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1 . 认识柱、锥、台、球及其简单组合体的结构特征，
并能运用这些特征描述现实生活中简单物体的结构.
2 . 能画出简单空间图形（长方体、球、圆柱、圆 锥、
棱柱等简易组合）的三视图，能识别上述三视图
所表示的立体模型，会用斜二测画法画出它们的
直观图.
3.会用平行投影与中心投影两种方法画出简单空
间图形的三视图与直观图，了解空间图形的不同
表示形式.
4.会画某些建筑物的三视图与直观图.（在不影响图
形特征的基础上，尺寸、线条等不作严格要求）
1.空间几何体的结构特征
2.空间几何体的三视图
三视图：用 正投影 得到，这种投影下与投影面 平行 的
平面图形留下的影子与平面图形的形状和大小是 完全
相同 的.三视图包括 正视图 、侧视图 、俯视图 .
3.空间几何体的直观图
空间几何体的直观图常用 斜二测 画法来画，基本规则是：
(1)原图形中x轴、y轴、z轴两两垂直，直观图中，x′轴、
y′轴的夹角为 45°(或135°)
，z′轴与x′轴和y′轴所
在平面 垂直 .
(2)原图形中平行于坐标轴的线段，直观图中 还是线段 .
平行于x轴和z轴的线段长度在直观图中保持不变 ，平
行于y轴的线段长度在直观图中 变为原来的一半 .
1.下列有关棱柱的命题中正确的是
(
)
A.有两个面平行，其余各面都是四边形的几何体叫棱柱
B.有两个面平行，其余各面都是平行四边形的几何体叫
棱柱
C.一个棱柱至少有五个面、六个顶点、九条棱
D.棱柱的侧棱长有的都相等，有的不都相等
解析：A、B都不能保证侧棱平行这个结构特征，对于D，
由棱柱的结构特征知侧棱都相等，一个最简单的棱柱是
三棱柱，有五个面、六个顶点、九条棱.
答案：C
2.用任意一个平面截一个几何体，各个截面都是圆，则这
个几何体一定是
(
)
A.圆柱
B.圆锥
C.球体
D.圆柱，圆锥，球体的组合体
解析：由球的性质可知用平面截球所得的截面都是圆面.
答案：C
3.如图所示，下列几何体各自的三视图中，有且仅有两
个视图相同的是
(
A.①②
B.①③
C.①④
D.②④
)
解析：正方体的正视、侧视、俯视图都是正方形；圆锥
的正视、侧视、俯视图依次为：三角形、三角形、圆及
圆心；
三棱台的正视、侧视、俯视图依次为：梯形、梯形(与正
视图可能不相同)、三角形(内外两个三角形且对应顶点
相连)；
正四棱锥的正视、侧视、俯视图依次为：三角形、三角
形、正方形.
答案：D
4.一个平面四边形的斜二测画法的直观图是一个边长
为a的正方形，则原平面四边形的面积等于
解析：如图所示.
原平面四边形面积为a×2
答案：2
＝2
.
.
5.如图所示，图①、②、③是图④表示的几何体的三视
图，其中图①是
(说出视图名称).
，图②是
，图③是
解析：结合三视图的有关概念知，图①是正视图，图②
是侧视图，图③是俯视图.
答案：正视图
侧视图
俯视图
1.几种常见的多面体的结构特征
(1)直棱柱：侧棱垂直于底面的棱柱.特别地，当底面是正
多边形时，叫正棱柱(如正三棱柱，正四棱柱).
(2)正棱锥：指的是底面是正多边形，且顶点在底面的
射影是底面中心的棱锥.特别地，各条棱均相等的正
三棱锥又叫正四面体.
2.理解并掌握空间几何体的结构特征，对培养空间想象
能力，进一步研究几何体中的线面位置关系或数量关
系非常重要，每种几何体的定义都是非常严谨的，注
意对比记忆.
