Transcript 第4课时指数函数

一.分数指数幂
（一）根式
1.平方根
如果x  a，那么x称为a的平方根。
2
练习
16的平方根为
 16的平方根
0的平方根为
注意：
（1）求a的平方根，就是求哪个数的
平方（2次方）等于a。
（2）x  a  x是a的平方根。
2.立方根
3
如果x  a，那么x称为a的立方根。
2
练习
27的立方根为
 27的立方根为
0的立方根为
注意：
（1）求a的立方根，就是求哪个数的
立方（3次方）等于a。
（2）x  a  x是a的立方根。
3
3.n次实数方根（n次方根）
如果x  a（n  1, n  N ），
n
那么x称为a的n次方根。
注意：
（1）求a的n次方根，就是求哪个数的
n次方等于a。
（2）x  a  x是a的n次方根。
练习
n
16的4次方根为
32的5次方根为
0的4次方根为
0的5次方根为
 16的4次方根
 32的5次方根为
提问：我们再来观察刚才的练习，你
有什么发现？
27的立方根为 3
32的5次方根为
2
 27的立方根为 3  32的5次方根为 2
0的立方根为 0
0的5次方根为
16的平方根为  4
16的4次方根为 
0
2
 16的平方根无意义  16的4次方根 无意义
0的平方根为
0
0的4次方根为
0
（3）当n为奇数时：
正数a的n次方根是一个正数；
负数a的n次方根是一个负数；
0的n次方根是0；
这时，a的n次方根只有一个，记为 a .
（4）当n为偶数时：
互为相反数，
正数a的n次方根有两个，
n
正数a的正的n次方根记为 a ,
正数a的负的n次方根记为 a ,
n
正数a的n次方根合记为 a ;
n
n
负数无偶次方根；
0的n次方根是0.
（5）0的任何次方根都是0.
(6)根式
n
式子 a叫做根式，
其中，n叫做根指数，a叫做被开方数。
n
★（7）根式 a (a  0)的含义：
当n为奇数时，表示a的n次方根；
当n为偶数时，表示正数a的正的n次方根；
★（8）在求根式 a的值时，应先看清楚
n
根指数n是奇数，还是偶数，从而弄清
n
（特别易错）
a的含义。
练习
求下列各式的值
3
3
2
3
3
(3). 2
(1).( 5 )
(2).(  2 )
(4). (2)
3
4
3
(5). 2
(6). (2)
4
4
4
(7). (3   ) (8). ( x  1)
提问：通过上面的练习 ，你有什么感悟？
2
2
(9).( a )  a
n
n
n
a , n为奇数
a 
a , n为偶数
n
（二）分数指数幂
1.整数指数幂的定义
(1).正整数指数幂的定义：
n个 a


n
a  a  a      a (n  N  )
(2).负整数指数幂的定义：
1
n
a  n (n  N  , a  0)
a
。
注意：
(1)0的正整数指数幂为0；
0 的负整数指数幂无意义。
(2).a  1(a  0)
0
2.整数指数幂的运算性质
：（
m,
n
是整数）
m
a a a
m
n
m n
(a )  a
m n
mn
a
mn

a
n
a
m
b m b
( )  m
m
m m
(ab)  a b
a
a
注意: 使用性质时，一定要使其有意义。
★3.分数指数幂的定义
引例
10
5
3
a  a  a 5 (a  0)
2
10
12
a
a  a
4
12
3
(a  0)
(1).正数的正分数指数幂的定义 :
m
n
a  a (a  0, m, n均为正整数）
m
n
(2).正数的负分数指数幂的
定义
:
m
a

n

1
a
m
n
(a  0, m, n均为正整数）
注意：
(1)0的正分数指数幂为0，
0的负分数指数幂无意义。
（2）并不是a  0时, 分数指数幂一定没有意义,
只是有的有意义, 有的无意义,高中一般不研究。
(3)正数的任何指数幂均为正数。
4.有理指数幂的运算性质：
m n
m n
a a  a (m, n  Q, a  0)
m
a
mn

a
(
m
,
n

Q
,
a

0
)
n
a
(a )  a (m, n  Q, a  0)
m n
mn
(ab)  a b (m  Q, a  0, b  0)
m
m
m
m
b m b
( )  m (m  Q, a  0, b  0)
a
a
注意：
(1)在本书中, 若无特殊说明,
底数中的字母均为正数；
(2)有理指数幂的运算性质，
也可以进一步推广到实数指数幂。
例题
1.求下列各式的值：
100
64
2
3
1
2
9
3

