Transcript 与二重极限

复习
1. 区域
• 邻域 : U ( P0 , δ ) , U ( P0 , δ ) .
• 区域
连通的开集
• Rn
2. 多元函数概念
n 元函数 u  f ( P )  f ( x 1 , x 2 ,
常用
, x n ), P  D  R n
二元函数 (图形一般为空间曲面)
三元函数
3. 多元函数的极限
lim f ( P )  A
P  P0
当 0  P P0  δ
有 f ( P )  A  时，
ε
 ε  0, δ  0,
4. 多元函数的连续性
1) 函数 f ( P ) 在 P0
lim f ( P )  f ( P0 )
P  P0
2) 闭域上的多元连续函数的性质:
有界定理 ; 最值定理 ; 介值定理
3) 一切多元初等函数在定义区域内连续
lim
x 0
y 0
xy
x  y
2
xy
lim
2
( x, y )  ( 0 ,0 )
xy
3
lim
x 0
y 0
x y
lim
x  y
6
( x, y )  ( 0 ,0 )
2
3
lim
( x , y )  ( 0 ,0 )
lim
( x , y )  ( 0 ,0 )
lim
( x , y ) (  , )
x y
2
(x  y )
2
4
2
lim
,
x  y
2
x y
xy  1  1
li m
x  xy  y
x y
( x , y )  ( 0 ,0 )
2
2
x y
2
x y
x ln(1  xy )
x 0
y 0
xy
x y
lim
2
x 0
y 0
x y
2
x y  ( x  y)
2
2
2
lim
( x , y )  ( 0 ,0 )
lim
xy  1  1
x 0
y 0
lim
( x  y ) ln( x  y )
lim
(x  y )
( x , y )  ( 0 ,0 )
( x , y )  ( 0 ,0 )
2
2
2
2
2
lim x sin
x 0
y 0
arcsin( xy )
1
 y sin
y
( x , y )  ( 0 ,0 )
1
sin( x y )
x  y
2
x  y
2
1
x
2
lim
2
2
x 0
y 0
y
2
2
lim ( x  y ) sin
sin ( x  xy )
( x , y )  ( 0 ,1 )
2
(x  y )x y
2
2
lim
1  cos( x  y )
2
xy
2
2
注. 二重极限 lim f ( x , y ) 与累次极限 lim lim f ( x , y )
x  x0
y  y0
x  x 0 y  y0
及 lim lim f ( x , y ) 不同.
y  y0 x  x 0
二次极限（累次极限）与二重极限（重极限）
的存在性之间没有必然的联系。
如果它们都存在, 则三者相等.
若累次极限存在但不相等，则重极限必不存在
（可用于否定重极限的存在性）。
例1 (两个二次极限存在且相等，二重极限不存在）
xy
lim
x  y
2
x 0
y 0
2
lim
x 0
xy
x  y
2
2
lim
y 0
xy
x  y
2
2
例2 (两个二次极限存在但不相等，二重极限不存在）
x  y
2
x  y
2
2
lim
x 0
y 0
2
x  y
2
x  y
2
2
lim
x 0
2
x  y
2
x  y
2
2
lim
y 0
2
例3 (二重极限存在，但两个二次极限不存在）
lim x sin
x 0
y 0
1
y
 y sin
1
x
第二节
偏 导 数
一、 偏导数概念及其计算
二 、高阶偏导数
一、 偏导数定义及其计算法
引例: 研究弦在点 x0 处的振动速度与加速度, 就是
将振幅 u ( x , t ) 中的 x 固定于 x0 处, 求 u ( x 0 , t ) 关于 t
的一阶导数与二阶导数.
u
u ( x0 , t )
u( x , t )
O
x0
x
定义1. 设函数 z  f ( x , y ) 在点 ( x0 , y0 ) 的某邻域内
极限 lim
f ( x 0   x , y0 )  f ( x 0 , y0 )
x
x 0
存在,则
称此极限为函数 z  f ( x , y ) 在 点 ( x 0 , y 0 ) 关于x 的
偏导数， 记为 f x ( x 0 , y 0 ) ;
z
 x ( x 0 , y0 )
;
f 1( x 0 , y 0 )
f
 x ( x 0 , y0 )
注意: f x ( x 0 , y 0 )  lim
;
或
zx
( x 0 , y0 )
;
f ( x 0   x , y0 )  f ( x 0 , y0 )
f ( x 0x 0 x )  f ( x 0 )  xd y