下面有四个命题：
(1)各个侧面都是等腰三角形的棱锥是正棱锥；
(2)三条侧棱都相等的棱锥是正三棱锥；
(3)底面是正三角形的棱锥是正三棱锥；
(4)顶点在底面上的射影是底面多边形的内心，又是外
心的棱锥必是正棱锥.其中正确命题的个数是
(
)
A.1
B.2
C.3
D.4
[思路点拨]
[课堂笔记] 命题(1)不正确；正棱锥必须具备两点，一
是：底面为正多边形，二是：顶点在底面内的射影是底
面的中心；命题(2)缺少第一个条件；命题(3)缺少第二
个条件；而命题(4)可推出以上两个条件都具备.
[答案]
A
1.几何体的三视图的排列规则：
俯视图放在正视图的下面，长度与正视图一样，侧视图
放在正视图右面，高度与正视图一样，宽度与俯视图一
样，即“长对正，高平齐，宽相等”，如图所示(以长方
体三视图为例)：
[特别警示] 画几何体的三视图时，能看到的轮廓线画成
实线，看不到的轮廓线画成虚线.
2.应用：在解题的过程中，可以根据三视图的形状及图
中所涉及到的线段的长度，推断出原几何图形中的点、
线、面之间的关系及图中的一些线段的长度，这样我
们就可以解出有关的问题.
(2009·山东高考)一空间几何
体的三视图如图所示，则该几何体的
体积为
A.2π＋2
B.4π＋2
C.2π＋
D.4π＋
(
)
[思路点拨]
[课堂笔记] 由几何体的三视图可知，该几何体是由一
个底面直径和高都是2的圆柱和一个底面边长为
，侧
棱长为2的正四棱锥叠放而成.故该几何体的体积为
V＝π·12·2＋
[答案] C
·(
)2·
3 ＝2π＋
.
1.注意原图与直观图中的“三变、三不变”：
“三变” 与y轴平行线段的长度改变（减半），
图形改变.
平行性不变,
“三不变”
与x轴平行的线段长度不变,
相对位置不变.
2.按照斜二测画法得到的平面图形的直观图，其面积与
原图形的面积有以下关系：
S直观图＝
S原图形，S原图形＝2
直观图.
已知△ABC的直观图A′B′C′是边长为a的正三角形，
求原三角形ABC的面积.
[思路点拨]
[课堂笔记]
建立如图所示的xOy
坐标系，△ABC的顶点C在y轴上，
AB边在x轴上，OC为△ABC的高.
把y轴绕原点顺时针旋转45°得y′
轴，则点C变为点C′，且OC＝2OC′，
A、B点即为A′、B′点，长度不变.
已知A′B′＝A′C′＝a，在△OA′C′中，
由正弦定理得
所以OC′＝
，
a＝
a，
所以原三角形ABC的高OC＝
所以S△ABC＝
×a× a＝
，
a2.
若△ABC是边长为a的正三角形，则其直观图
△A′B′C′的面积是多少？
解：法一：由于直观图的面积S′与原图形的面积S
间满足
)，∴易知△A′B′C′的面积为
.
法二：如图(1)(2)所示的实际图形和直观图.
由(2)可知：A′B′＝AB＝a，O′C′＝
在图(2)中作C′D′⊥A′B′于D′，
则C′D′＝
∴S△A′B′C′＝
O′C′＝
a，
A′B′·C′D′＝
OC＝
a，
三视图是新课标新增的内容，是一个知识交汇
的载体，因而是高考的重点内容之一.但新课标对这
部分内容的要求较低，经常与立体几何中有关的计
算问题融合在一起考查.2009年广东高考将三视图与
几何体的体积计算、空间位置关系融为一体，考查
了学生的空间想象能力，是一个新的考查方向.
[考题印证]
(2009·广东高考)(12分)某高速公路收费站入口处的
安全标识墩如图1所示.墩的上半部分是正四棱锥P－
EFGH，下半部分是长方体ABCD－EFGH.图2、图3分别是
该标识墩的正视图和俯视图.
(1)请画出该安全标识墩的侧视图；
(2)求该安全标识墩的体积；
(3)证明：直线BD⊥平面PEG.
【解】
(1)该安全标识墩侧视图如下图所示.
