Transcript 函数作图

§4.6 函数作图
一
曲线的渐近线
1 概念：若曲线y=f(x)上的动点P沿着曲线无限地远离坐标原点
时，点P与某一直线L的距离趋于0，则称直线L为曲线y=f(x)的
渐近线。分为水平渐近线，垂直渐近线和斜渐近线三种。
2 垂直渐近线： 当x  a(或a  , a  )时, f ( x)  (或  ,)
则称直线x  a为曲线y  f (x)的垂直渐近线, 如
lim tan x  , 则x 
x


2
是y  tan x的垂直渐近线
2
【4-6-1】
3 水平渐近线：
若 lim f ( x)  b(常数),则称y  b是y  f ( x)的水平渐近线
x 
此处的包括  和  两个方面, 如
1
1
lim (1  )  1, 所以y  1是y  1  的水平渐近线(两条相同)
x
x
x 
lim arctanx 
x  

, lim arctanx  
2 x 

2
 y  arctanx有两条不同的水平渐近线
【4-6-2】
4 斜渐近线：
(1)若 lim f ( x)  , 则y  f ( x)可能有斜渐近线
x 
（2）斜渐近线的存在条件
Y
设有斜渐近线y  kx  b(k  0)(如右图)
 PN  PM cos  f ( x)  (kx  b) cos
而L是斜渐近线,cos  0
 lim PN  0  lim [ f ( x)  (kx  b)]
x 
x 
f ( x)  kx  b
f ( x)
 lim
 lim
k 0
x
x
x 
x 
P
y  f (x)
M
N

O
X
y  kx  b
【4-6-3】
f ( x)
 k  lim
x  x
代入上式极限有b  lim [ f ( x)  kx]
x 
若k , b的极限均存在, 则y  f ( x)有斜渐近线y  kx  b
否则曲线就没有斜渐近线。
注： 考察x  的极限时应分别x  和x  进行考察,
它们的极限不一定同时存在，而且有时即使同时存在，也不一
定相同，只有相同时才不需区分。
【4-6-4】
5 曲线的渐近线的寻找步骤
（1）按定义考察函数是否有水平和垂直渐近线，若有则求出
f ( x)
(2)考察极限 lim
和 lim [ f ( x)  kx]是否同时存在
x  x
x 
若同时存在, 则有斜渐近线y  kx  b, 否则没有斜渐近线
6 举例
例1 求下列函数的渐近线
【4-6-5】
(1) y  x 2  1
f ( x)
x2  1
f ( x)
x2  1
解 lim
 lim
 1, lim
 lim
 1
x 
x

x

x

x
x
x
x
lim [ f ( x)  kx]  lim [ x 2  1  x]  lim
x 
x 
x 
lim [ f ( x)  kx]  lim [ x 2  1  x]  lim
x 
x 
x 
1
0
x2  1  x
1
x2  1  x
0
曲线有斜渐近线y  x和y   x, 没有垂直渐近线
【4-6-6】
(2) y
1
 ( x  2)e x
1
x
1
1
解 lim f ( x)  lim ( x  2)e t  lim (  2)et  
x 0
x 0
x t  t
函数有垂直渐近线x  0
f ( x)
又  lim
 lim
x  x
x 
1
x
1
( x  2)e x
x
1
1
x
lim[( x  2)e  x]  lim x(e  1)  2 lim e
x 
x 
1
x
x 
et  1
 lim
23
t 0
t
函数有斜渐近线y  x  3
【4-6-7】
ln(1  x)
(3) y 
x
解 函数的定义域为(1,0) (0, )
1
ln(1  x)
lim f ( x)  lim
 lim 1  x  0
x
x 
x 
x  1
ln(1  x)
lim f ( x)  lim
 
x
x  1
x  1
函数有水平渐近线y  0和垂直渐近线x  1
【4-6-8】
(4) y  x arctanx
x arctan x

f ( x)
x arctan x 

解 lim
 lim
 , xlim

x
2
x 
x 
x
x
2
lim ( x arctanx 

x)  lim
arctanx 

2  lim
 x2
2
 1
1
x  1  x
x

arctanx 
2


x
2  lim
lim ( x arctanx  x)  lim
 1
2
1
2
x 
x 
x  1  x
x
x 
2
函数有斜渐近线 y 
x 

2
x  1和y  

2
x 1
【4-6-9】
二 函数作图
1 函数作图步骤：
（1）求y=f(x)的定义域
（2）判断y=f(x)的奇偶性，周期性，若有则可简化作图
（3）找y=f(x)的特殊点：与坐标轴的交点，不连续点，不可
导点
（4）求y=f(x)的一、二阶导数，确定单调区间，极值点，凸性
区间，拐点
（5）求曲线y=f(x)的渐近线
（6）将函数y=f(x)的有关性态的结论列表汇总，然后按表作
图
【4-6-10】
2 作图举例
例2
作函数y 
2x
( x  1)
2
的图形
解：函数的定义域为(,1)  (1,),与x轴, y轴的交点为(0,0)
 y 
 2( x  1)
( x  1)3
又 lim
2x
x 1 ( x  1)
2
, y 
4( x  2)
( x  1) 4
 , lim
, y(1)  0, y(2)  0
2x
x  ( x  1)
2
0
函数有水平渐近线y  0和垂直渐近线x  1
将有关性态列表如下：
【4--6-11】
y
(,2)
2
(2,1)
1
(1,1)
(1,)
单减
上凸
拐点
单减
极小值点
单增
下凸
单减
下凸
4

9

下凸
y
y
0
+
依表作图
1
2
0
+
+
+
+
Y
2
1
O
X
x 1
【4-6-12】