曹 贻 平 03.10.22 曹懿平[email protected] 教学 1.掌握不等式的基本性质，并能 目的 较灵活运用 . 2.突出强调应用不等式的基本性质 “可乘性”等的注意点. 3.强调与不等式相关的“等价转换” 等数学思想. 曹懿平[email protected] 不等式的 知识结构 实 数的性 质 不等式的性质 不等式的证明 不等式的解法 不等式的应用 曹懿平[email protected].
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曹 贻 平
03.10.22
曹懿平[email protected]
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教学 1.掌握不等式的基本性质，并能
目的 较灵活运用 .
2.突出强调应用不等式的基本性质
“可乘性”等的注意点.
3.强调与不等式相关的“等价转换”
等数学思想.
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不等式的
知识结构
实 数的性 质
不等式的性质
不等式的证明
不等式的解法
不等式的应用
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Slide 4
实数的性质
> 0
> b
a b = 0 a = b
＜ 0
＜b
注意：同向不等式与
异向不等式的概念.
曹懿平[email protected]
Slide 5
不等式的性质
对称性：如果a>b，那么b如果bb. (逆命题)
a>b b传递性：如果a>b，b>c，那么a>c ；
如果c
注意：传递性两命题的
逆命题是假命题.
曹懿平[email protected]
Slide 6
不等式的性质
如果a>b，那么a+c>b+c ；
可
加 如果a>b，c>d ，那么a+c>b+d.
性 (可推广到有限个同向不等式)
如果a+b>c，那么a>b-c .
曹懿平[email protected]
Slide 7
不等式的性质
可
乘
性
如果a>b，c>0，那么ac>bc ；
如果a>b，c<0，那么ac
(可推广到有限个两边都是正数的同向不等式)
如果a>b>0，那么an>bn
(n∈N，n>1) .
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Slide 8
不等式的性质
可
n
n
开 如果a>b>0，那么 a b .
(n∈N，n>1) .
性
可 如果a>b，ab>0，那么 1 1 .
a b
倒
性 注意：同号取倒必反向，
取倒反向必同号.
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Slide 9
不等式的性质
|
a
|
|
b
|
|
a
b
|
|
a
|
|
b
|
绝
对
值
性
注意：其中等号的取得是：
同号同号，异号
异号，有零皆
一般有：
| a1 a2
an |
| a1 | | a2 |
| an |
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Slide 10
例题
判断命题的真假：
判断命题的真假：
aa
ba
ab
22
22 . .
cc
cc
判断命题的真假：
a b 3a 2b .
此命题的逆命题呢？ 判断命题的真假：
判断命题的真假：
ab
a
ab
1
a
b .
1
.
b
判断命题的真假：
a b
d a c b.
c d
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Slide 11
例题
设x, y R, 判定下列各题中,
命题A与命题B的充分必要关系
a > 0
a + b > 0
( 1) 命题A：
，命题B：
，
b > 0
ab > 0
充要条件
x > 2
x + y > 4
( 2) 命题A：
，命题B：
y > 2
xy > 4
充分不必要条件
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Slide 12
提醒注意
应用不等式基本性质解题，务必
重视运用“可乘性”“可开性”
“可倒性”及“绝对值性”中的
条件的检查与其等号的取得!!
切记!!切记!!
切记!!切记!!
曹懿平[email protected]
Slide 13
例题
设0 a x b, 0 d y c.
求证：1) a c x y b d；
2)
3)
c
ad
a
c
x
y
c
x y
b
；
.
d
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Slide 14
例题
设f ( x) ax c，
4 f (1) 1，
2
1 f (2) 5，求f (3)的取值范围.
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Slide 15
提醒注意
将“字母量”的“几个齐一次式”
即“线性表达式”向“另一个齐
一次式(线性表达式)”转化时，常
用
“待定系数法”
!!
切记!!切记!!
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Slide 16
思考
1.判断甲是乙的什么条件：
甲：
| a | b ；乙：
b a b .
2.设
3
2
， 2，
3
2
则
.
3.设 1 x y 1，1 x y 3，
求3x y的取值范围.
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Slide 17
思考
已知 3 x y 1, 4
z 0, 求( x y ) z的取值范围.
