Transcript 名师工作室指南

§1.2
命题及其关系、充分条
件与必要条件
基础知识
自主学习
要点梳理
1.命题的概念
在数学中用语言、符号或式子表达的,可以________
判断真假
判断为真
的陈述句叫做命题.其中_________的语句叫真命题,
判断为假
__________的语句叫假命题.
2.四种命题及其关系
（1）四种命题
命题
表述形式
原命题
若p，则q
逆命题
若q,则p
__________
否命题
___________
若 p, 则q
逆否命题
___________
若q, 则 p
（2）四种命题间的逆否关系
逆命题
否命题
逆否命题
(3)四种命题的真假关系
①两个命题互为逆否命题，它们有_____的真假性;
相同
②两个命题互为逆命题或互为否命题，它们的真假
性___________.
没有关系
3.充分条件与必要条件
(1)如果p  q,则p是q的________,q是p的________;
充分条件
必要条件
(2)如果pq,qp,则p是q的__________.
充要条件
4.特别注意：命题的否命题是既否定命题的条件,又
否定命题的结论；而命题的否定是只否定命题的
结论.
基础自测
1.下列语句是命题的是
（
①求证 3 是无理数；
②x2+4x+4≥0；
③你是高一的学生吗？
④一个正数不是素数就是合数；
⑤若x∈R，则x2+4x+7>0.
A.①②③
B.②③④
C.②④⑤
D.③④⑤
）
解析
①③不是命题，①是祈使句，③是疑问句.而
1
②④⑤是命题，其中④是假命题，如正数
既不是
2
素数也不是合数，②⑤是真命题，x2+4x+4=(x+2)2≥0
恒成立，x2+4x+7=(x+2)2+3>0恒成立.
答案
C
2.命题“若x2>y2，则x>y”的逆否命题是
A.“若x<y，则x2<y2”
B.“若x>y,则x2>y2”
C.“若x≤y，则x2≤y2”
D.“若x≥y,则x2≥y2”
（C ）
3.(2009·江西文,1)下列命题是真命题的为（ A ）
1 1
A. 若  , 则x  y
x y
B.若x2=1,则x=1
C.若x=y,则 x  y
D.若x<y,则x2<y2
1 1
解析
由  得x=y,A正确，B、C、D错误.
x y
4.（2008·湖北理，2）若非空集合A、B、C满足
A∪B=C,且B不是A的子集，则
（B ）
A.“x∈C”是“x∈A”的充分条件但不是必要条件
B.“x∈C”是“x∈A”的必要条件但不是充分条件
C.“x∈C”是“x∈A”的充要条件
D.“x∈C”既不是“x∈A”的充分条件也不是
“x∈A”的必要条件
解析
由题意知，A、B、C的关系可用
右图来表示.
若x∈C，不一定有x∈A，而x∈A,则必有x∈C，
∴“x∈C”是“x∈A”的必要条件但不是充分条件.
5.(2009·四川文,7)已知a,b,c,d为实数,且c>d,则
“a>b”是“a-c>b-d”的
（ B）
A.充分而不必要条件
B.必要而不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
解析
∵c>d,∴-c<-d,a>b,
∴a-c与b-d的大小无法比较；
当a-c>b-d成立时，假设a≤b,-c<-d,
∴a-c<b-d,与题设矛盾，∴a>b.
综上可知，“a>b”是“a-c>b-d”的必要不充分
条件.
题型分类
题型一
深度剖析
命题的关系及命题真假的判断
【例1】分别写出下列命题的逆命题、否命题、逆否
命题，并判断它们的真假.
（1）面积相等的两个三角形是全等三角形.
（2）若q<1,则方程x2+2x+q=0有实根.
（3）若x2+y2=0，则实数x、y全为零.
思维启迪
写成“若p，则q”的形式
→
写出逆命题、否命题、逆否命题 → 判断真假
解
（1）逆命题：全等三角形的面积相等,真命题.
否命题：面积不相等的两个三角形不是全等三角形，
真命题.
逆否命题：两个不全等的三角形的面积不相等，假命
题.
(2)逆命题：若方程x2+2x+q=0有实根,则q<1,假命题.
否命题：若q≥1,则方程x2+2x+q=0无实根，假命题.
逆否命题:若方程x2+2x+q=0无实根,则q≥1,
真命题.
(3)逆命题:若实数x,y全为零,则x2+y2=0,真命题.
否命题:若x2+y2≠0,则实数x,y不全为零,真命题.
逆否命题:若实数x,y不全为零,则x2+y2≠0,真命题.
探究提高 (1)在写一个命题的逆命题、否命题、逆
否命题时，首先要看这个命题是否有大前提.若有大
前提，必须保留其大前提，大前提不能动.
（2） 原命题和其逆否命题等价.
知能迁移1 写出下列命题的逆命题、否命题和逆否
命题，并判断其真假.
（1）若m,n都是奇数，则m+n是奇数.
（2）若x+y=5,则x=3且y=2.
解
（1）逆命题:若m+n是奇数，则m,n都是奇
数，假命题.
否命题：若m、n不都是奇数,则m+n不是奇数,
假命题.
逆否命题：若m+n不是奇数,则m,n不都是奇数,
假命题.
（2）逆命题：若x=3且y=2，则x+y=5,真命题.
否命题：若x+y≠5，则x≠3或y≠2，真命题.
逆否命题：若x≠3或y≠2，则x+y≠5,假命题.
题型二
充要条件的判断
【例2】指出下列命题中，p是q的什么条件（在“充
分不必要条件”、“必要不充分条件”、“充要条
件”、“既不充分也不必要条件”中选出一种作答).
(1)在△ABC中，p：∠A=∠B，q：sin A=sin B;
(2)对于实数x、y，p：x+y≠8,q:x≠2或y≠6;
(3)非空集合A、B中，p：x∈A∪B，q：x∈B;
(4)已知x、y∈R，p：(x-1)2+(y-2)2=0，
q：(x-1)(y-2)=0.
思维启迪 首先分清条件和结论，然后根据充要条
件的定义进行判断.
解
（1）在△ABC中，∠A=∠B sin A=sin B，反
之，若sin A=sin B，因为A与B不可能互补（因为三
角形三个内角和为180°),所以只有A=B.
故p是q的充要条件.
(2)易知,p:x+y=8,q:x=2且y=6,显然
但p
q
 p,
q,即 q是p的充分不必要条件,根据原命题

