Transcript 第4课时指数函数
一.分数指数幂
(一)根式
1.平方根
如果x a,那么x称为a的平方根。
2
练习
16的平方根为
16的平方根
0的平方根为
注意:
(1)求a的平方根,就是求哪个数的
平方(2次方)等于a。
(2)x a x是a的平方根。
2.立方根
3
如果x a,那么x称为a的立方根。
2
练习
27的立方根为
27的立方根为
0的立方根为
注意:
(1)求a的立方根,就是求哪个数的
立方(3次方)等于a。
(2)x a x是a的立方根。
3
3.n次实数方根(n次方根)
如果x a(n 1, n N ),
n
那么x称为a的n次方根。
注意:
(1)求a的n次方根,就是求哪个数的
n次方等于a。
(2)x a x是a的n次方根。
练习
n
16的4次方根为
32的5次方根为
0的4次方根为
0的5次方根为
16的4次方根
32的5次方根为
提问:我们再来观察刚才的练习,你
有什么发现?
27的立方根为 3
32的5次方根为
2
27的立方根为 3 32的5次方根为 2
0的立方根为 0
0的5次方根为
16的平方根为 4
16的4次方根为
0
2
16的平方根无意义 16的4次方根 无意义
0的平方根为
0
0的4次方根为
0
(3)当n为奇数时:
正数a的n次方根是一个正数;
负数a的n次方根是一个负数;
0的n次方根是0;
这时,a的n次方根只有一个,记为 a .
(4)当n为偶数时:
互为相反数,
正数a的n次方根有两个,
n
正数a的正的n次方根记为 a ,
正数a的负的n次方根记为 a ,
n
正数a的n次方根合记为 a ;
n
n
负数无偶次方根;
0的n次方根是0.
(5)0的任何次方根都是0.
(6)根式
n
式子 a叫做根式,
其中,n叫做根指数,a叫做被开方数。
n
★(7)根式 a (a 0)的含义:
当n为奇数时,表示a的n次方根;
当n为偶数时,表示正数a的正的n次方根;
★(8)在求根式 a的值时,应先看清楚
n
根指数n是奇数,还是偶数,从而弄清
n
(特别易错)
a的含义。
练习
求下列各式的值
3
3
2
3
3
(3). 2
(1).( 5 )
(2).( 2 )
(4). (2)
3
4
3
(5). 2
(6). (2)
4
4
4
(7). (3 ) (8). ( x 1)
提问:通过上面的练习 ,你有什么感悟?
2
2
(9).( a ) a
n
n
n
a , n为奇数
a
a , n为偶数
n
(二)分数指数幂
1.整数指数幂的定义
(1).正整数指数幂的定义:
n个 a
n
a a a a (n N )
(2).负整数指数幂的定义:
1
n
a n (n N , a 0)
a
。
注意:
(1)0的正整数指数幂为0;
0 的负整数指数幂无意义。
(2).a 1(a 0)
0
2.整数指数幂的运算性质
:(
m,
n
是整数)
m
a a a
m
n
m n
(a ) a
m n
mn
a
mn
a
n
a
m
b m b
( ) m
m
m m
(ab) a b
a
a
注意: 使用性质时,一定要使其有意义。
★3.分数指数幂的定义
引例
10
5
3
a a a 5 (a 0)
2
10
12
a
a a
4
12
3
(a 0)
(1).正数的正分数指数幂的定义 :
m
n
a a (a 0, m, n均为正整数)
m
n
(2).正数的负分数指数幂的
定义
:
m
a
n
1
a
m
n
(a 0, m, n均为正整数)
注意:
(1)0的正分数指数幂为0,
0的负分数指数幂无意义。
(2)并不是a 0时, 分数指数幂一定没有意义,
只是有的有意义, 有的无意义,高中一般不研究。
(3)正数的任何指数幂均为正数。
4.有理指数幂的运算性质:
m n
m n
a a a (m, n Q, a 0)
m
a
mn
a
(
m
,
n
Q
,
a
0
)
n
a
(a ) a (m, n Q, a 0)
m n
mn
(ab) a b (m Q, a 0, b 0)
m
m
m
m
b m b
( ) m (m Q, a 0, b 0)
a
a
注意:
(1)在本书中, 若无特殊说明,
底数中的字母均为正数;
(2)有理指数幂的运算性质,
也可以进一步推广到实数指数幂。
例题
1.求下列各式的值:
100
64
2
3
1
2
9
3
2
2
3
1
( )
81
3
4
(64) (64)
(64)
8
3
2
3
2
6
4
方法 : 将底数改写成底数最小的幂的形式。
底数是负数时, 先把它化成根式再分析。
注意:
2.计算下列各式的值:(a 0) 2
a
(
3
)
2
2
3
(1)a a (2) a a
a a
3
3
2
(4) a a
3
1
5 2
1
2 13
(a ) (a )
方法 : 根式的运算,
一般转化成分数指数幂的运算。
1
2
3.已知a a
(1).a a
(3).
