Transcript 3.6曲线性质及作图

§3.5 利用导数研究曲线性质
一、函数的凹凸性与拐点
在研究函数图象的变化状况时，仅了解单调
性还不能完全反映它的变化规律．函数的图象始
终是上升（或下降）的，但却可以有不同的弯曲
状况．因此，研究函数图象时，考察它的弯曲方
向以及改变弯曲方向的点是完全必要的.
下面我们在观察一下曲线向上弯曲与向下弯
曲有何不同?
凹

凸
  
x
x x x
易见,曲线上任
何一点的切线均
在该曲线的下方
x x x x
 


易见,曲线上任何
一点的切线均在
该曲线的上方
凹

凸
  
x
x x x
易见随着 x 的不断增大,切
线与 x 轴正方向的夹角 
也在不断增大, 即 tan   f ( x )
随着 x 的增大而增大,亦
即 f (x ) 为增函数
x x x x
 


易见随着 x 的不断增大,切
线与 x 轴正方向的夹角 
在不断变小, 即 tan   f ( x )
随着 x 的增大而减小,亦即
f (x ) 为减函数
曲线向上弯曲的弧段位于这弧段上任意一点
的切线的上方；而向下弯曲的弧段则位于该弧段
上任意一点的切线的下方．
我们给出如下定义：
定义3.5 如果在某区间内，曲线弧位于其
上任意一点的切线的上方，则称曲线在此区间内
是凹的(或上凹的)；如果在某区间内，曲线弧位
于其上任意一点的切线的下方，则称曲线在此区
间内是凸的(或下凹的)．
那么如何判断曲线的凹凸性呢?
可见曲线凹时, f (x ) 单调递增;曲线凸时, f (x )
单调递减;由此可见有如下定理
定理3.10 设函数 y  f ( x ) 在区间 ( a , b ) 内存在
二阶导数， 若
（1）在 ( a , b )内，恒有 f ( x )  0，则曲线 y  f (x )
在 ( a , b )内是凹的;
（2）在 ( a , b )内，恒有 f ( x )  0，则曲线 y  f (x )
在 ( a , b )内是凸的.
定义3.6 连续曲线上凹与凸的分界点称为曲
线的拐点．
拐点既然是曲线凹与凸的分界点，那么在拐
点的左、右邻近 f (x ) 必然异号，因而在拐点横坐
标 x 0 处有 f ( x0 )  0 或 f ( x0 ) 不存在.
与驻点的情形类似，使 f ( x0 )  0 的点 x 0 不一定
就是拐点的横坐标 .
4
y

x
如
在 x  0 处，虽然二阶导数为０，但不
是拐点的横坐标(见图)；
同样, f  ( x0 )不存在的点 x 0 也不
一定是拐点的横坐标,如 y  3 x 2
在 x  0 处，虽然二阶导数不存
在，但 x  0 也不是拐点的横坐
标(见图)．
f ( x 0 )  0或 f  ( x0 )不存在
x 0 究竟是否为拐点的横
的点
坐标，还要根据在该点的左
右邻近 f ( x )是否异号来确定.
y
y  x4
x
o
y
y  3 x2
x
o
求曲线 y  f ( x ) 拐点的一般步骤如下：
（1）确定函数 y  f ( x ) 的定义域；
（2）先求出函数 y  f ( x ) 的二阶导数，找出
在定义域内使得 f  ( x0 )  0 的点和 f  ( x0 ) 不存在的点；
（3）对上述求出的每一个点 x 0 ，检查其左、
右邻近的 f (x ) 的符号，如果 f (x ) 异号,则( x0 , f ( x0 ))点
是曲线 y  f ( x ) 的拐点； 如果 f (x ) 同号,则 ( x0 , f ( x0 ))
点不是曲线 y  f ( x ) 的拐点．
例１ 求曲线
y  x4  2x 3  1
的凹向区间与拐点 .
解 函数的定义域为 ( ,)
令
y  4 x 3  6 x 2
y   12 x 2  12 x  12 x( x  1)
y   0 ，解得 x1  0, x 2  1 ．
x1  0, x2  1 把定义域分成三个区间，列表如下：
1
(1, )
0
0

拐点
拐点
(1,0 )

x
(,0)
0
f (x )


f ( x)
( 0,1)

( 0,1)
例２ 求曲线 y  3 x 的拐点．
，
函数的定义域为 ( ,)
解
1
y 
3
3
x
2
2
y   
9x
3
x
2
显然 x  0 时, y 不存在
所以该曲线的拐点为
( 0 ,0 )
x (,0)
y 

y

0
(0,)
不存在
0

二、曲线的曲率
• 在工程技术中,有时需要考虑曲线的弯曲程度.如在
设计铁路或公路的弯道时,必须考虑弯道处的弯曲
程度.
• 在数学上,用曲率来表示曲线的弯曲程度
• 1.曲率的计算公式 ：
• 设函数具有二阶导数，则曲线在任意点的曲率计
算公式为：
K
y 
(1  y  2 )
3
2
例：已知圆的半径为R，求圆上任一点处的曲率
• 解 圆的方程为:
x
y  
y
K
x2  y2  R2
y  xy
R2
y  
 3
2
y
y
y 
(1  y  2 )
.
3
2
1