f  ( x 0 )  lim
x 0
d x
d x x  x0

f ( x , y0 ) x  x
0
dx
同样可定义对 y 的偏导数
f ( x 0 , y0   y )  f ( x 0 , y0 )
f y ( x 0 , y 0 )  lim
y
 y 0
d

dy
f ( x0 , y)
y  y0
若函数 z = f ( x , y ) 在域 D 内每一点 ( x , y ) 处对 x
或 y 偏导数存在 , 则该偏导数称为偏导函数, 也简称
为偏导数 ,记为
z
x
z
y
,
,
f
x
f
y
, zx ,
f x ( x , y ) , f 1( x , y )
, z y , f y ( x , y ) , f 2( x , y )
偏导数的概念可以推广到二元以上的函数 .
例如, 三元函数 u = f (x , y , z) 在点 (x , y , z) 处对
x 的偏导数定义为
f x ( x , y , z )  lim
 x 0
f ( x   x , y, z )  f ( x , y , z )
x
f y ( x , y, z )  ?
(请自己写出)
fz ( x , y, z )  ?
由偏导数的定义可知，偏导数本质上是一元函
数的微分法问题。
求
求
f
x
f
y
时
，
时
只要把 x 之外的其他自变量暂时看
成常量，对 x 求导数即可。
只要把 y 之外的其他自变量暂时看
成常量，对 y 求导数即可。
其它情况类似。
例1 求
解:
2
z  x  3 xy  y
z
x
z
y
例2 求
解
z
x
z
y
2
的偏导数．
 2x  3 y ;
把 y 看成常量
 3x  2 y .
把 x 看成常量
2
z  x sin 2 y
的偏导数．
 2 x sin 2 y ;
把 y 看成常量
 2 x 2 cos 2 y .
把 x 看成常量
y
例3. 设 z  x ( x  0, 且 x  1），求证
x z
y x
z
证:
x

x z
y x
例4. 求 r 
解:
 yx
r
x


y 1
1

1
ln x  y
z
,
y
z
ln x  y
2
y
 2z
的偏导数 .
2
2 x  y z
2
 x y ln x
y
2x
2
 2z
 x  x
x  y z
2
z
2

x
r
r
y

y
r
,
r
z

z
r
例5. 设 z
x
 arcsin
x  y
2
解
z
x
1

x
1
x  y
2
x  y
2


x  y
y
2
.
z
x
z
,


2
2 
x  y x
y

x
2
(x  y )
2
| y|
2
2
2

 


2
| y|

2
求
,
2
(
3
y  | y |)
2
有关偏导数的几点说明：
1. 求某一给定点处的偏导数可以先求后代，也
可以先代后求.
例6 . 求 z  x 2  3 x y  y 2 在点(1 , 2) 处的偏导数.
解法1 z x  2 x  3 y ,
zy  3x  2 y
z x (1, 2 )  2  1  3  2  8 ,
解法2
z
z y (1, 2 )  3  1  2  2  7
 x  6x  4
2
y 2
先代后求
z x ( 1, 2)  ( 2 x  6 ) | x  1  8
z
x 1
 1 3y y
2
z y (1, 2 )  ( 3  2 y )
先求后代
y2
7
有关偏导数的几点说明：
1. 求某一给定点处的偏导数可以先求后代，也
可以先代后求.
2. 偏导数记号是一个 整体记号, 不能拆
分。
例7. 已知理想气体的状态方程 pV  RT (R 为常数) ,
求证:
 p V T


 1
V T  p
证: p 
V 
RT
,
V
V
RT
V
,
p
T 
p
pV
R
,
T
T
p
 
RT
V

2
R
p

V
R
 p V T
RT



 
 1
V T  p
pV
说明:
此例表明,
偏导数记号是一个
整体记号, 不能看作
分子与分母的商 !
有关偏导数的几点说明：
1. 求某一给定点处的偏导数可以先求后代，也
可以先代后求.
2. 偏导数记号是一个 整体记号, 不能拆分。
3. 求分界点、不连续点处的偏导数要用定义求；
例8. 设
xy

