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辅导高二、三年级学生研究性学习不等式的证明方法
内容：新课标北师大版高中数学选修系列2-2中第12页第4题的证法
微课系列二之2：
一道课本习题的多种证法
证法知多少，恰似思维火花绽放满枝头
制作、主讲：江西省永丰二中 曾庆发
思维泉曾庆发高中数学工作室
http://www.jxteacher.com/zqfsx
新课标北师大版高中数学选修系列2-2中第
12页第4题,是一道既可以培养高中生的发散思
维和创造思维能力,又具有教学上探索性和开
放性功能的难得好题,我将从多角度深层次上
发掘该题的不同证法,意在起到抛砖引玉之效.
题：已知a, b, c, d 都是实数，且 a  b  1 ，
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c  d  1 ；求证：ac  bd  1 .
本题共有18种证明方法,每一
讲介绍3种方法;本讲介绍：利
用综合法及绝对值不等式性
质、均值不等式 、放缩法 .
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方法4：利用综合法及绝对值不等式性质
证明：因 a, b, c, d 都是实数，且 a  b  1 ，
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c  d  1 ；由绝对值不等式性质及均值不等式
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a c
b d
ac  bd  ac  bd 

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得
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( a 2  b 2 )  (c 2  d 2 )

1.
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方法5：利用均值不等式法
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a

c
a

c
证明:因 a  c  a  c  2 ac , 
；
 ac 
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b2  d 2
b2  d 2
 bd 
同理：
；两式相加得
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 1  ac  bd  1 ，即 ac  bd  1 .
方法6：放缩法
证明:因1  (a 2  b 2 )(c 2  d 2 )  (a 2c 2  2abcd  b 2 d 2 ) 
(a d  2abcd  b c )  (ac  bd )  (ad  bc)
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 (ac  bd ) ,故 ac  bd  1 .
小结：第二讲介绍“由因导果”
的推理过程，主要利用均值不
等式、绝对值不等式性质、放
缩法，是常用的方法与技巧.
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