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共线向量与共面向量
一、共线向量:
1.共线向量:如果表示空间向量的
有向线段所在直线互相平行或重合,则这些
向量叫做共线向量(或平行向量),记作 a // b
零向量与任意向量共线.
2.共线向量定理:对空间任意两个
向量 a, b(b  o), a // b 的充要条件是存在实
数使 a  b
推论:如果 l 为经过已知点A且平行
已知非零向量 a 的直线,那么对任一点O,
点P在直线 l 上的充要条件是存在实数t,
满足等式OP=OA+t a 其中向量叫做直线的
方向向量.
P
a
若P为A,B中点,
则
1
OP  OA  OB
2

B

A
O
例1
已知A、B、P三点共线，O为空间任
 
意一点，且OP   OA   OB ，求
值.
的
例2 用向量的方法证明：顺次连结空间
四边形各边中点所得的四边形为平行四
边形。
A
E
H
D
B
G
F
C
1.下列说明正确的是：
A.在平面内共线的向量在空间不一定共
线
B.在空间共线的向量在平面内不一定共
线
C.在平面内共线的向量在空间一定不共
线
D.在空间共线的向量在平面内一定共线
2.下列说法正确的是：
A.平面内的任意两个向量都共线
B.空间的任意三个向量都不共面
C.空间的任意两个向量都共面
D.空间的任意三个向量都共面
3.对于空间任意一点O，下列命题正确的
是：
A.若
OP  OA  t AB
，则P、A、B共线
B.若 3OP  OA  AB ，则P是AB的中点
C.若 OP  OA  t AB ，则P、A、B不共线
D.若 OP  OA  AB ，则P、A、B共线
4.若对任意一点O，且 OP  xOA  y AB ，
则x+y=1是P、A、B三点共线的：
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
5.设点P在直线AB上并且AP   PB(  1)
，O为空间任意一点，求证：
OA   OB
OP 
1 
二.共面向量:
1.共面向量:平行于同一平面的向量,
叫做共面向量.
a
O

A
a
注意：空间任意两个向量是共面的，但空间
任意三个向量就不一定共面的了。
2.共面向量定理:如果两个向量 a , b
不共线,则向量 p 与向量 a , b共面的充要
条件是存在实数对x, y 使P
b
B
M a A
O
P
p
A
 xa  yb
推论:空间一点P位于平面MAB内的充
要条件是存在有序实数对x,y使
MP  xMA  yMB
或对空间任一点O,有OP  OM  xMA  yMB
例3
对空间任意一点O和不共线的三点
A、B、C，试问满足向量关系式
OP  xOA  yOB  zOC
（其中
x  y  z ）的四点P、A、B、
1
C是否共面？
例4
已知A、B、M三点不共线，对于平面
ABM外的任一点O，确定在下列各条件下，
点P是否与A、B、M一定共面？
(1) OB＋OM  3OP－OA
(2) OP  4OA  OB  OM
注意：
空间四点P、M、A、B共面
 存在唯一实数对（x , y）, 使得MP  xMA  yMB
 OP  xOM  yOA  zOB(其中，x  y  z  1)
例5
如图，已知平行四边形ABCD，从平
面AC外一点O引向量 OE  kOA, OF  kOB,
OG  kOC , OH  kOD ,求证：
O
⑴四点E、F、G、H共面；
⑵平面EG//平面AC。
D
A
C
B
C'
D'
A'
B'
1.下列命题中正确的有：
(1) p  xa  yb　 p 与 a 、b 共面 ;
(2) p 与 a 、b 共面  p  xa  yb　；
(3) MP  xMA  yMB  P、M、A、B共面；
(4) P、M、A、B共面  MP  xMA  yMB ；
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
2.对于空间中的三个向量MA 、MB 、2MA－MB
它们一定是：
A.共面向量
B.共线向量
C.不共面向量
D.既不共线又不共面向量
3.已知点M在平面ABC内，并且对空间任
1
1
意一点O，OM  xOA ＋ OB ＋ OC ,则x
3
3
的值为：
A. 1
B. 0
C. 3
1
D.
3
4.已知A、B、C三点不共线，对平面外一点
O，在下列条件下，点P是否与A、B、C共面？
2
1
2
(1) OP  OA  OB  OC ;
5
5
5
(2) OP  2OA  2OB  OC ；
5.
课本第31页
练习
1、2。
三、课堂小结：
1.共线向量的概念。
2.共线向量定理。
3.共面向量的概念。
4.共面向量定理。