1
2
1
3,求下列各式的值
(2).a a
2
3
2
3
2
1
2
1
2
a a
a a
2
3
1
4.已知x x 2,求x x 的值。
3
5.已知x y 12, xy 9, 且x y,
求
1
2
1
2
1
2
2
x y
x y
的值
1
6.若10 3,10 4 则10
x
y
x y
10
x y
7.已知(a b) (a b) (b a) 成立,
2
则a, b必须满足的条件是
8. 9 4 4 2 3
3
2
2 3
6
9.若x y, 则 (4 x 12 xy 9 y )
2
2
二.指数函数
(一)
.指数函数的定义
函数y a (a 0, a 1),叫做指数函数。
★注意:
x
指数函数底数a的范围:a 0, a 1.
练习
函数y (a 3a 3)a 是指数函数,
2
则a
x
(二)
.指数函数的图像和性质
引例
在同一坐标系中画出下列指数函数的图像
(1). y 2
(2). y 3
x
1
(3). y
2
x
x
1
(4). y
3
x
提问: 观察上面几个指数函数 图像, 你有何发现?
★★★1.指数函数的图像(两类)
(1)a 1
(2)0 a 1
2.指数函数的性质
(★★★想图)
类型
a 1
0 a 1
图
象
定义域
性 值域
R
(0,)
函数值 当x 0时,y 1
质
当x 0时,y 1
特征 当x 0时,
0 y 1
单调性
R
(0,)
在( ,
)上是
当x 0时,
0 y 1
当x 0时,y 1
当x 0时,y 1
在( ,
)上是
单调增函数
单调减函数
类型
a 1
0 a 1
图
象
奇偶性
非奇非偶
性 关键点
(0,1)
质 渐近线
x轴
图象的
非奇非偶
(0,1)
x轴
在y轴右侧,从下至上,底数越来越大;
整体规律 在y轴左侧,从下至上,底数越来越小;
练习:
(1)函数y (1 a) 在R上是单调减函数,
x
则实数a的取值范围是
(2)已知指数函数y a , y b , y c , y d 的图象
x
x
x
如图所示,则实数a, b, c, d的大小关系是
x
(三)指数函数的应用
1.比较大小
比较下列各组数的大小
2.5
3.2
(2)0.5
(1)1.5 ,1.5
4
(3)
3
2
3
5
,
6
0.8
2
3
0.7
1.2
0.3
,0.5
1.2
(4)1.5 ,0.8
0.7
(5)0.8 ,1.1 ,0.8
1.5
比较大小的方法:
(1)作差比
(2)两两比, 与0比, 与1比, 用图像比, 用单调性比。
注意:
与0比,与1比的本质是:
利用不等式的传递性,并不是一定要
与0比,与1比。只不过,大多数时候,
与0比,与1比。
思考题
(1).若函数f ( x) 2 , 对于任意的x1 , x2 R,
x
f ( x1 ) f ( x2 )
x1 x2
试比较
与f
的大小。
2
2
若f ( x) x 呢?