┄┄┄┄┄┄┄┄(4分)
(2)该安全标识墩的体积
V＝VP－EFGH＋VABCD－EFGH
＝
×40×40×60＋40×40×20＝64 000(cm3).┄┄(6分)
(3)由题设知四边形ABCD和四边
形EFGH均为正方形，
∴FH⊥EG，
又ABCD－EFGH为长方体，
∴BD∥FH.┄┄┄┄┄┄┄┄(8分)
设点O是EFGH的对称中心，
∵P－EFGH是正四棱锥，
∴PO⊥平面EFGH，而FH⊂平面EFGH，
∴PO⊥FH.┄┄┄┄┄┄┄┄(9分)
∵FH⊥PO，FH⊥EG，PO∩EG＝O，
PO⊂平面PEG，EG⊂平面PEG，
∴HF⊥平面PEG.┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄(11分)
而BD∥FH，
故BD⊥平面PEG.┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄(12分)
[自主体验]
一个多面体的直观图及正视图、侧视图、俯视
图如图所示，M、N分别为A1B、B1C1的中点.
(1)求证：MN∥平面ACC1A1；
(2)求证：MN⊥平面A1BC.
证明：由题意可知，这个几何体是直三
棱柱，且AC⊥BC，AC＝BC＝CC1＝a.
(1)连结AC1、AB1.
由直三棱柱的性质得AA1⊥平面A1B1C1，
所以AA1⊥A1B1，则四边形ABB1A1为矩形.
由矩形性质得AB1过A1B的中点M.
在△AB1C1中，由中位线性质得MN∥AC1.
又AC1⊂平面ACC1A1，MN⊄平面ACC1A1，
所以MN∥平面ACC1A1.
(2)因为BC⊥平面ACC1A1，AC1⊂平面ACC1A1，
所以BC⊥AC1.
在正方形ACC1A1中，A1C⊥AC1.
又因为BC∩A1C＝C，
所以AC1⊥平面A1BC.
由MN∥AC1，得MN⊥平面A1BC.
1.对于斜二测画法叙述正确的是
(
A.三角形的直观图是三角形
B.正方形的直观图是正方形
C.矩形的直观图是矩形
D.圆的直观图一定是圆
解析：正方形、矩形的直观图都是平行四边形，
故B、C错误；圆的直观图是椭圆，故D错误.
答案：A
)
2.将正三棱柱截去三个角(如图(1)所示A、B、C分别是
△GHI三边的中点)得到几何体如图(2)，则该几何体按
图(2)所示方向的侧视图为
(
)
解析：由正三棱柱的性质得侧面AED⊥底面EFD，则侧
视图必为直角梯形，又线段BE在梯形内部.
答案：A
3.下图是由哪个平面图形旋转得到的
(
)
解析：图中给出的组合体是一个圆台上接一个圆锥，
因此平面图形应由一个直角三角形和一个直角梯形构
成，并且上面应是直角三角形，下面应是直角梯形.
答案：A
4.如图是一个几何体的三视图，根据图中的数据，可得
该几何体的表面积是
.
解析：由几何体的三视图可知此几何体是圆柱与球体的组
合体，S表＝4πR2＋2πr2＋2πrh＝4π＋2π＋6π＝12π.
答案：12π
5.(2010·广州模拟)已知一几何体的三视图如下，正视图
和侧视图都是矩形，俯视图为正方形，在该几何体上
任意选择4个顶点，它们可能是如下各种几何形体的4
个顶点，这些几何形体是(写出所有正确结论的编号)
.
①矩形；
②不是矩形的平行四边形；
③有三个面为直角三角形，有一个面为等腰三角形
的四面体；
④每个面都是等腰三角形的四面体；
⑤每个面都是直角三角形的四面体.
解析：由该几何体的三视图可知该几何体为底面边长为
a，高为b的长方体，这四个顶点的几何形体若是平行四
边形，则其一定是矩形.
答案：①③④⑤
6.用一个平行于圆锥底面的平面截该圆锥，截得圆台
上、下底面半径的比是1∶4，截去的小圆锥的母线
长是3 cm，求圆台的母线长.
解：如图，设圆台的母线长为y，小圆锥底面与被截的圆
锥底面半径分别是x、4x，根据相似三角形的性质
得
，解此方程得y＝9.所以圆台的母线长为9cm.