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辅导高二、三年级学生研究性学习不等式的证明方法
内容：新课标北师大版高中数学选修系列2-2中第12页第4题的证法
微课系列二之4：
一道课本习题的多种证法
证法知多少，恰似思维火花绽放满枝头
制作、主讲：江西省永丰二中 曾庆发
思维泉曾庆发高中数学工作室
http://www.jxteacher.com/zqfsx
新课标北师大版高中数学选修系列2-2中第
12页第4题,是一道既可以培养高中生的发散思
维和创造思维能力,又具有教学上探索性和开
放性功能的难得好题,我将从多角度深层次上
发掘该题的不同证法,意在起到抛砖引玉之效.
题：已知a, b, c, d 都是实数，且 a  b  1 ，
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c  d  1 ；求证：ac  bd  1 .
本题共有18种证明方法,每一
讲介绍3种方法;本讲介绍：用
换元法、构造函数法和利用柯
西不等式来解决问题.
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方法10：三角换元法
证明：因 a  b  1 ，c  d  1 ；
令 a  cos  , b  sin  ，c  cos  , d  sin  ；
则 ac  bd  cos  cos   sin  sin   cos(   )  1 .
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（若令 a  sin  , b  cos  ，c  cos  , d  sin  ；
则 ac  bd  sin(    )  1 .）
方法11：构造二次函数法
证明:由于 a  b  1，
c  d  1;令f ( x)  (ax  c)  (bx  d )
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 (a  b ) x  2(ac  bd ) x  c  d
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 x  2(ac  bd ) x  1  0 对 x  R 恒成立；
则必有  4(ac  bd ) 2  4  0 ，
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于是得(ac  bd )  1 ，
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即 ac  bd  1.
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方法12：利用柯西不等式
证明：由著名的柯西不等式(北师大版选修4-5)
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可得：
1  1 1  (a  b )(c  d )  (ac  bd ) ,
即有 ac  bd  1成立.
小结：第四讲介绍了三角换
元法、构造函数法及利用柯
西不等式来处理问题，是解
题中常用的思想和方法.
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