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第一章 直线和平面 二面角
教学目标
1．使学生正确理解和掌握“二面角”、“二面角的平面角”的概念，并
能初步运用它解决实际问题；
2．引导学生探索和研究“二面角的平面角”应该如何定义，在概念形成
的过程中，发展学生的思维能力．
教学重点和难点
本课的重点是“二面角”和“二面角的平面角”的概念；
本课的难点是“二面角的平面角”概念形成的过程．
教学设计过程
教师：在平面几何中“角”是怎样定义的？
学生：从平面内一点出发的两条射线所组成的图形叫做角．
教师：在立体几何中，“异面直线所成的角”、“直线和平面所成的角”
又是怎样定义的？它们有什么共同的特征？
学生；直线a，b是异面直线，经过空间任意一点O，分别引直线a′∥a，b′∥b，
我们把直线a′和b′所成的锐角（或直角）叫做异面直线a和b所成的角．
平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角，叫做这条直线和这
个平面所成的角．
它们的共同特征是都是将三维空间的角转化为二维空间的角．
教师：请同学们观察下面的几个问题．
（当教师说完上述话后，利用多媒体技术，让学生通过计算机看两个
例子）
例子之一：
镜头一：淡蓝色的地球．（图片）
镜头二：火箭发射人造地球卫星．（录相）
镜头三：人造地球卫星绕地球旋转，最后画出卫星的轨道平面和地球
赤道平面．
让学生观察这两个平面相交成一定的角度．
例子之二：
镜头一：人走在坡度不太大的桥上．（录相）
镜头二：人在爬山．（录相）
镜头三：攀岩运动．（录相）
镜头四：演示下面动态图象．（让水平面静止不动，坡面在不断变化，目的
是让学生看到，在生活实践中，有许多问题要涉及到两个平面相交所成的角
的情形）
（注意：四个镜头要连续编排在一起进行演示，时间一分钟）
教师：如何给二面角下定义呢？下面我们用类比的办法，与角的概念对
比，探讨二面角的定义．
这一段教学采用计算机辅助手段，每一个问题分三步完成，首先给出平
面角的问题，然后请学生思考并回答二面角的问题，最后计算机显示正
确结果．这部分共有四个问题，全部研究完毕后，将整个过程列成一个
总表，显示在屏幕上．
教师：请看角的图形，思考二面角的图形．
学生可以将自己画的图展示给大家．
计算机显示：二面角的图形．
教师：（给出平面角的定义）请同学们给二面角下定义．
显示：从平面内一点出发的两条射线所组成的图形．
学生：（口答）
计算机显示：从空间一直线出发的两个半平面所组成的图形．
教师：平面角由射线—点—射线构成．二面角呢？
学生：二面角由半平面—线—半平面构成．
教师：平面角表示法：∠AOB．
二面角表示法 α-a-β或α-AB-β．
最后计算机显示整个过程．
教师：经过上面的研究我们已经看到，平面上的角，可以看作是一条射线
绕其端点旋转形成的图形；类似地，一个半平面绕其界线旋转到一定位置
所得到的图形，就是二面角．
教师：二面角与平面内的角一样，是可以比较大小的，其比较方法，与平
面内的角的大小的比较方法类似．
（教师让学生打开书本）
打开书本的过程，给我们一种二面角的大小连续变化的形象．（前面看到的
爬山问题也是如此）
教师：用量角器可以量出平面内的角的大小，能否也能用量角器直接去量出
二面角的大小呢？
比如，这里有一个对顶量角器和一个三角木块（直三棱柱）模型，你们能
用我们自制的对顶量角器来量出三角木块模型的某两面角的大小吗？比如平
面α与β的夹角？
教师：一般地说，量角器只能测量“平面角”（指两条相交直线所成的
角．相应地，我们把异面直线所成的角，直线与平面所成的角和二面角，
