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1-1.1樹狀圖與加法原理
例題一
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下圖是稜長為1單位的正立方體ABCD－EFGH，一隻
螞蟻從A點出發，沿著稜邊走3單位長到達G點。
(1)利用樹狀圖描述所有路徑。
(2)共有多少種路徑？
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解析
(1)作樹狀圖如右：
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(2)由上述樹狀圖可知，從A點出發到G點的走法有6種。
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例題二
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龍鳳汽車公司有兩條生產線，第一條生產線有5種不同
車型，第二條生產線有3種不同車型，阿玲欲在該公司
購買1部汽車，試問有多少種選購方法？
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解析
依題意知，選購方法可分成兩個類別：
第一個類別是選購第一條生產線的車子，方法有5種；
第二個類別是選購第二條生產線的車子，方法有3種。
由加法原理得選購方法有5 + 3 = 8（種）。
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例題三
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如下之街道圖中，由A到B的捷徑走法（即只許向右、
向上走）共有多少種？
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解析
如圖(a)所示，由A到B的捷徑走法，可分為經P4或經D
兩種類別；而A到D的捷徑走法，可分為經P3或經C兩
種類別；又A到C的捷徑走法，可分為經P1或經P2兩種
類別，現分別討論如下：
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例題三
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(a)
(b)
(c)
(d)
(1)先看上圖(b)，由A到C的捷徑走法：經P1或經P2兩種類
別中，經P1及經P2的走法都只有1種，故由A到C的捷徑走
法有1 + 1 = 2種。
(2)再看上圖(c)，由A到D的捷徑走法：經P3或經C兩種類別
中，經P3的走法只有1種，而由(1)知經C的走法有2種，故
由A到D的捷徑走法有1 + 2 = 3種。
(3)再看上圖(d)，由A到B的捷徑走法：經P4或經D兩種類別
中，經P4必經C，由(1)知有2種方法，又由(2)知經D的走法
有3種，故由A到B的捷徑走法有2 + 3 = 5種。
例題四
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某市新建一座巨蛋體育館，共有10個門，若規定每人
不得進出同一扇門，問小龍進出體育館各一次，共有
多少種走法？
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解析
把「進」與「出」看成兩個步驟：
第一步：「進」的走法有10種；
第二步：「出」的走法有9種（因為出去時不能走進來
的那一扇門），
依據乘法原理，進出體育館各一次的走法有109=90
（種）。
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例題五
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在某高中球類的社團中，籃球社有30人、排球社有35
人、棒球社有40人。已知每位學生僅能選擇參加一項
社團，現從各社團中各推選一位代表組成紀律委員會，
試問組成的方法數有多少種？
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解析
可分成三個步驟完成：
第一步：籃球社員中任選1人，方法有30種；
第二步：排球社員中任選1人，方法有35種；
第三步：棒球社員中任選1人，方法有40種，
依據乘法原理，組成的方法有303540=42000（種）。
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例題六
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試以五種不同的顏色塗於下圖所示的A、B、C三個區
域，顏色可重複使用，每區恰塗一色，且同色不相鄰，
則塗法有多少種？
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解析
完成此件事可分三個步驟：
第一步：塗A區域有5種方法；
第二步：塗B區域，因為不能與A區域同色，所以只剩4
種方法；
第三步：再塗C區域，因為不能與A區域同色，所以也
只有4種方法，
依據乘法原理，塗法共有5  4  4  80（種）。
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例題七
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下圖表垃圾車行經之街道路線，若規定每一街道必須
經過一次，且只能經過一次，則由A到B的走法有多少
種？
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解析
如下圖所示：
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例題七
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垃圾車由A到B可分五個步驟完成：
第一步：由A到岔路口C，方法只有1種；
第二步：由C到D可選P1、P2、P3任一條，方法有3種
第三步：因為P1、P2、P3三條街中只走過一條，故垃車
必須自D折回C處，折回時可自尚未走過的兩條街中任
選一條，方法有2種；
第四步：再由C走到D，只剩一條街未走過，故方法只
有1種；
第五步：最後由D到B，方法只有1種。
依據乘法原理，由A到B的走法有1  3  2  1  1  6
（種）。
例題八
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試求72的正因數個數。
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解析
將72做質因數分解得72  23  32，
所以72的正因數必可表成2x  3y的形式，
其中x  0﹐1﹐2﹐3且y  0﹐1﹐2，
即2的指數有4種取法，3的指數有3種取法，
依據乘法原理得72的正因數個數共有4  3  12（個）。
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例題九