,
 2
2
f ( x, y)   x  y

0,

求 f x (0, 0 ),
解:
 lim
Δx  0
2
2
 0
x  y
Δx
00
Δx
 0.
f (0, 0  Δy)  f (0, 0)
Δy
Δy 0
 y 0
 0,
f y (0, 0 ).
Δx  0
 lim
2
f (0  Δx , 0)  f (0, 0 )
f x ( 0 , 0 )  li m
f y ( 0 , 0 )  lim
2
x  y
00
y
 0.
有关偏导数的几点说明：
1. 求某一给定点处的偏导数可以先求后代，也
可以先代后求.
2. 偏导数记号是一个 整体记号, 不能拆
分。
3. 求分界点、不连续点处的偏导数要用定义求；
4. 函数在某点各偏导数都存在
函数在该点连续.
 xy
 x 2  y2 ,
例如, z  f ( x , y )  

,
 0
显然
f x ( 0, 0 ) 
f y ( 0, 0 ) 
d
f ( x, 0 )
dx
d
dy
f ( 0, y )
x  y  0
2
2
x  y 0
2
x 0
y0
2
0
0
在上节已证 f (x , y) 在点(0 , 0)并不连续!
例：设
解：
z 
2
2
x  y , 求 z x (0, 0 ), z y (0, 0 ).
z x ( 0 , 0 )  lim
f ( x , 0)  f (0, 0)
x 0
 lim
x 0
x
x
x
2
 lim
x 0
x
x
不存在！
同 理 z y (0, 0 )不 存 在 。
z
xy , 求 z x (0, 0 ), z y (0, 0 )
2
2
1

( x , y )  ( 0 ,0 )
 ( x  y ) sin 2
2
f ( x, y)  
x  y

( x , y )  ( 0 ,0 )
0
思考题
若函数 f ( x , y ) 在点 P0 ( x 0 , y 0 ) 连续，能否断定
f ( x , y ) 在点 P0 ( x 0 , y 0 ) 的偏导数必定存在？
思考题解答 不能.
例如, f ( x , y ) 
x  y
2
2
在( 0 , 0 ) 处连续,
但 f x ( 0 , 0 )  f y ( 0 , 0 ) 不存在.
z
二元函数偏导数的几何意义:
M0
f x ( x 0 , y0 )
是曲线
 z  f ( x, y)

y  y0

y0
在点 M0 处的切线 M 0T x
对 x 轴的斜率.
f y ( x 0 , y 0 ) 是曲线
O
x0
 z  f ( x, y)

 x  x0
Ty
Tx
x
在点M0 处的切线 M 0T y 对 y 轴的 斜率.
( x0 , y0 )
y
二、高阶偏导数
设 z = f (x , y)在域 D 内存在连续的偏导数
z
x
 fx ( x, y) ,
z
y
 fy ( x, y)
若这两个偏导数仍存在偏导数，
则称他们是 z  f ( x , y ) 的二阶偏导数.
例如， z  x 2  3 x y  y 2
按求导顺序不同, 有下列二阶偏导数：
  z   2z
 f x x ( x , y );



2
x x  x
  z 
 z
 fx y ( x, y)


 y   x   x y
2
 z
 z 
 f yx ( x , y )


 x   y   y x

2
  z   2z
 f yy ( x , y );



2
y y y
混
合
导
数
类似可以定义更高阶的偏导数.
例如，z = f (x , y) 关于 x 的三阶偏导数为
  z  z

2 
3

x x  x
2
3
z = f (x , y) 关于 x 的 n –1 阶偏导数 , 再关于 y 的
一阶偏导数为
n1
n
  z
 z
  x n1  
n1
y 

x
y

二阶及二阶以上的偏导数统称为高阶偏导数.
3
例9. 设
 z
解:
、
x
2

3

3
 y x
 xy  1
 z
2
,
3
 z
2
,
2
xy
,
y
 x y  3 xy  xy  1
x
z
2
3
 x y  3 xy  xy  1
y
 z
2
x
 z
2
求
z
2
z  x y  3 xy
2
 z