和逆否命题的等价性知,p是q的充分不必要条件.
(3)显然x∈A∪B不一定有x∈B,但x∈B一定有
x∈A∪B,所以p是q的必要不充分条件.
(4)条件p:x=1且y=2,条件q:x=1或y=2,
所以p q但q
p,故p是q的充分不必要条件.
探究提高
判断p是q的什么条件，需要从两方面分
析:一是由条件p能否推得条件q,二是由条件q能否推
得条件p.对于带有否定性的命题或比较难判断的命
题,除借助集合思想把抽象、复杂问题形象化、直观
化外，还可利用原命题和逆否命题、逆命题和否命题
的等价性，转化为判断它的等价命题.
知能迁移2
（2009·安徽理，4）下列选项中,p是
q的必要不充分条件的是
（
）
A.p:a+c>b+d,q:a>b且c>d
B.p:a>1,b>1,q:f(x)=ax-b(a>0,且a≠1)的图象不过
第二象限
C.p:x=1，q:x2=x
D.p:a>1,q:f(x)=logax(a>0,且a≠1)在（0,+∞）上
为增函数
解析
由于a>b,c>d a+c>b+d，而a+c>b+d却不一定
推出a>b,c>d.故A中p是q的必要不充分条件.B中,当
a>1,b>1时，函数f(x)=ax-b不过第二象限,当f(x)=axb不过第二象限时，有a>1,b≥1.故B中p是q的充分不
必要条件.C中，因为x=1时有x2=x，但x2=x时不一定有
x=1，故C中p是q的充分不必要条件.D中p是q的充要条
件.
答案
A
题型三
充要条件的证明
【例3】 （12分）求证方程ax2+2x+1=0有且只有一个
负数根的充要条件为a≤0或a=1.
思维启迪
（1）注意讨论a的不同取值情况；
（2）利用根的判别式求a的取值范围.
证明
充分性：
1
当a=0时，方程变为2x+1=0，其根为 x   ,
2
方程只有一负根.
2分
当a=1时，方程为x2+2x+1=0，其根为x=-1,
方程只有一负根.
4分
当a<0时,Δ=4(1-a)>0，方程有两个不相等的根，
1
且 <0，方程有一正一负根.
a
必要性：
6分
若方程ax2+2x+1=0有且仅有一负根.
当a=0时，适合条件.
8分
当a≠0时，方程ax2+2x+1=0有实根，
则Δ=4-4a≥0，∴a≤1，
当a=1时，方程有一负根x=-1.
10分
a  1
若方程有且仅有一负根，则 1
, a  0.
 a  0
综上方程ax2+2x+1=0有且仅有一负根的充要条件为
a≤0或a=1.
12分
探究提高
（1）条件已知证明结论成立是充分性.
结论已知推出条件成立是必要性；
（2）证明分为两个环节，一是充分性;二是必要性.
证明时，不要认为它是推理过程的“双向书写”,而
应该进行由条件到结论，由结论到条件的两次证明；
（3）证明时易出现必要性与充分性混淆的情形，这
就要分清哪是条件，哪是结论.
知能迁移3
求证方程x2+ax+1=0的两实根的平方和大
于3的必要条件是|a|>
3 , 这个条件是其充分条件
吗？为什么？
证明
设x2+ax+1=0的两实根为x1,x2,
则平方和大于3的等价条件是
  a 2  4  0
 2
 x1  x22  ( x1  x2 ) 2  2 x1 x2  ( a ) 2  2  3,
即a  5或a   5.
{a | a  5或a   5}
{a || a | 3},
∴|a|> 3 这个条件是必要条件但不是充分条件.
思想方法
感悟提高
方法与技巧
1.当一个命题有大前提而要写出其它三种命题时,必
须保留大前提，也就是大前提不动；对于由多个并
列条件组成的命题，在写其它三种命题时，应把其
中一个（或n个）作为大前提.
2.数学中的定义、公理、公式、定理都是命题,但命
题与定理是有区别的；命题有真假之分，而定理都
是真的.
3.命题的充要关系的判断方法
(1)定义法：直接判断若p则q、若q则p的真假.
(2)等价法：即利用
的等价关系，对
于条件或结论是否定式的命题,一般运用等价法.