均称为空间角）那么，如何去度量二面角的大小呢？我们以往是如何度
量某些角的？
学生：分别通过“取点、平移（相交）”（对异面直线所成的角）与
“斜线的射影（相交）”（对斜线与平面所成的角）去度量的．
教师：这些做法的共同点是什么？
学生：都是将空间角化为平面角．
教师：对！再回到刚才的量角操作，你是怎样用对顶量角器去量二面角
α-l-β的大小呢？
学生：将对顶量角器的一个角的两边靠紧二面角的两个面，角的顶点则
在二面角的棱上．
教师：大家注意，实际上同学们量的是一个平面内的角：∠BAC．这
个角的顶点在二面角的棱上，它的两边分别在二面角的两个面内且与棱
垂直．而且对于确定的二面角，这样的角的大小是唯一的，确定的，我
们把它叫做二面角的平面角．
（对于训练有素，肯于思考的学生可能会提出下面的问题）
学生：若以棱a上任意一点O为端点，在两个面内作与棱成等角θ′（0°＜
θ′＜90°）的两条射线OA′，OB′，由空间等角定理知，∠A′OB′也是存在
且唯一的，为什么不用这样的角定义二面角的平面角？
教师：记∠AOB=θ，∠A′OB′= ．当OA′，OB′在平面AOB同侧时θ＞ ；当
OA′，OB′在平面AOB异侧时θ＜ ．请看图6：
设 A′P′=a，A′P=b，A′B′=x
当OA′，OB′在平面AOB的同侧时，若用∠A′OB′= 表示二面角的大小，由
（*）知， 与θ之间会有常数关系，这将给表示，尤其是计算、应用带来诸
多不便；另外，若用∠A′OB′= 表示二面角的大小，当平面α⊥平面β时；
≠90°，当半平面α与半平面β在同一平面时， =2θ′≠180°，都与已有知识和
经验不符，不能直观反映出空间两个相交平面的相对位置关系。
教师板书二面角的平面角的定义．
定义 以二面角的棱上任意一点为端点，在两个面内分别作垂直于棱的两
条射线，这两条射线所成的角叫做二面角的平面角．
教师：“二面角的平面角”的定义三个主要特征是什么？
学生：过棱上任意一点（0∈a），分别在两个面内作射线（OA α，OB
β），射线垂直于棱（OA⊥a，OB⊥a）．
教师：经过上面的研究我们看到，二面角的大小，可以用它的平面角来
度量，二面角的平面角是几度，就说这个二面角是几度．
教师：许多立体几何问题，若能正确地作出图形，则问题就便于解
决．若能正确地作出二面角的平面角乃是解决这类问题的关键步骤．下面
我们总结一下作二面角平面角的几种基本方法．如何利用定义作二面角的
平面角呢？
学生：在二面角的棱a上任意取一点O为端点，在面α，β内分别引垂直于
棱a的两条射线OA，OB，则∠AOB为该二面角的平面角．
教师：如何利用三垂线定理作二面角的平面角呢？
学生：在二面角α-a-β的面α上任取一点A，过A分别作棱a和另一面β的
垂线AO和AB（O，B分别是垂足），连BO；或者过A作面β的垂线AB，
又过垂足B引棱a的垂线BO，连AO；则∠AOB为该二面角的平面角．
教师：能否用作垂面的办法作二面角的平面角呢？
学生：过二面角的棱a上任一点O，作平面γ与该棱垂直（作棱的垂
面），平面γ与α，β分别交于OA，OB，则可用∠AOB来度量二面角α-aβ的大小．
小结
1．空间的“二面角”，是平面几何中角的概念在空间中的拓广．处理
问题的思想方法是将“空间的角”转化为“平面的角”来处理．定义的
原则是：这个“平面角”的大小必须是由空间的角完全确定而且是唯一
的．
2．凡是涉及到二面角的几何问题，都要根据题目的条件，在图形的恰
当位置作出二面角的平面角，主要方法有“定义法”，“应用三垂线定
理”和“作垂面”的方法．我们将在下一课做进一步的研究．
布置作业
1．阅读课本．
2．正四面体ABCD，求侧面与底面所成二面角的大小的余弦值．
3．如果两个二面角的两个面对应平行，那么这两个二面角相等或互补．