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辅导高二、三年级学生研究性学习不等式的证明方法
内容：新课标北师大版高中数学选修系列2-2中第12页第4题的证法
微课系列二之1：
一道课本习题的多种证法
证法知多少，恰似思维火花绽放满枝头
制作、主讲：江西省永丰二中 曾庆发
思维泉曾庆发高中数学工作室
http://www.jxteacher.com/zqfsx
新课标北师大版高中数学选修系列2-2中第
12页第4题,是一道既可以培养高中生的发散思
维和创造思维能力,又具有教学上探索性和开
放性功能的难得好题,我将从多角度深层次上
发掘该题的不同证法,意在起到抛砖引玉之效.
题：已知a, b, c, d 都是实数，且 a  b  1 ，
2
2
c  d  1 ；求证：ac  bd  1 .
对本题总结归纳了18种证明方
法，每一讲介绍3种方法；本
讲介绍：作差比较法 、平方
作差比较法、 作商比较法 .
2
2
方法1：作差比较法
证明：由 ac  bd  1 1  ac  bd  1;分两次作差：
;
a 2  b 2  c 2  d 2 (a  c) 2  (b  d ) 2
ac  bd  (1)  ac  bd 
2

2
0
a2  b2  c2  d 2
(a  c) 2  (b  d ) 2
1  (ac  bd ) 
 (ac  bd ) 
0
2
2
从而有ac  bd  1 且 ac  bd  1；
综合得 ac  bd  1 .
.
方法2：平方作差比较法
证明:因 ac  bd 与1均为非负数,则1  ac  bd 
2
2
(a 2  b 2 )(c 2  d 2 )  (ac  bd ) 2  (ad  bc) 2  0 ，
即 ac  bd
2
1 ；
故 ac  bd  1 .
方法3：作商比较法
证明：①若 ac  bd  0 ，不等式显然成立；
②若 ac  bd  0，由
(a 2  b 2 )(c 2  d 2 )
(ac  bd ) 2  (ad  bc) 2
(ac  bd ) 2
1



1
ac  bd
ac  bd
ac  bd
ac  bd
可得 ac  bd  1；综合①②
知 ac  bd  1 .
小结：第一讲主要介绍作差
与作商比较法，简洁实效.
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