2
你有什么发现?
m
m
n
n
(2).比较a a 与a a
(m n 0, a 0且a 1)的大小。
(3)函数f ( x) x bx c满足f (1 x) f (1 x),
2
且f (0) 3, 则f (b )与f (c )的大小关系是(
x
A. f (b ) f (c )
x
x
x
B. f (b ) f (c )
x
x
C. f (b ) f (c )
x
x
D.大小关系随x的不同区间而改变
)
2.解指数不等式
(1)3 3
x
0.5
(2)2
(3)12 2 4 0
x
(5)a
x
2 x 2 7 x 3
3 2 x
(4)1 6
2
x 2
0
1 0
1
(6)函数y
0.5
x2
2 x2
72 2
x
的定义域为
指数不等式的解法:
(1)两边化同底;
(2)利用单调性转化为代数不等式。
3.求函数的单调区间
x 2 2 x 3
(1)函数y 3
2的单调增区间为
单调减区间为
1
(2)函数y
3
单调减区间为
(3)函数y 2
x 2 2 x 3
x 2 ax1
的单调增区间为
在区间 ,
3上是
单调增函数,则a的取值范围是
(4)函数y 12 2 4 的单调增区间为
x
x
单调减区间为
1
(5)函数y
2
单调减区间为
x2 x2
的单调增区间为
2x 1
(6)已知函数f ( x) x , 试讨论函数f ( x)的单调性。
2 1
4.求函数的值域、取值范围。
1 2 x x
(1)求函数y 0.5
2
的值域
x2
1
2
(2)不等式3 2 a 5a 0,
2
x 0,1恒成立,则a的取值范围是
(3)求函数y 9 2 3 2, x 1,2的值域
x
(4)求函数y 3
x
x 2 2
9的值域
3 1
(5)求函数y x 的值域
3 1
x
(6) 设a 0, a 1,如果函数y a 2a 1,
2x
在 1,
1上的最大值为14,求a的值。
x
5.图像变换
(1)画出下列函数图象
y2
x 1
3
y x 2 x 3
2
2
y
3
x
(2)若函数y a
x 1
1 x
y ( ) 2
2
y x 2x 3
2
1
y
2
x2
1(a 0, a 1)的图象必经过
一个定点,则这个定点的坐标是
(3)已知0 a 1, b 1,则函数y a b
x
的图象不经过第
象限。
1 x
1
(4)已知f ( x) m的图象与x轴有
2
公共点,则m的取值范围是
(5)若直线y 2a与函数y a 1 , (a 0, a 1)
x
的图象有两个公共点,则a的取值范围是
(6)把函数y f ( x)的图象向左,向下分别
平移2个单位,得到函数y 2 的图象,则
x
f ( x)
1 2 x
(7) 要得到函数y 2 的图象,只需将
x
1
指数函数y 的图象,向
4
个单位。
平移
(8)函数y (a 1) b 1(a 1, 且a 2)的
x
图象不经过第二象限,则a, b满足的条件
是
6.奇偶性
1 3
1
(1)已知函数f ( x) x
x
2 1 2
①求函数f ( x)的定义域;
②讨论函数f ( x)的奇偶性;
③证明f ( x) 0.
1
(2)已知函数f ( x) a x
是奇函数,
4 1
求常数a的值。
x
4
设f ( x)
,
x
24
1
2
求f
f
1001
1001
3
f
1001
1000
f
的值
1001
以下改到函数与方程一 节讲
(3)利用图象法解方程和不等式。
方程f ( x) g ( x)的解,就是函数
y f ( x)与y g ( x)的图象的交点
的横坐标。
不等式f ( x) g ( x)的解集,就是当函数
y f ( x)的图象在y g ( x)的图象上方时,
图象上点的横坐标的范围。
常规方程、不等式:直接求解
方程、不等式的解法
非常规方程、不等式:图象法
例题
方程2 x 2的实根个数有
x
个
注意:用图象法解方程、不等式的原则:
两个图都易画
3 3a 2
关于x的方程
有负根,
5a
4
求实数a的取值范围。
x
解不等式 2 x 1 x 1
x
x
(4)解方程2(4 4 ) 7(2 2 ) 10 0
2
(6)若方程x ax 2 0的两根都小于 1,
x
x
求a的取值范围。
2
(7)方程x mx 4 0在 1,
1上有解,
求m的取值范围。
若关于x的方程2 a 2 a 1 0有实根,
2x
x
试求a的取值范围。
设函数f ( x)表示 x 6和 2 x 4 x 6
2
中的较小者,求函数f ( x)的最大值。
方程 log 2 ( x 4) 3 的实根个数有
x
个
(8) log 2 ( x) x 1
1
若f ( x) log a ( x log 2 a x)对x 0,
2
都有意义,则a的取值范围是
2