
趨勢值
季節指數
預測值
春
65.33
0.981
64.09
夏
66.05
1.233
81.44
秋
66.78
0.779
52.02
冬
67.51
1.007
67.98
Chap 16-79
長期趨勢與季節變動-大富電器行
例題(續)-預測
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Chap 16-80
長期趨勢與季節變動-大富電器行
例題(續)-結論





大富電器行的銷售受到季節的影響。
夏天生意最好，冬天次之，春天第三，秋天最
差。
季節指數分別為1.233，1.007，0.981，0.779。
長期趨勢為Yt’=47.15+0.727t。
由此可算出87年各季的銷售預測分別為64.09，
81.44，52.02，67.98萬元。
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Chap 16-81
長期趨勢與季節變動-大富電器行
例題(續)-結論
100
80
60
40
20
0
銷售額
春
夏
秋
冬
春
夏
秋
冬
春
夏
秋
冬
春
夏
秋
冬
春
夏
秋
冬
春
夏
秋
冬
春
夏
秋
冬
預測值
81
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82
83
84
85
86
87
Chap 16-82
不規則變動




不規則變動的產生主要是因為像戰爭、罷工、
天災人禍或其他不可抗拒或無法預知的干擾所
造成的。
不規則變動因為是隨機的，所以無法預測。
在時間數列分析中，被視為殘差項而無法有系
統的分析出來。
不規則變動在長期中可能相互抵消。
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Chap 16-83
時間數列古典分析之例題一

下表示某製造業1985年~ 1989年每季稅前利潤:
年
季
稅前利潤 年
1985
1
168.7
1987 1
196.6
2
162.1
2
207.9
3
170.6
3
224.6
4
174.2
4
211.6
1
155.9
1988 1
228.4
2
167.2
2
240.5
3
176.2
3
240.4
4
191.0
4
246.6
1989 1
246.3
1986
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季
稅前利潤
Chap 16-84
時間數列古典分析之例題一(續)




請利用比率移動平均法，求各季之季節指數。
請求除去季節影響之利潤值。
請求除去季節變動後的趨勢線。
請求1989年第二季利潤的預測值。
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Chap 16-85
時間數列古典分析之例題一
解答
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Chap 16-86
時間數列古典分析之例題一
解答(續)
稅前利潤
300
200
稅前利潤
100
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16
13
10
7
4
1
0
Chap 16-87
時間數列古典分析之例題一
解答—計算季節指數(續)
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Chap 16-88
時間數列古典分析之例題一
解答—計算季節指數(續)
300
200
稅前利潤
中央移動
100
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16
13
10
7
4
1
0
Chap 16-89
時間數列古典分析之例題一
解答—計算季節指數(續)
季節不規則
1.1
1.05
1
0.95
0.9
0.85
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16
13
10
7
4
1
季節不規則
Chap 16-90
時間數列古典分析之例題一
解答—計算季節指數(續)
© 2002 Prentice-Hall, Inc.
Chap 16-91
時間數列古典分析之例題一
解答—消除季節指數
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Chap 16-92
時間數列古典分析之例題一
解答—消除季節指數(續)
Y/S
300
200
Y/S
100
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16
13
10
7
4
1
0
Chap 16-93
時間數列古典分析之例題一
解答—計算長期趨勢
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Chap 16-94
時間數列古典分析之例題一
解答—計算長期趨勢(續)
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Chap 16-95
時間數列古典分析之例題一
解答—計算預測值
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Chap 16-96
時間數列古典分析之例題一
解答—計算預測值(續)
300
200
稅前利潤
預測值
100
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16
13
10
7
4
1
0
Chap 16-97
時間數列古典分析之例題二

設某地區1987年到1996年共40季的資料計算得
除去季節因素後的醫療保健費長期趨勢的迴歸
估計式為
Yt’=7.58+0.052t
各季的季節指數依次為1.145，1.022，0.917，
1.052，試求1997年各季的趨勢值與預測值。
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Chap 16-98
時間數列古典分析之例題二
解答

第一季趨勢: Y41’=7.58+0.052*41=9.712
第二季趨勢: Y42’=7.58+0.052*42=9.764
第三季趨勢: Y43’=7.58+0.052*43=9.816
第四季趨勢: Y44’=7.58+0.052*44=9.868
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Chap 16-99
時間數列古典分析之例題二
解答(續)
季節
趨勢值
季節指數
預測值
一
9.712
1.145
11.12
二
9.764
1.022
9.98
三
9.816
0.917
9.00
四
9.868
1.052
10.38
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Chap 16-100
時間數列分析(一)—總結






介紹時間數列。
時間數列分析之方法與目的。
時間數列之性質與組成四成分。
時間數列之模型。
時間數列之古典分析法—相乘模型分解法。
例題練習。
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Chap 16-101