Transcript ——首都师范大学 谈桫 目 第一章 录 直线和平面 第一节 第二节 第三节 平面 空间两条直线 空间直线和平面 第四节 空间两个平面 第二章 多面体和旋转体 第一节 多面体 第二节 第三节 旋转体 多面体和旋转体的体积 第 二 节 空 间 两 条 直 线      基础知识 例题选讲 难点分析 要点小结 课后作业 返回 —— 空 间 两 条 直 线 基 础 知 识  两条直线的位置关系  相交  平等  异面  平行直线  公理  定理  推论  两条异面直线所成的角  定义  两条异面直线互相垂直  两条异面直线的距离 返回 —— 空 间 两 条 直 线 要 点 小 结 （ 一 ） 两条直线的位置关系 位置关系 相交 平行 异面 图形 α b O  是否共点 记法 共面 有且仅有 一 个公共点 a∩b＝O 共面 没有公共点 a∥b 不共面 没有公共点 a与b异面 a b a α α 是否共面 a P b 继续 —— 空 间 两 条 直 线 要 点 小 结 （ 二 ） 平行公理 平 两 条 直 线 的 位 置 关 系 共 行 面 等角定理 相 推 论 交 判定定理 位置关系的判定 定 异 义 反 证 法 所成的角 平 移 法 距 公垂线段 面 度量关系 离 返回 —— 空 间 两 条 直 线 例 题 选 讲 例题选讲 例1：证明空间两条直线是异面直线 例2：证明正方体中两条直线为异面直线 例3：不等式的证明 例4：两条异面直线垂直的证明 例5：求异面直线间的距离 返回 —— 空 间 两 条 直 线 基 础 知 识 两条异面直线所成的角 定义： 直线a、b是异面直线，经 过空间任意一点O，分别引 直线a’∥a，b’∥b，则直线a’和 b’所成的锐角（或直角）叫 做异面直线a和b所成的角。 特例： 两条异面直线互 相垂直：如果两条 异面直线所成的角 是直角，就称这两 条异面直线互相垂 直。 概念分析 即学即用 融会贯通 返回 —— 空 间 两 条 直 线 例 题 选 讲 例3：如图所示，已知：AD和BC是异面直 线，M、N分别是AB、CD的中点，求证： MN A D M 证明： 设BD的中点为P，连接PM、PN ∵ AM=MB，DP=PB ∴ MP=1/2AD ∵

——首都师范大学
谈桫
目
第一章
录
直线和平面
第一节
第二节
第三节
平面
空间两条直线
空间直线和平面
第四节
空间两个平面
第二章
多面体和旋转体
第一节
多面体
第二节
第三节
旋转体
多面体和旋转体的体积
第
二
节
空
间
两
条
直
线





基础知识
例题选讲
难点分析
要点小结
课后作业
返回
——
空
间
两
条
直
线
基
础
知
识
 两条直线的位置关系
 相交
 平等
 异面
 平行直线
 公理
 定理
 推论
 两条异面直线所成的角
 定义
 两条异面直线互相垂直
 两条异面直线的距离
返回
——
空
间
两
条
直
线
要
点
小
结
（
一
）
两条直线的位置关系
位置关系
相交
平行
异面
图形
α
b
O

是否共点
记法
共面
有且仅有 一
个公共点
a∩b＝O
共面
没有公共点
a∥b
不共面
没有公共点
a与b异面
a
b
a
α
α
是否共面
a
P
b
继续
——
空
间
两
条
直
线
要
点
小
结
（
二
）
平行公理
平
两
条
直
线
的
位
置
关
系
共
行
面
等角定理
相
推
论
交
判定定理
位置关系的判定
定
异
义
反 证 法
所成的角
平 移 法
距
公垂线段
面
度量关系
离
返回
——
空
间
两
条
直
线
例
题
选
讲
例题选讲
例1：证明空间两条直线是异面直线
例2：证明正方体中两条直线为异面直线
例3：不等式的证明
例4：两条异面直线垂直的证明
例5：求异面直线间的距离
返回
——
空
间
两
条
直
线
基
础
知
识
两条异面直线所成的角
定义：
直线a、b是异面直线，经
过空间任意一点O，分别引
直线a’∥a，b’∥b，则直线a’和
b’所成的锐角（或直角）叫
做异面直线a和b所成的角。
特例：
两条异面直线互
相垂直：如果两条
异面直线所成的角
是直角，就称这两
条异面直线互相垂
直。
概念分析
即学即用
融会贯通
返回
——
空
间
两
条
直
线
例
题
选
讲
例3：如图所示，已知：AD和BC是异面直
线，M、N分别是AB、CD的中点，求证：
MN<1/2（AD+BC）
A
D
M
证明：
设BD的中点为P，连接PM、PN
∵ AM=MB，DP=PB
∴ MP=1/2AD
∵ DN=NC，DP=PB
∴ NP=1/2BC
在ΔMPN中，MN<MP+NP
∴ MN<1/2（AD+BC）

P
B
N
C
为什么说P点一
定不在MN上呢？
反证法：
假设P点在MN上
 MN//AD
MN//BC
根据平行公理
 AD//BC
与已知条件不符
所以 P点不在MN上
返回
1．1. 如果a和b是异面直线，AB是它们的公垂线，直线c平行于AB，那么c
——
3
空
间
两
条
直
线
课
后
作
业
与a和b这 两条直线交点的个数是：
A. 0个
B. 1个
C. 最多一个
D. 最多两个
提示：注意如果有两个交点会怎样。
思路：假设其有两个交点，则分别和a、b相交，用反证法证明这不可能；
然后举出例子说明其交点可能是0个，也可能是1个。
2. 如图所示，正方体ABCD-A1B1C1D1中，O、M分别是D1B、AA1的中点。
（1）求证：MO是AA1和BD1的公垂线；
D1
（2）若正方体的棱长为2，B D1=2，
求异面直线AA1和BD1的距离。
C1
A1
B1
提示：注意O、M分别是D1B、AA1的中点，
想办法通过证明等腰三角形来证垂直.
思路：连接D1M、BM，通过证BM= D1M，
M D
O
C
得到MO⊥D1B；连接D1A、A1B，证
ΔA1D1B≌ΔAB D1，得到A1O=AO，
推出MO⊥A1A
A
B
结束