(3)利用集合间的包含关系判断:若A  B,则A是B的
充分条件或B是A的必要条件;若A=B,则A是B的充要
条件.
失误与防范
1.否命题是既否定命题的条件，又否定命题的结论，
而命题的否定是只否定命题的结论.要注意区别.
2.判断p与q之间的关系时,要注意p与q之间关系的方
向性,充分条件与必要条件方向正好相反,不要混淆.
定时检测
一、选择题
1.（2009·重庆文，2）命题“若一个数是负数，则
它的平方是正数”的逆命题是
（ B）
A.“若一个数是负数，则它的平方不是正数”
B.“若一个数的平方是正数，则它是负数”
C.“若一个数不是负数，则它的平方不是正数”
D.“若一个数的平方不是正数，则它不是负数”
解析
原命题的逆命题:若一个数的平方是正数，
则它是负数.
2.（2009·浙江理，2）已知a,b是实数，则“a>0且
b>0”是“a+b>0且ab>0”的
（ C）
A.充分而不必要条件
B.必要而不充分条件
C.充分必要条件
D.既不充分也不必要条件
解析
当a>0且b>0时，一定有a+b>0且ab>0.反之，
当a+b>0且ab>0时，一定有a>0,b>0.故“a>0且b>0”
是“a+b>0且ab>0”的充要条件.
3.（2008·广东文，8）命题“若函数f(x)=logax
(a>0,a≠1)在其定义域内是减函数，则loga2<0”的
逆否命题是
(
)
A.若loga2≥0，则函数f(x)=logax(a>0,a≠1)在其定
义域内不是减函数
B.若loga2<0，则函数f(x)=logax(a>0,a≠1)在其定
义域内不是减函数
C.若loga2≥0，则函数f(x)=logax(a>0,a≠1)在其定
义域内是减函数
D.若loga2<0,则函数f(x)=logax(a>0,a≠1)在其定义
域内是减函数
解析
由互为逆否命题的关系可知,原命题的逆否命
题为：若loga2≥0，则函数f（x）=logax(a>0,a≠1)
在其定义域内不是减函数.
答案
A
4.已知A={x||x-1|≥1,x∈R},B={x|log2x>1,x∈R},
则“x∈A”是“x∈B”的
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充分必要条件
D.既不充分也不必要条件
解析
x∈A
A={x|x≥2或x≤0}，B={x|x>2}，
x∈B，但x∈B x∈A.
（ B ）
5.集合A={x||x|≤4,x∈R,},B={x|x<a},则“A  B”
是“a>5”的
（ B ）
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
解析
A={x|-4≤x≤4},若A  B，则a>4,
a>4
a>5,但a>5 a>4.
故“A  B”是“a>5”的必要不充分条件.
π
1
6.（2009·北京文，6）"  " 是" cos 2  " 的
6
2
（ A ）
A.充分而不必要条件
B.必要而不充分条件
C.充分必要条件
D.既不充分也不必要条件
π
π 1
π
解析
当  时, cos 2  cos  ; 而当    时,
6
3 2
6
π
1
1
π 外
这说明
cos 2  cos(  )  ,
cos 2  时, 除
3
2
2
6
π
1
还可以取其他的值.所以 "  " 是" cos 2  " 的
6
充分而不必要条件.
2
二、填空题
7.若“x∈[2,5]或x∈{x|x<1或x>4}”是假命题，则x
的取值范围是______.
[1,2)
解析
x
［2，5］且x {x|x<1或x>4}是真命题.
 x  2或x  5,
由
得1≤x<2 .
1  x  4.
8.设p:|4x-3|≤1;q:(x-a)(x-a-1)≤0，若p是q的充
1
[0, ]
分不必要条件,则实数a的取值范围是________.
2
1
解析 p: ≤x≤1,q：a≤x≤a+1,
2
易知p是q的真子集，
1

