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辅导高二、三年级学生研究性学习不等式的证明方法
内容：新课标北师大版高中数学选修系列2-2中第12页第4题的证法
微课系列二之6：
一道课本习题的多种证法
证法知多少，恰似思维火花绽放满枝头
制作、主讲：江西省永丰二中 曾庆发
思维泉曾庆发高中数学工作室
http://www.jxteacher.com/zqfsx
新课标北师大版高中数学选修系列2-2中第
12页第4题,是一道既可以培养高中生的发散思
维和创造思维能力,又具有教学上探索性和开
放性功能的难得好题,我将从多角度深层次上
发掘该题的不同证法,意在起到抛砖引玉之效.
题：已知a, b, c, d 都是实数，且 a  b  1 ，
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c  d  1 ；求证：ac  bd  1 .
本题共有18种证明方法,每一
讲介绍3种方法;本讲介绍：用
平面几何和解析几何知识来解
决问题，构造新颖、方法巧妙.
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方法16：利用平面几何知识
证明:设直角坐标平面内任意两点 M (a, b), N (c, d )及
原点 O (0,0) .由于 OM  ON  MN ，即有
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1  1  a  b  c  d  (a  c)  (b  d ) ，
平方整理得 ac  bd  1;将点 N换成 N (c,d ) ，
由 OM  ON   MN  可得 ac  bd  1 .
于是得  1  ac  bd  1，
即 ac  bd  1.
方法17：利用解析几何知识
证明:因 a 2  b 2  1,则a 、b 不同时为零，故设直线
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方程为
又因
,
ax

by

0

c  d  1 ,则点 N (c, d )
在单位圆 x 2  y 2  1 上;由于过原点的直线 表示为
单位圆任意一条直径所在的直线,则圆上点N 到圆
的直径所在直线 的距离小于或等于圆半径，故
有 ac  bd / a 2  b 2  1 ，
即 ac  bd  1.
方法18：利用圆的性质
c  d  1 ,则点 M (a, b), N (c, d ) 均
证明:由于 a  b  1，
在以O (0,0) 为圆心,以 r  1为半径的圆上.显然弦
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(
a

c
)

(
b

d
)
 2 , 化简
长 MN  2r (直径)，即
得ac  bd  1 ；将点N 改成 N (c,d ) ，同理可得
ac  bd  1;综合得 ac  bd  1.
小结:第六讲通过构造几何图
形,使思维得到发散与整合,利
用平几和解几知识,创造性地
解决问题,让能力得到了提升.
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