2
xy


2
3
3x y  3 y  y
2
3x
2
2
3

3

3
及
x
3
,
 3 x y  3 y  y,
2
2
3
x


y  3y  y
2


2
 z
 2 x y  9 xy  x ;
3
2
y
 6 xy ,
2
x


 6 x y  9 y  1,
2
y
2
z  x y  3 xy  xy  1
3
 z
2
x
2

 z
2

2
xy
 z
2
 y x
 z
y
2
 z

3
x
3

2
2
3

3x y  3 y  y
2
2x

2
3x y  3 y  y


3
3
2
3
y  9 xy  x
2

2 x y  9 xy  x

6 xy
3
2
2


 6y ,
2
x


 6 xy ,
2
x


2
y



 6 x y  9 y  1,
 6 x y  9 y  1.
2
2
x
 2 x  18 xy ;
3
y
2
相
等!
例10. 设
解
u
x
ue
 (e
ax
 (e
ax
u
y
 u
ax
cos by
co s b y ) x
 ae
cos by ) y
  be
x
ax
cos by ,
ax
sin by ;
 u
2
2
2
，求二阶偏导数.

 u
2
a e
ax
cos by ,
2
xy
 u
 ( ae
ax
y
2
  b 2 e ax cos by ,
ax
cos by ) y   abe sin by ,
相等!
2
 y x
 (  be
ax
sin by ) x   abe ax sin by .
 z
3
例11. 求函数
解 : z 
x
 z
e
ze
x2 y
x2 y
的二阶偏导数及
z
y
 2 e x2 y
 z
2
2
 x y
 z
 2 e x2 y
相
等!
2
x
2
 y x
 e
 z
x2 y
 2e
2
y
2
 4 e x2 y
  z 
x2 y

2
e

2
 y x
 x   y  x 
 z
3

2
x2 y
 y x
2
.
问题： 混合偏导数都相等吗？
 x y
 2
f ( x, y)   x  y2
0

3
例12
( x , y)  (0, 0)
( x , y)  (0, 0)
求 f ( x , y ) 的二阶混合偏导数。
解 当 ( x , y )  ( 0 , 0 ) 时，
3 x y( x  y )  2 x  x y
2
f x ( x, y) 
f y( x, y) 
2
2
(x  y )
2
x
3
x  y
2
2
3
2

2x y
2
2
(x  y )
2
2
3
2
2
,

4
3x y
x  y
2
2

2x y
(x  y )
2
2
2
,
当 ( x , y )  ( 0 , 0 ) 时，按定义可知：
f x ( 0 , 0 )  lim
f (Δx , 0)  f (0, 0)
f y ( 0 , 0 )  lim
Δx  0
Δx
Δx  0
f (0, Δy)  f (0, 0)
f xy ( 0 , 0 )  lim
Δy 0
f yx ( 0 , 0 )  lim
Δx  0
 lim
Δy 0
Δy
Δy 0
 lim
fx (0, Δy)  fx (0, 0)
Δy
f y (Δx , 0)  f y (0, 0)
Δx
f xy (0, 0 )  f yx (0, 0 ).
0
Δx
0
Δy
 0,
 1.
 0,
 0,
问题： 具备怎样的条件才能使混合偏导数相等？
定
理.
若 f x y ( x, y ) 和 f y x ( x, y ) 都 在 ( x 0 , y 0 ) 连续，
则 f x y ( x 0 , y0 )  f y x ( x 0 , y0 )
(证明略)
说明：定理对 n 元函数的高阶混合导数也成立.
例如, 对三元函数 u = f (x , y , z) , 当三阶混合偏导数
在点 (x , y , z) 连续时, 有
f x yz ( x , y, z )  f yz x ( x , y, z )  f z x y ( x , y, z )
 f x z y ( x , y, z )  f y xz ( x , y, z )  fz yx ( x , y, z )
说明: 因为初等函数的偏导数仍为初等函数 , 而初等
函数在其定义区域内是连续的 , 故求初等函数的高阶
导数可以选择方便的求导顺
序.
内容小结
1. 偏导数的概念及有关结论
• 定义; 记号; 几何意义
• 函数在一点偏导数存在
• 混合偏导数连续
2. 偏导数的计算方法
• 求一点处偏导数的方法
• 求高阶偏导数的方法
函数在此点连续
与求导顺序无关
先代后求
先求后代
利用定义
逐次求导法
(与求导顺序无关时, 应选择方便的求导顺序)
2
2
2
x  y  z 满足拉普拉斯
例13. 证明函数 u  r  1 , r 
 u
方程 Δ u 
证：
u
 
