Transcript 1.2.2充要条件

1.2.2充要条件
一、复习
充分条件、必要条件和充要条件的联系和区别：
定义
（1）若p  q, 但p  q,
则p是q的充分不必要条件；
集合
P
 P:高中生
Q P≠ Q
（2）若p  q, 但p  q,
Q:学生
 P:学生
则p是q的必要不充分条件； Q P Q≠ P
（3）若p  q, 且p  q,
P Q
Q:高中生
P=Q
则p是q的充要条件；
（4）若p  q, 且p  q,
讲解作业3,4, 6(4),8, 11,12
则p是q的既不充分也不必要条件；
二、例题
例1.求证:∠A=∠B=60o是△ABC为等边三角形的充要条件。
思考:求证:∠A=∠B=60o的充要条件是△ABC为等边三
角形。
证明：（1）充分性（p
q）
∵∠A=∠B=60o
∴∠C=60o
∴△ABC为等边三角形
（2）必要性 （p
q）
∵△ABC为等边三角形
∴∠A=∠B=∠C=60o
故∠A=∠B=60o
综上所述，∠A=∠B=60o是△ABC为等边三角形的充要
条件
要证明充要条件，必须分别证明充分性和必要性！
二、例题
例1.求证:∠A=∠B=60o是△ABC为等边三角形的充要条件
思考:求证:∠A=∠B=60o的充要条件是 △ABC为等边三
角形。
在证明充要条件时，要注意下面两种情况的区别：
（1）求证：A是B的充要条件；
充分性：A
B，必要性：B
A
（2）求证：A的充要条件是B.
即： B是A的充要条件.
充分性：B
A，必要性：A
B
练习
1 1
若x , y是非零实数，且x  y , 求证：  的充要条件是xy  0.
x y
1 1
若x , y是非零实数,且x  y , 求证：xy  0是  的充要条件
x y
证明：（1）充分性
x y
又
x y 0
xy  0
1 1 yx
x y
  

0
x y
xy
xy
1 1
 
x y
练习
1 1
若x , y是非零实数，且x  y , 求证：  的充要条件是xy  0.
x y
1 1
若x , y是非零实数,且x  y , 求证：xy  0是  的充要条件
x y
证明：（2）必要性
1 1

x y
1 1 y x
  
0
x y
xy
x y
y x0
 xy  0
1 1
综上所述，若x , y是非零实数，且x  y , 则  的
x y
充要条件是xy  0.
二、例题
归纳求p的充要条件的步骤：
例2.求直线l：ax-y+b=0经过点(3,2)的充要条件。
解：∵若直线l经过点(3,2), 则3a-2+b=0,即3a+b=2
(1) 先找
∴3a+b=2为直线l经过点(3,2)的必要条件
p的必要
条件q
又∵若3a+b=2成立，则b=2-3a
∴ax-y+b=ax-y+2-3a=a(x-3)-(y-2)=0
(2)再证明
∵直线a(x-3)-(y-2)=0恒过定点(3,2)
q为p的充
∴3a+b=2为直线l经过点(3,2)的充分条件
分条件
综上所述，直线l经过直线l1和l2的交点的充要条件
为3a+b=2
(3)下结论
二、例题
例3.已知p：|x-4|≤6，q：x2-2x+1-m2≤0，(m>0)，
若﹁p是﹁q的必要不充分条件，求实数m的取值范围.
解：∵由|x-4|≤6可得-2≤x≤10
由x2-2x+1-m2≤0，(m>0)可得1-m≤x≤1+m(m>0)
∴﹁p：x<-2，或x>10
﹁q：x<1-m，或x>1+m(m>0)
∵﹁p是﹁q的必要不充分条件
∴ {x| x<1-m，或x>1+m(m>0) } ≠
{x| x<-2，或x>10 }
m  0

