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(北师大版)
辅导高一、高二、高三年级学生研究性学习
内容：抽象函数的奇偶性、周期性证明及函数值求法
一道抽象函数题的精辟解法
作者：江西省永丰二中 曾庆发
学科学段：高中数学
吉安市2013年1月高一期末统考题
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题：函数 f (x) 满足 f (1)  ,对于 x, y  R,有
4
x y x y
.4 f (
)f(
)  f ( x)  f ( y )
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(1)判断 f (x) 的奇偶性,并证明你的结论；
(2)求证
(3)求
f (x) 为周期函数；
f (2013)的值.
分析：本题是一道抽象形式的函数题，我们可以根据问题的需要，通过自变
量赋值的方法来达到结论证明的目的，这种方法称为赋值法.
解:(1)由于对 x, y  R
成立.令x
x y x y
)f(
)  f ( x)  f ( y )
总有 4 f (
2
2
①
 y  1,由①式得 4 f (1) f (0)  f (1)  f (1)  2 f (1) ,
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1
且 f ( 1)   0，得 f (0) 
4
2
；令
y   x, 由①式得
2 f ( x)  4 f (0) f ( x)  f ( x)  f ( x) ,即 f ( x)  f ( x)
1
由于 f ( 1)  ，显然
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f (x) 为 R 上偶函数.
f ( x)  0 ，故由函数奇偶性的定义知
；
分析：要证明一个函数是周期函数，必须要根据周期函数的定义去操作.
证明：(2)令 y 
x  2 ,由①式得 4 f ( x  1) f (1)  f ( x)  f ( x  2) ，
即 f ( x  1) 
f ( x)  f ( x  2) ②；从而有 f ( x  2)  f ( x  1)  f ( x  3)
由②③得
f ( x)  f ( x  3)  0 ，从而有：
f ( x)   f ( x  3)   f ( x  3)  3  f ( x  6)
由周期函数的定义知 T  6 是函数 f (x ) 的一个周期，
从而证明了 f
(x ) 为周期函数.
；
③；
分析：在求函数值f(-2013)时，要充分利用函数的奇偶性和周期性的性质，
有效利用已知函数值，通过自变量赋值，逐渐朝目标函数值逼近，使问题获解.
解：(3)因 f (x ) 为偶函数.
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由②式令 x  0 ， 得  f (1)  f (1)  f (0)  f (2) ，
4
1
1
解出 f (2)   f (0)   ；
4
4
由②式令
x  1 ，得 f (2)  f (1)  f (3)
1
解出 f (3)  f (2)  f (1)  
2
，
；由偶函数与周期性性质
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得 f (2013)  f (2013)  f (335  6  3)  f (3)   为
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所求值.
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