x
 u
x
x

2
y
r x
 
r
3
2
 
2
1
2

 u
2

x
2
 u
2

y
2
r

2
 u
y
2
 u
 
z
2
0
r
 r
 
1
r
1
r
 
2
x
3 x r
 4 
r
x
2

z
1
2
利用对称性 , 有
 u
2
1 r
2
2
 u
2
3
3
r
3

3
3y
r
5

3x
r
2
5
 u
z
2
 
1
r
3( x  y  z )
2

2
2
,
2
r
2
5
3

3z
2
0
r
5
2
练习
验证函数
2
u ( x , y )  ln
x  y
2
满足拉普拉斯方程
u xx  u yy  0
解
u  ln
x  y 
2
2
1
ln( x  y ),
2
2
2
u
x
1
1
2x
2
2 

  ln( x  y )    2
 2
,
2
2
x  2
x  y
2 x  y
x
 1
2y
y
1
2
2 
 2
,
  ln( x  y )    2
2
2
2 x  y
x  y
y  2
y
u
 u
2
x
2



x
(x  y )  x  2x
  2

2 
2
2 2
x

y
(
x

y
)

x
2
y  x
2
2

2
(x  y )
2
2
2
,
 x y
2
2
,
x

y
 0;
 2
2
f ( x, y)   x  y
2
2
0,
x

y
0

2
P130 题 5
求 fx ( x, y) 及 fy ( x, y)
解：当 x 2  y 2  0 时,
2
3


x y 
2x y
fx ( x, y) 

 2
2 
2
2 2
x  x  y 
(x  y )
2
 
x y 
fy ( x, y) 
 2
2 
y x  y 
x (x  y )
2

2
2
(x  y )
2
2
2
 x y
2
2
,
x

y
 0;
 2
2
f ( x, y)   x  y
2
2
0,
x

y
0

2
P130 题 5(续)
求 fx ( x, y) 及 fy ( x, y)
当 x 2  y 2  0 时, 即 x  y  0 时,
f x ( 0, 0 ) 
f y (0, 0) 
d
f ( x, 0)
dx
d
dy
f (0, y)
x 0
y0
0
0
P130 题6 求下列函数的一阶和二阶偏导数
(1) z  ln( x  y );
( 2) z  x
2
解：(1)
z

x
 z
2
x
 z
2

2
y
2
1
x y
z
,
2
y
1
(x  y )
2
2
2( x  y )
(x  y )
2
2y
x y
 z
2
2
2


y
2
,
 x y

2 y
(x  y )
2
2
,
P130 题6 求下列函数的一阶和二阶偏导数
(1) z  ln( x  y );
( 2) z  x
2
(2)
z
 yx
x
 z
y1
z
,
y
 x ln x
y
x
 z
2
2
2
y
 y ( y  1) x
 z
y2
,
y
2
 x y
 x
y1
 yx
y1
ln x
2
 x ln x
y
2
x
方程 u   ( u )   y
设 z  f (u) ,
备用题
p(t ) dt
确定 u 是 x , y 的函数 , 其 中 f ( u ) ,  ( u ) 可 微 , p ( t ),  ( u )
连续, 且   ( u )  1 , 求 p ( y )
解:
z
x
 f ( u )
u
x
u
y
 p( y)
u
x
  ( u )
  ( u )
z
x
,
u
x
u
y
 p( x )
z
y
z
y
z
x
 p( x )
 f ( u )
z
y
.
u
y
 p( x )
 p( y)
 f ( u )  p ( y )
u
x
u
y
u
x


p( x )
1   ( u )
 p( y)
1   ( u )
 p( x )
u
y

0
备用题
解：
f xy
f ( x, y) 
e
t
0
2
d t , 求 f x y , f x x , f yx
2
  f 

 ( xy )

(e
y)

 
y  x 
y
 (e
f xx

xy
 ( xy )
2
e
 ( xy )
2
(  2 xy ) xy )  e
 ( xy )
2
(1  2 x y )
2
  f 
2
2

 ( xy )
2
 ( xy )


(
e
(

2
xy
)
y
)

(
e
y
)


x  x  x
  2( e
f yx 
 ( xy )
2
3
xy )
2
作
• P69.
业
1(4, 6, 8), 3, 5, 6(3), 7, 8
提交时间：2012年3月5日上午8:00