Transcript Document 1741303

必修一 1.3.1
函数的单调性
教材分析
教学目标分析
教法和学法分析
教学过程分析
教学设计分析
一、教材分析
1．教材的地位与作用
首先，从单调性知识本身来讲.学生对于函数
单调性的学习共分为三个阶段，第一阶段是在初中
学习了一次函数、二次函数、反比例函数图象的基
础上对增减性有一个初步的感性认识；第二阶段是
在高一进一步学习函数单调性的严格定义，从数和
形两个方面理解单调性的概念；第三阶段则是在高
三利用导数为工具研究函数的单调性.高一单调性
的学习，既是初中学习的延续和深化，又是后续学
习其他函数的基础．
一、教材分析
1．教材的地位与作用
其次，从函数角度来讲. 函数的单调性是学生
学习函数概念后学习的第一个函数性质，也是第一
个用数学符号语言来刻画的概念.函数的单调性与
函数的奇偶性、周期性一样，都是研究自变量变化
时，函数值的变化规律；学生对于这些概念的认识，
都经历了直观感受、文字描述和严格定义三个阶段，
即都从图象观察，以函数解析式为依据，经历用符
号语言刻画图形语言，用定量分析解释定性结果的
过程.因此，函数单调性的学习为进一步学习函数
的其它性质提供了方法依据.
一、教材分析
1．教材的地位与作用
最后，从学科角度来讲.函数的单调性是学习
不等式、极限、导数等其它数学知识的重要基础，
是解决数学问题的常用工具，也是培养学生逻辑推
理能力和渗透数形结合思想的重要素材.
２．教材的重难点
教学重点
增（减）函数的概念以及用定义证明函数
的单调性．
教学难点
增（减）函数概念的形成过程及准确表
述与理解．
二、教学目标分析
1．知识与技能
（1）理解增（减）函数的概念及单调性、单调区间的概
念；
（2）能根据函数图象判断其单调区间；
（3）初步掌握用定义证明一些简单函数单调性的方法．
2．过程与方法
通过学生已学过的二次函数，使学生在自主探究、
合作交流中经历概念的形成过程，自主构建增（减）函
数的概念，领会数形结合等思想方法；培养学生图形语
言、文字语言、符号语言的相互转化能力．
3．情感态度与价值观
通过对生活中具体问题的
探究，激发学生学习数学的兴趣，
在学习中体验数学的应用价值；
培养学生细心观察、认真分析、
严谨论证的良好思维习惯和学习
数学的积极态度．
三、教法和学法分析
1.教法分析
本节是概念课，应注重概念的生成，彰显过程教
学，充分揭示概念的形成过程．对增（减）函数的概
念，不是直接抛出，而是先创设直观情境，然后围绕
二次函数提出问题，以问题为核心构建课堂教学. 同
时也突破了本节课的教学难点
一方面让学生自主探究，另一方面，教师指导学
生读图，从图中获得信息以形成概念，再通过典型例
题与探究题，深化对概念的理解与应用．
2.学法指导
借助多媒体动态地展示图象的上升与下降过程，
利用图形的直观性启迪学生的思维，完成从感性认识
到理性思维的质的飞跃．注重学生的参与意识，让学
生从问题中发现、归纳、总结，最终运用概念．引导
学生在探究中发现问题、研究问题并解决问题．同时，
潜移默化地渗透各种数学思想方法．
四、教学过程分析
1、创设情境，揭示课题
问题1
如图为某日24小时内的气温变化图．观察这
张气温变化图：
思考：这天该地气温是如何随时间变化而变化的？
你还能举一些类似的实际例子吗？
1、创设情境
揭示课题
2
y

x

2,
y


x

2,
y

x
问题2 分别作出函数
的图象，并且观察自变量变化时，函数值有什么变化
规律？
数学的高度抽象性造就了数学
的难教、难学，因此要尽量从直观
入手，从具体开始．我们以学生熟
悉的一次函数与二次函数为切入点，
从学生的已有认知出发，顺应了学
生的认知规律，完成对函数单调性
定义的第一次认识。
函数的单调性
不同函数的图象变化趋势不同，同一
函数在不同区间上的变化趋势也不同．函
数图象的这种上升与下降的变化规律就是
今天所要研究的函数的一个重要性质．
2、 探究规律，理性认识
问题3
指导学生填表并思考：怎样用二次函数f(x)=x2图
象中的点的坐标变化情况来描述图象的升降情况？
x
… -4
y=x2
-3 -2 -1 0
1
2
3
建立起数与形的对应关系，让学生体会函数值随自
变量的变化而变化的规律。同时，应用几何画板课件，
进一步动态演示函数值随自变量变化而变化的规律，让
学生能够更直观地获得对函数单调性由“形”到“数”
的认识，从“数”与“形”的角度体会函数的增、减变
化情况．
4 …
在区间D上，若随着自变量的增大
函数值也增大，则称函数在区间D上是
增函数；在区间D上，若随着自变量的
增大函数值减少，则称函数在区间D上
是减函数．
从图形语言表
述到自然语言表述
的过渡．
第二次认识
问题4
以二次函数f(x)=x2为例，在区间(2,+∞)上，令x1 =-1，x2=2，比较f(x1)与
f(x2)的大小．并判断在区间 (-2,+∞)上，
f(x)是否随x的增大而增大．若没有,举例说
明.
问题5
在函数f(x)=x2中，如何用不同点的
坐标来刻画“在区间[0,+∞)上， f(x)随x
的增大而增大”这一特征？
揭示了利用自变量大小与函数值大小关系刻画单调性概
念的本质；明确了两自变量的取值具有任意性；领悟到单调
性是函数的局部性质．
对函数f(x)= x2，在区间[0,+∞)上，任取
x1 ，x2 ，当 x1<x2时，都有f(x1) <f(x2) ，这
时称函数f(x)=x2在区间[0,+∞)上是增函数．
同样地，在区间(-∞,0]上，任取x1 ，x2 ，
当 x1<x2时，都有f(x1)> f(x2) ，这时称函数
f(x)=x2在区间(-∞,0]上是减函数．
从自然语言描述上升到符号语言的定义．
3．抽象概括，形成概念
（1）单调增函数
一般地，设函数y ＝ f(x) 的定义域为Ｉ：
如果对于定义域Ｉ内某个区间Ｄ上的任意两
个自变量的值x1、x2，当x1＜x2时，都有f(x1)＜
f(x2)，那么就说y＝f(x)在区间Ｄ上是增函数．
第三次认识
（2）单调减函数
如果对于定义域I内某个区间Ｄ上的任意两个自变
量的值x1、x2，当x1＜x2时，都有f(x1)＞f(x2)，那么
就说y＝f(x)在区间Ｄ上是单调减函数．
（3）单调性、单调区间
若函数y＝f(x)在区间Ｄ上是增函数或减函数，
那么就说函数y＝f(x) 在这一区间上具有（严格的）
单调性，区间Ｄ称为y＝f(x)的单调区间．
4. 典例引领
巩固知识
例1 说出气温图中的单调区间，以及在每个单调区
间上，它是增函数还是减函数．
利用直观的函数图象，加深学生对函数的单调性、
单调区间的理解，培养学生观察、分析图形的能力，
同时体会数学的应用价值。 ．
k
p