 1  m  2
解得m≥9
1  m  10

检验，当m=9时，﹁q：x<-8，或x>10， 符合题意
∴实数m的取值范围是{m|m≥9}
二、例题
例3.已知p：|x-4|≤6，q：x2-2x+1-m2≤0，(m>0)，
若﹁p是﹁q的必要不充分条件，求实数m的取值范围.
解法2：∵由|x-4|≤6可得-2≤x≤10
由x2-2x+1-m2≤0，(m>0)可得1-m≤x≤1+m(m>0)
∴p：-2≤x≤10 ，q：1-m≤x≤1+m(m>0)
∵﹁p是﹁q的必要不充分条件
∴ q是p的必要不充分条件
1-m≤x≤1+m(m>0)}
∴ {x| -2≤x≤10 } {x|
≠
m  0

 1  m  2
解得m≥9
1  m  10

检验，当m=9时，﹁q：x<-8，或x>10， 符合题意
∴实数m的取值范围是{m|m≥9}
变式1:已知p： x2-8x-20≤0 ，q：x2-2x+1-m2≤0，(m>0)，
若﹁ q是﹁ p的充分不必要条件，求实数m的取值范围.
变式2:已知p： x2-8x-20≤0 ，q：x2-2x+1-m2≤0，(m>0)，
若﹁ q是﹁ p的充要条件，求实数m的取值范围.
练习
1.已知命题“若p，则q”，则下列说法正确的有__________
（3）（4）
（1）若原命题为真命题，则 p是q的充要条件；
（2）若原命题的逆命题为假命题，则q不是p的必要条件；
（3）若原命题的否命题为真命题，则q是p的充分条件；
（4）若原命题的逆否命题为真命题，则q是p的必要条件；
拓展：若﹁p是q的充分不必要条件，则p是﹁q的（ B ）
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.即不充分又不必要条件
注：利用命题的等价性：p是q的什么条件等价于﹁q是
﹁p的什么条件。
练习
2.从“充分不必要条件”、“必要不充分条件”、“充要条
件”
或“既不充分也不必要条件”中选出适当的一种填空：
充分不必要条件
(1) “ A B ” 是 “ A∩B = A ” 的
．
必要不充分条件
(2) “ x∈A ” 是 “ x∈A∩B ” 的
．
充分不必要条件
(3) “ a=b=0 ” 是 “ ab=0 ” 的
．
充分不必要条件
(4) “ 0<x<5 ” 是 “ 2 x - 2 < 5” 的
．
y= ax +bx + c（a ≠ 0）
(5) “ 二次函数
的图象过原点 ” 是
充要条件
“c=0”的
．
练习
3.已知p：m<-3，q：方程x2-x-m=0无实根，那么p是q的
什么条件，试证明你的观点.
2
x
解：方程 - x - m = 0 无实根，则
Δ= (- 1) –4·1· (- m) = 1 + 4m < 0
1
即m < - ．
2
4
∴m < -３
方程
2
x - x - m = 0无实根．
∴p是q的充分条件．
2
∵方程 x - x - m = 0无实根
m < -３，
∴p不是q的必要条件．
∴综上所述，p是q的充分而不必要条件．
练习
4. 设A是C的充分条件，B是C的充分条件，D是C的必要
条件，D是B的充分条件，则
（1） D是C的什么条件？
（2）A是B的什么条件？
A
D
C
(1) D是C的充要条件．
(2) A是B的充分而不必要条件．
B
回顾总结：
1、条件的判断方法
定义法
集合法
等价法（逆否命题）
前置作业
自习教材14页-----20页
1. 1.3节书上出现的命题p与“若p，则q”命题中的字母 p
意义一样吗？
2. 如何判断 “p且q”、“p或q ” 、“非p ” 这三种形式的
复合命题真假？
3.对“p且q”、“p或q ” 、“非p ”这三种形式的复合命题
分别举出一个例子,并判断其真假？
4. 如何用集合知识来理解逻辑联结词 “且 、 或、 非”？
5. 命题 的否定与否命题有什么区别？并举出一个例子。