a

,
1


2 0  a  .
2

a  1  1.
9.(2009·江苏,12)设  和  为不重合的两个平面，
给出下列命题：①若  内的两条相交直线分别平行
于  内的两条直线，则  平行于  ；
②若  外一条直线l与  内的一条直线平行，则l和
 平行；
③设 和  相交于直线l，若  内有一条直线垂直于
l，则  和  垂直；
④直线l与  垂直的充分必要条件是l与  内的两条直
线垂直.
上面命题中，真命题的序号为________（写出所有真
命题的序号）.
解析
命题①是两个平面平行的判定定理，正确;命
题②是直线与平面平行的判定定理，正确；命题③中
在 内可以作无数条直线与l垂直,但  与  只是相交
关系，不一定垂直，错误；命题④中直线l与  垂直
可推出l与  内两条直线垂直，但l与  内的两条直线
垂直推不出直线l与  垂直，所以直线l与  垂直的必
要不充分条件是l与  内两条直线垂直.
答案
①②
三、解答题
 x  2  0,
10.已知命题p: 
命题q:1-m≤x≤1+m,m>0,
 x  10  0,
若  p是q 的必要不充分条件,求实数m的取值范围.
解
p：x∈[-2,10]，q：x∈[1-m,1+m],m>0,
∵  p是q 的必要不充分条件，∴p q且q
∴［-2，10］［1-m，1+m］.
m  0,

 1  m  2,  m  9.
1  m  10.

p.
11.已知p:|x-3|≤2，q:(x-m+1)(x-m-1)≤0，若

p是q 的充分而不必要条件,求实数m的取值范围.
解
由题意p:-2≤x-3≤2,∴1≤x≤5.
∴  p :x<1或x>5.
q:m-1≤x≤m+1,
∴  q :x<m-1或x>m+1.
又∵

p是q 的充分而不必要条件，
m  1  1,

 2  m  4.
m  1  5.
12.求关于x的方程ax2+2x+1=0至少有一个负实根的充要
条件.
解
（1）a=0适合.
（2）a≠0时，显然方程没有零根.
若方程有两异号实根，则a<0；
若方程有两个负的实根，则
1
a  0

 2
必有    0
, 解得0<a≤1.
 a
   4  4a  0


综上知，若方程至少有一个负实根，则a≤1.
反之，若a≤1,则方程至少有一个负的实根，
因此，关于x的方程ax2+2x+1=0至少有一负的实根的
充要条件是a≤1.