2
2
3
1
( )
81
3

4
(64) (64)
(64)
8
3
2
3
2
6
4
方法 : 将底数改写成底数最小的幂的形式。
底数是负数时, 先把它化成根式再分析。
注意：
2.计算下列各式的值：(a  0) 2
a
(
3
)
2
2
3
(1)a a (2) a a
a a
3
3
2
(4) a  a
3
1

5 2
1

2 13
 (a )  (a )
方法 : 根式的运算,
一般转化成分数指数幂的运算。
1
2
3.已知a  a
(1).a  a
(3).
1

2
1
 3，求下列各式的值
(2).a  a
2
3
2
3

2
1
2
1

2
a a
a a
2
3
1
4.已知x  x  2，求x  x 的值。
3
5.已知x  y  12, xy  9, 且x  y,
求
1
2
1
2
1
2
2
x y
x y
的值
1
6.若10  3,10  4 则10
x
y
x y

10
x y

7.已知(a  b) (a  b)  (b  a) 成立，
2
则a, b必须满足的条件是
8. 9  4 4  2 3 
3
2
2 3
6
9.若x  y, 则 (4 x  12 xy  9 y ) 
2
2
二.指数函数
（一）
.指数函数的定义
函数y  a (a  0, a  1)，叫做指数函数。
★注意：
x
指数函数底数a的范围：a  0, a  1.
练习
函数y  (a  3a  3)a 是指数函数，
2
则a 
x
（二）
.指数函数的图像和性质
引例
在同一坐标系中画出下列指数函数的图像
(1). y  2
(2). y  3
x
1
(3). y   
2
x
x
1
(4). y   
 3
x
提问: 观察上面几个指数函数 图像, 你有何发现？
★★★1.指数函数的图像（两类）
(1)a  1
(2)0  a  1
2.指数函数的性质
（★★★想图）
类型
a 1
0  a 1
图
象
定义域
性 值域
R
(0,)
函数值 当x  0时，y  1
质
当x  0时，y  1
特征 当x  0时，
0  y 1
单调性
R
(0,)
在（ ，
 ）上是
当x  0时，
0  y 1
当x  0时，y  1
当x  0时，y  1
在（ ，
 ）上是
单调增函数
单调减函数
类型
a 1
0  a 1
图
象
奇偶性
非奇非偶
性 关键点
(0,1)
质 渐近线
x轴
图象的
非奇非偶
(0,1)
x轴
在y轴右侧，从下至上，底数越来越大；
整体规律 在y轴左侧，从下至上，底数越来越小；
练习：
(1)函数y  (1  a) 在R上是单调减函数，
x
则实数a的取值范围是
(2)已知指数函数y  a , y  b , y  c , y  d 的图象
x
x
x
如图所示，则实数a, b, c, d的大小关系是
x
（三）指数函数的应用
1.比较大小
比较下列各组数的大小
2.5
3.2
(2)0.5
(1)1.5 ,1.5
4
(3) 
3
2
3
5
, 
6
0.8
2
3
0.7
1.2
0.3
,0.5
1.2
(4)1.5 ,0.8
0.7
(5)0.8 ,1.1 ,0.8
1.5
比较大小的方法：
(1)作差比
(2)两两比, 与0比, 与1比, 用图像比, 用单调性比。
注意：
与0比，与1比的本质是：
利用不等式的传递性，并不是一定要
与0比，与1比。只不过，大多数时候，
与0比，与1比。
思考题
(1).若函数f ( x)  2 , 对于任意的x1 , x2  R,
x
f ( x1 )  f ( x2 )
 x1  x2 
试比较
与f 
的大小。
2
 2 
若f ( x)   x 呢？
2
你有什么发现？
m
m
n
n
(2).比较a  a 与a  a
(m  n  0, a  0且a  1)的大小。
(3)函数f ( x)  x  bx  c满足f (1  x)  f (1  x),
2
且f (0)  3, 则f (b )与f (c )的大小关系是（
x
A. f (b )  f (c )
x
x
x
B. f (b )  f (c )
x
x
C. f (b )  f (c )
x
x
D.大小关系随x的不同区间而改变
）
2.解指数不等式
(1)3  3
x
0.5
(2)2
(3)12  2  4  0
x
(5)a
x
2 x 2 7 x 3
3 2 x
(4)1  6
2
x 2
0
1  0
1
(6)函数y 
 0.5
 x2
2 x2
 72  2
x
的定义域为
指数不等式的解法：
（1）两边化同底；
（2）利用单调性转化为代数不等式。
3.求函数的单调区间
 x 2  2 x 3
(1)函数y  3
 2的单调增区间为
单调减区间为
1
(2)函数y   
 3
单调减区间为
(3)函数y  2
 x 2  2 x 3
 x 2  ax1
的单调增区间为
在区间 ，
3上是
单调增函数，则a的取值范围是
(4)函数y  12  2  4 的单调增区间为
x
x
单调减区间为
1
(5)函数y   
2
单调减区间为
 x2  x2
的单调增区间为
2x 1
(6)已知函数f ( x)  x , 试讨论函数f ( x)的单调性。
2 1
4.求函数的值域、取值范围。
1 2 x  x
(1)求函数y  0.5
2
的值域
x2
1
2
(2)不等式3   2  a  5a  0,
2
x  0,1恒成立，则a的取值范围是
(3)求函数y  9  2  3  2, x  1,2的值域
x
(4)求函数y  3
x
x 2 2
 9的值域
3 1
(5)求函数y  x 的值域
3 1
x
(6) 设a  0, a  1，如果函数y  a  2a  1,
2x
在 1，
1上的最大值为14，求a的值。
x
5.图像变换
(1)画出下列函数图象
y2
x 1
3
y  x  2 x 3
2
2
y 
3
x
(2)若函数y  a
x 1
1 x
y  ( )  2
2
y  x  2x  3
2
1
y 
2
x2
 1(a  0, a  1)的图象必经过
一个定点，则这个定点的坐标是
(3)已知0  a  1, b  1，则函数y  a  b
x
的图象不经过第
象限。
1 x
1
(4)已知f ( x)     m的图象与x轴有
2
公共点，则m的取值范围是
(5)若直线y  2a与函数y  a  1 , (a  0, a  1)
x
的图象有两个公共点，则a的取值范围是
(6)把函数y  f ( x)的图象向左，向下分别
平移2个单位，得到函数y  2 的图象，则
x
f ( x) 
1 2 x
(7) 要得到函数y  2 的图象，只需将
x
1
指数函数y    的图象，向
4
个单位。
平移
(8)函数y  (a  1)  b  1(a  1, 且a  2)的
x
图象不经过第二象限，则a, b满足的条件
是
6.奇偶性
1 3
 1
(1)已知函数f ( x)   x
  x
 2 1 2 
①求函数f ( x)的定义域；
②讨论函数f ( x)的奇偶性；
③证明f ( x)  0.
1
(2)已知函数f ( x)  a  x
是奇函数，
4 1
求常数a的值。
x
4
设f ( x) 
,
x
24
 1 
 2 
求f 
 f 