R
可见，圆上任一点的曲率都相等，而且等于半径
的倒数，即圆的弯曲程度处处一样，半径越小，
曲率越大，弯曲得越厉害．
2．曲率圆和曲率半径
•
•
•
•
•
•
•
•
定义3.5 如果一个圆满足下列三个条件：
(1)在M点与曲线有公切线；
(2)与曲线在M点附近有相同的凹性；
(3)与曲线在M点处有相同的曲率．
则这个圆叫做曲线在M点的曲率圆．
曲率圆的中心叫做曲线在M点的曲率中心；
曲率圆的半径叫曲线在M点的曲率半径
(如下图所示).
例3.18 设工件内表面的截线为抛物线
y  0.4 x 2
现在要用砂轮磨削其内表面，问用直径多大的砂轮
比较合适？
分析：为了在磨削时不使砂轮与工件
接触处附近的部分工件磨去太多,砂轮
的半径就小于或等于工件的内表面截
线上各点处的曲率半径的最小值，否
则就会磨掉工件的不应磨去的部分，
因此,应先计算其曲率半径的最小值，
即曲率的最大值
• 由于. y  0.4 x 2
y   0 .8 x
, y   0.8
• 所以，工件内表面截线上任意一点的曲率半径为
3
2 2
(1  0.64 x )
R
0.8
3
2 2
(1  0.64 x )

0.8
当 x=0时，即在抛物线的顶点处，R 的值最小，
这个最小值为 Rmin  1.25 ．因此应选用直径等
于或略小于单位的砂轮磨削工件内表面才比较
合适．
三、曲线的渐近线
有些函数的定义域和值域都是有限区间，此
时函数的图象局限于一定的范围之内，如圆、椭
圆等．而有些函数的定义域或值域是无穷区间，
此时函数的图象向无穷
远处延伸，如双曲线、
抛物线等．有些向无穷
远延伸的曲线会趋近于
某一条直线，这样的直
线叫做曲线的渐近线
y
y  f ( x)
l
o
渐近线分为水平渐近线、铅垂渐近线和斜
渐近线三种．
x
1．水平渐近线
设曲线 y  f ( x ) 定义域为无限区间，如果
lim f ( x)  c ( 或 lim f ( x)  c ) 则称直线 y  c 为
x 
x 
曲线 y  f ( x ) 的水平渐近线．
x
y

e
例３ 求曲线
的水平渐近线．
x
lim
e
0
解 因为
x 
x
y

0
y

e
所以直线
为曲线
的水平渐近线．
例4 求曲线
解
所以 y 
x2  3x  4
y  2  ln 2
的水平渐近线．
x  5x  6
x2  3x  4
x2  3x  4
( 2  ln 2
)  2  ln( lim 2
)2
因为 lim
x 
x


x  5 x 2 6
x  5x  6
x  3x  4
y

2

ln
2 为曲线
x 2  5 x  6 的水平渐近线．
2．铅垂渐近线
f ( x)  
如果曲线 y  f ( x ) 在 x 0点间断，且 xlim
x

0
f ( x )   ,则称直线 x  x 0为曲线 y  f ( x ) 的铅
或 xlim
x

0
垂渐近线．
例6 求曲线
垂渐近线．
解 因为
所以直线
又因为
lim
x 
y0
y
3
x2
的水平渐近线和铅
3
0
x2
为该曲线的水平渐近线
3
lim

x 2 x  2
所以直线 x  2 为该曲线的一条铅垂渐近线．
例7 求曲线 y  ln( x  1) 的铅垂渐近线．
ln( x  1)  
解 因为 xlim
 1

所以 x  1是其一条铅垂渐近线
3.斜渐近线
用公式 a  lim
x 
f ( x)
x
b  lim  f ( x)  ax 
x 
求出 a, b 后代入方程 y  ax  b ,即得到斜渐近线
例8 求曲线
解 因为
2x3
y
1  x2
的斜渐近线
f ( x)
2x2
a  lim
 lim
2
2
x 
x  1  x
x
2x3
 2x
b  lim  f ( x )  ax   lim (

2
x
)

lim
0
x 
x  1  x 2
x  1  x 2
所以曲线
x3
y
1  x2
的斜渐近线为 y  2 x
三、函数作图
综合前面讨论函数的各种性质，就可以较为
准确地描绘出函数的图象．
具体方法及步骤如下：
1．确定函数的定义域；
2．判断函数的奇偶性或周期性；
3．确定函数的单调区间、极值点、凹凸
区间及拐点；
4．确定曲线的渐近线；
5．由曲线方程计算出一些特殊点的坐标
(包括曲线与坐标轴的交点、极值点、拐点等)
6．根据上述情况描点绘图．
例５ 作函数
y
1
2
e
x2

2
的图象．
解 （1）该函数的定义域为 (  ,  )
（2）该函数是偶函数，其图象关于 y 轴对称.因
此只讨论 [0 ,  ) 上该函数的图形．
x
( 3) y   
e
x2

2
, y  
( x  1)
2
e
x2

2
2
2
令y   0，解得 x  0 ；令 y   0 ，得 x  1 ．
点 x  1,0,1把
定义域分成了四个
区间，只列 x  0 的
部分：
（4）因为
lim
x 
1
2
e
0
y
0
0
(0,1)
1
(1,   )
1

y 
1
y
2
极大值
2
x

2
x
拐点为
1
2e

( 1,
所以直线 y  0 为水平渐近线．
（5）描点绘图．
1
2e
)

y
y
1
2
e
x2

2
1
2
(1,
o
1
2 e
)
x
习题3-6
1．求下列函数的凹向区间和拐点：
y x
5
y  xe  x
y  ln( x 2  1)
y  ( x  2)
5
3
4
2
y

x

6
x
 5 在( 2,13)点附近的凹
2．试说明曲线
凸性．
3．当 a, b 为向值时，点 (1,3)是曲线
y  ax 3  bx 2的拐点？