物理学中的玻意耳定理
V (k 为正常数）告诉
例２
我们，对于一定量的气体，当其体积V减小时，压强p将增大，
试用函数的单调性证明之．
问题：
①你能画出该函数的图象吗？
②该函数是否具有单调性，你能作出猜想吗？
③如果函数具有单调性，如何用单调性的定义证明？
先通过观察图象，对函数是否具有某种性质做
出猜想，然后通过逻辑推理,证明这种猜想的正确性，
是研究函数性质的一种常用方法．
证明：在区间（0,+∞）上任意取两个值 V1 ,V2 ，
且 V1  V2 ，则
取值
V2  V1
k
k
p(V1 )  p(V2 ) 

k
V1 V2
V1V2
∵ V1  V2  0
∴ V2  V1  0, VV
1 2 0
∴ p(V1 )  p(V2 )  0, 即 p(V1 )  p(V2 ).
∴
作差变形
定号
k
p  ( k  0) 在区间（０，－∞）上是减函数．
V
判断
引导学生将方法归纳提炼，得到证明
函数单调性的一般方法。
5．拓展延伸
学以致用
1
思考：画出反比例函数 f ( x) 
的图象．
x
（１）该函数的定义域是什么？
（２）它在定义域上的的单调性是怎样的？
进一步理解函数单调性概念中的“任
意”二字，认识到函数的单调性与单调区间
密不可分，体会到函数性质的研究与定义域
的重要关联。
6、回顾反思
深化认知
①通过增（减）函数概念的形成过程，你学到了
什么？
②如何根据图象指出函数的单调区间？
③怎样用定义证明函数的单调性？
用所学新知识应用于旧知识的理解与提升中，
不仅将新知识纳入到已有的认知体系中曲，
也使新旧知识有机地结合在一起。
7、布置作业
（1）完成下表
函
y=kx+b
(k ≠0)
数
k>0
图
象
调
性
（２）课本P36
3、4、5
y 
(a≠0)
k<0 a>0
单调区间
单
y=ax2+bx+c
a<0
k
x
(k≠0)
k>0
k<0
（3）探究
实际问题
建
解
模
释
数学问题
在一碗水中，加入一定量的糖，糖加
得越多糖水就越甜．你能运用所学过的
数学知识来解释这一现象吗？
x
求证：函数 f ( x) 
(a  0) 在
xa
（0，+∞）上单调递增．
通过三个层次的作
业，既使学生掌握基
础知识，又使学有余
力的同学有所提高．
五﹑评价分析
（1）体验概念生成，经历数学知识的发生与发展
本节课学习的数学知识是基础性知识，它的使用贯穿
了整个高中数学的学习，而它又具有较高的抽象性。每一
个抽象概念的产生与发展总有它的现实或数学理论发展的
需要，强调概念产生发展的背景，联系学生原有的认知基
础，有利于学生理解抽象概念的内涵。教学中，我们以丰
富的背景实例、恰当的问题串和精辟的分析展现了知识发
生发展的过程，反映了从具体到抽象、特殊到一般的原则。
对于学生，这些问题串就是他们在学习过程中主动思考、
主动探究的“指示牌”，通过层层深入的思考与探究，经
历数学知识的发现和创造过程，了解知识的来龙去脉。
（2）数学思想的渗透无处不在
在整个教学过程中，能够将渗透于教材
中的数学思想方法给予充分的挖掘．例如，通
过二次函数，使学生在经历从直观的图形语言
到抽象的符号语言的过程中，指导学生从具体
到抽象、从特殊到一般的研究问题方法，培养
学生数形结合的思想；从增函数的概念到减函
数的概念，培养学生类比的思想.像这样在探
究过程中亲自体会到的数学思想，才是有价值
并充满活力的．
（3）探究让学生成为课堂的主体
探究是高中数学课程引入的一种新的学习方
式，也是新课程的重要理念．学生作为课堂教学
的主体，在教师精心创设的问题引导下，通过观
察、猜想、分析,理解了增(减)函数概念是如何
形成的，主动构建起新的认知结构，变被动学习
为主动探究．学生能够积极参与到自主探究与合
作交流的活动中，思维始终处于积极思考探索的
状态，真正成为自觉主动学习的主体．