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小玲為了參加畢業旅行，從衣櫃整理出2件不同的T恤、
3件不同的襯衫及3件不同的牛仔褲、5件不同的裙子，
若穿T恤則搭配牛仔褲；穿襯衫則搭配裙子，試問小玲
畢旅的第一天有多少種穿著方式？
解析
依題意，可分成兩個類別：
第一類別：當穿T恤時，搭配牛仔褲，
依據乘法原理，方法數有2  3  6（種）。
第二類別：當穿襯衫時，搭配裙子，
依據乘法原理，方法數有3  5  15（種）。
依據加法原理，穿著方式共有6  15  21（種）。
隨堂練習一
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甲、乙兩人比賽網球，約定每局比賽必分出勝負，先
勝二局者贏得比賽。
(1)利用樹狀圖描述比賽所有可能的情形。
(2)比賽的局數與結果，共有多少種可能的情形？
解析
(1)作樹狀圖如下：
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(2)由上述樹狀圖可知，共有6種可能的情形。
隨堂練習二
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已知龍鳳高中，高一有10班、高二有9班、高三有8班，
現自全校中任選一個班，參加教師節紀念大會，試問
選法有多少種？
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解析
由題意知，選法可分為
選擇高一班級，選法有10種；
選擇高二班級，選法有9種；
選擇高三班級，選法有8種。
由加法原理得選法有10  9  8  27（種）。
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隨堂練習三
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如下之街道圖中，由A到B的捷徑走法（即只許向左、
向下走）共有多少種？
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解析
如下圖所示：由加法原理可得走法有9種。
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隨堂練習四
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圖書館中有8本不同的國文書和12本不同的數學書，一
學生欲選國文和數學各一本書，問共有多少種選法？
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解析
分成兩個步驟完成：
第一步：先選國文，方法有8種；
第二步：再選數學，方法有12種，
故國文、數學各選一本的方法有8  12  96（種）。
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隨堂練習五
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龍龍餐廳推出精緻套餐，每份含有主菜、湯及飲料，
其中主菜有牛排、豬排、雞排、魚排4種；湯有南瓜湯
及玉米濃湯2種；飲料則有咖啡、紅茶、果汁3種，若
每位客人只能從主菜、湯及飲料中各任選一種，試問
每位客人有多少種不同的點餐方式？
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解析
分成三個步驟完成：
第一步：先點主菜，方法有4種；
第二步：再點湯，方法有2種；
第三步：最後點飲料，方法3種，
依據乘法原理，點餐方式有4  2  3  24（種）。
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隨堂練習六
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試用四種不同顏色塗下圖中A、B、C、D、E五個空白區域，
相鄰區域不能同色，則塗法有多少種？
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解析
完成這件事可分五個步驟：
第一步塗A區：有4種不同顏色可選用，所以有4種方法；
第二步塗B區：因為不能與A區同色，所以只有3種方法；
第三步塗C區：因為不能與A、B區同色，所以只有2種方法；
第四步塗D區：因為不能與A區同色，所以只有3種方法；
第五步塗E區：因為不能與B區同色，所以只有3種方法，
依據乘法原理知，塗法共有4  3  2  3  3  216（種）。
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隨堂練習七
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下圖表垃圾車行經之街道路線，若規定每一街道必須
經過一次，且只能經過一次，則由A到B的走法有多少
種？
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解析
依據乘法原理知，由A到B的走法有1  5  4  3  2 
1  1  120（種）。
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隨堂練習八
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試求180的正因數個數。
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解析
將180做質因數分解得180  22  32  5，
所以180的正因數必可表成2x  3y  5z的形式，
其中x  0﹐1﹐2、y  0﹐1﹐2、z  0﹐1，
即2的指數有3種取法，3的指數有3種取法，5的指數有
2種取法，
依據乘法原理得180的正因數個數共有3  3  2  18
（個）。
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隨堂練習九
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某公司生產多種款式的「阿民」公仔，各種款式只是球帽、
球衣或球鞋顏色不同，其中球帽有黑、灰、紅、藍四種顏
色；球衣有白、綠、藍三種顏色；而球鞋有黑、白、灰三
種顏色。公司決定白色球衣必須搭配藍色的帽子，而其他
顏色間的搭配就沒有限制，試問最多有多少種不同款式的
「阿民」公仔？
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解析
依題意，可分兩個類別：
第一類別：當球衣是白色時，搭配藍色球帽，球鞋任意搭
配，方法數有1  1  3  3（種）。
第二類別：當球衣不是白色時，球帽任意搭配，球鞋任意
搭配，方法數有2  4  3  24（種）。
依加法原理，有3  24  27（種）不同款式的「阿民」公
仔。
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