 1001 
 1001 
 3 
f
   
 1001 
 1000 
f
的值
 1001 
以下改到函数与方程一 节讲
（3）利用图象法解方程和不等式。
方程f ( x)  g ( x)的解，就是函数
y  f ( x)与y  g ( x)的图象的交点
的横坐标。
不等式f ( x)  g ( x)的解集，就是当函数
y  f ( x)的图象在y  g ( x)的图象上方时，
图象上点的横坐标的范围。
常规方程、不等式：直接求解
方程、不等式的解法
非常规方程、不等式：图象法
例题
方程2  x  2的实根个数有
x
个
注意：用图象法解方程、不等式的原则：
两个图都易画
 3  3a  2
关于x的方程  
有负根，
5a
4
求实数a的取值范围。
x
解不等式 2 x  1  x  1
x
x
(4)解方程2(4  4 )  7(2  2 )  10  0
2
(6)若方程x  ax  2  0的两根都小于  1，
x
x
求a的取值范围。
2
(7)方程x  mx  4  0在 1，
1上有解，
求m的取值范围。
若关于x的方程2  a 2  a  1  0有实根，
2x
x
试求a的取值范围。
设函数f ( x)表示  x  6和  2 x  4 x  6
2
中的较小者，求函数f ( x)的最大值。
方程 log 2 ( x  4)  3 的实根个数有
x
个
(8) log 2 ( x)  x  1
 1
若f ( x)  log a ( x  log 2 a x)对x   0, 
 2
都有意义，则a的取值范围是
2