已知0
2
3
, 求3
,
2
的取值范围.
3
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Slide 18
课堂
小结
1.不等式的基本性质及相关重要
结论.
2.突出运用不等式基本性质中“可
乘
性、“可开性”、“可倒性”、
“绝对值
性”时中条件的检查.
3.强调与不等式相关的“等价转换”
等数学思想.
作业见资料
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曹 贻 平
03.10.22
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教学 1.掌握不等式的基本性质，并能
目的 较灵活运用 .
2.突出强调应用不等式的基本性质
“可乘性”等的注意点.
3.强调与不等式相关的“等价转换”
等数学思想.
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不等式的
知识结构
实 数的性 质
不等式的性质
不等式的证明
不等式的解法
不等式的应用
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实数的性质
> 0
> b
a b = 0 a = b
＜ 0
＜b
注意：同向不等式与
异向不等式的概念.
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不等式的性质
对称性：如果a>b，那么b如果bb. (逆命题)
a>b b传递性：如果a>b，b>c，那么a>c ；
如果c
注意：传递性两命题的
逆命题是假命题.
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不等式的性质
如果a>b，那么a+c>b+c ；
可
加 如果a>b，c>d ，那么a+c>b+d.
性 (可推广到有限个同向不等式)
如果a+b>c，那么a>b-c .
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不等式的性质
可
乘
性
如果a>b，c>0，那么ac>bc ；
如果a>b，c<0，那么ac
(可推广到有限个两边都是正数的同向不等式)
如果a>b>0，那么an>bn
(n∈N，n>1) .
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不等式的性质
可
n
n
开 如果a>b>0，那么 a b .
(n∈N，n>1) .
性
可 如果a>b，ab>0，那么 1 1 .
a b
倒
性 注意：同号取倒必反向，
取倒反向必同号.
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不等式的性质
|
a
|
|
b
|
|
a
b
|
|
a
|
|
b
|
绝
对
值
性
注意：其中等号的取得是：
同号同号，异号
异号，有零皆
一般有：
| a1 a2
an |
| a1 | | a2 |
| an |
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例题
判断命题的真假：
判断命题的真假：
aa
ba
ab
22
22 . .
cc
cc
判断命题的真假：
a b 3a 2b .
此命题的逆命题呢？ 判断命题的真假：
判断命题的真假：
ab
a
ab
1
a
b .
1
.
b
判断命题的真假：
a b
d a c b.
c d
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例题
设x, y R, 判定下列各题中,
命题A与命题B的充分必要关系
a > 0
a + b > 0
( 1) 命题A：
，命题B：
，
b > 0
ab > 0
充要条件
x > 2
x + y > 4
( 2) 命题A：
，命题B：
y > 2
xy > 4
充分不必要条件
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提醒注意
应用不等式基本性质解题，务必
重视运用“可乘性”“可开性”
“可倒性”及“绝对值性”中的
条件的检查与其等号的取得!!
切记!!切记!!
切记!!切记!!
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例题
设0 a x b, 0 d y c.
求证：1) a c x y b d；
2)
3)
c
ad
a
c
x
y
c
x y
b
；
.
d
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例题
设f ( x) ax c，
4 f (1) 1，
2
1 f (2) 5，求f (3)的取值范围.
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提醒注意
将“字母量”的“几个齐一次式”
即“线性表达式”向“另一个齐
一次式(线性表达式)”转化时，常
用
“待定系数法”
!!
切记!!切记!!
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思考
1.判断甲是乙的什么条件：
甲：
| a | b ；乙：
b a b .
2.设
3
2
， 2，
3
2
则
.
3.设 1 x y 1，1 x y 3，
求3x y的取值范围.
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思考
已知 3 x y 1, 4
z 0, 求( x y ) z的取值范围.
已知0
2
3
, 求3
,
2
的取值范围.
3
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课堂
小结
1.不等式的基本性质及相关重要
结论.
2.突出运用不等式基本性质中“可
乘
性、“可开性”、“可倒性”、
“绝对值
性”时中条件的检查.
3.强调与不等式相关的“等价转换”
等数学思想.
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