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辅导高二、三年级学生研究性学习不等式的证明方法
内容：新课标北师大版高中数学选修系列2-2中第12页第4题的证法
微课系列二之3：
一道课本习题的多种证法
证法知多少，恰似思维火花绽放满枝头
制作、主讲：江西省永丰二中 曾庆发
思维泉曾庆发高中数学工作室
http://www.jxteacher.com/zqfsx
新课标北师大版高中数学选修系列2-2中第
12页第4题,是一道既可以培养高中生的发散思
维和创造思维能力,又具有教学上探索性和开
放性功能的难得好题,我将从多角度深层次上
发掘该题的不同证法,意在起到抛砖引玉之效.
题：已知a, b, c, d 都是实数，且 a  b  1 ，
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c  d  1 ；求证：ac  bd  1 .
本题共有18种证明方法,每一
讲介绍3种方法;本讲介绍：用
分析法与反证法证明不等式，
要正确使用数学术语.
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方法7：分析法一
证明:由条件a  b  1及 c 2  d 2  1,要证 ac  bd  1；
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只需证 ac  bd
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 1  (a  b )(c  d ) ；
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(
ad

bc
)
 0 ;而 a, b, c, d  R，
展开整理得又需证
则 (ad  bc) 2  0 显然成立；
即 ac  bd  1获证.
方法8：分析法二
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c

d
 1,要证 ac  bd  1；
证明:由条件a  b  1及
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只需证 ac  bd
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 1  a  b ；展开变形后又需证
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a (1  c )  b (1  d )  2abcd  0 ；即需
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证 (ad  bc) 2  0，而它显然成立；
故 ac  bd  1获证.
方法9：反证法
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(
ac

bd
)

1

(
a

b
)(
c

d
)，
证明:假设 ac  bd  1,即
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(
ad

bc
)
0
展开化简得 (ad  bc)  0 ,这与事实
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相矛盾;故假设不成立,即原命题 ac  bd  1成立.
小结：第三讲介绍执果索因、正
难则反的思维推理，分析法与反
证法是两种行之有效的重要方法.
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