Transcript 02正投影知识

2.投影的基本知识
教学目录
2.1 投影法介绍
2.2 正投影的基本性质
2.2 正投影的基本性质
2.3 三视图的形成及投影规律
2.4 点的投影
2.5 直线的投影
2.6 平面的投影
2.投影的基本知识
教学目标
1. 掌握投影法的基本概念和正投影的
基本性质。
2. 掌握三视图的形成及投影关系。
3. 能够识读和绘制简单形体的三视图。
4.掌握点、直线和平面的投影规律与作图法。
5.掌握点与线的相对位置中，从属性和定比性的 运用。
6.掌握各种位置直线和平面的投影特征，作图方 法以及在投影图上
正确判断其空间位置。
7.掌握两直线，两平面相对位置的投影特征及 判断。
2.投影的基本知识
2.1投影法介绍
画透视图
中心投影法
投影方法
斜投影法
平行投影法
画斜轴测图
画标高图
及正轴测图
单面投影
正投影法
多面投影
画工程图样
2.投影的基本知识
2.1投影法介绍
画透视图
中心投影法
投影方法
斜投影法
平行投影法
画斜轴测图
画正轴测图
单面投影
正投影法
多面投影
画工程图样
2.1.1中心投影法
2.1.1中心投影法
投射中心
投射线
A
投影体
A
投影
C
C
B
物体位置改变，
投影大小也改变
B
a
c
b
投影特性
投影面
a
c
b 投影面
中心投影法得到的投影一般不反映形体的
真实大小。
度量性较差，作图复杂。
中心投影应用—电冰箱两点透视图
2.1.2平行投影法
投射线倾斜
于投影面
投射线垂直
于投影面
投影体
A
A
C
B
B
正投影
a
c
b
正投影法
投影特性
斜投影法
C
投影面
a
投影体
c
b
投影面
斜投影
投射线互相平行且垂直于投影面
能准确、完整地表达出形体的形状和结构，且
作图简便，度量性较好，故广泛用于工程图。
投射线互相平行且倾斜于投影面
立体感较差。
正投影应用—正轴测图
斜投影应用—斜轴测图
多面正投影应用—组合体
多面正投影应用—机械装配图
2.投影的基本知识
2.2正投影的基本性质
2.2正投影的基本性质
A
E
BC
2.2.1全等性
当空间直线或平面平行于投
影面时，其投影反映直线的实
D
长或平面的实形，这种投影性
a
质称为全等性。
b
H
e
c
d
2.投影的基本知识
2.2正投影的基本性质
2.2正投影的基本性质
A
E
C
2.2.2积聚性
 当直线或平面垂直于投
B
D
影面时，其投影积聚为一
点或一条直线，这种投影
性质称为积聚性。
c
a(b)
H
d
e
2.投影的基本知识
2.2正投影的基本性质
2.2正投影的基本性质
A
2.2.3类似性
E
C
当空间直线或平面倾斜于投
影面时，其投影仍为直线或与
B
之类似的平面图形，其投影的
D
长度变短或面积变小，这种投
a
影性质称为类似性。
d
b c
H
e
2.投影的基本知识
2.3.三视图的形成及投影规律
2.3.三视图的形成及投影规律
2.3.1三面投影体系及三视图的形成
一般只用一个方向的投影来表达形体是不确定的，通常须将
形体向几个方向投影，才能完整清晰地表达出形体的形状和结构。
2.3.1三面投影体系及三视图的形成
2.3.1三面投影体系及三视图的形成
设立三个互相垂直的投影平面，构成三面投影体系。这
三个平面将空间分为八个分角，(GB4458.1–84)规定：采用
第一角投影法，
三面投影体系
2.3.1三面投影体系及三视图的形成
设立三个互相垂直的投影平面，构成三面投影体系。这
三个平面将空间分为八个分角，(GB4458.1–84)规定：采用
第一角投影法，
第一分角
2.3.1三面投影体系及三视图的形成
三视图的形成
直观图
展开投影面
三视图的形成
V
Z
W
X
0
YW
(左视图)
(主视图)
(俯视图)
H
YH
展开后的三视图
三视图
在三投影面体系中摆放形体时，应使形体的多数表面(或
主要表面)平行或垂直于投影面(即形体正放)。
形体在三投影面体系中的位置一经选定，在投影过程中
不能移动或变更。
俯视(产生H面投影)
2.3.2三视图的对应影规律
三视图间的位置关系
主视图(V面)
左视图(W面)
俯视图(H面)
左视(产生W面投影) 主视(产生V面投影)
直观图
W位置关系
 俯视图(H面)在主视图(V面)的正下方；
 左视图(W面)在主视图(V面)的正右方，这
种位置关系，在一般情况下是不允许变动的。
三视图间的对应关系
三视图间的对应关系
高
高
宽
宽
长
宽
宽
长
直观图
总体三等
局部三等
 V面、H面（主、俯视图）——长对正。
 V面、W面（主、左视图）——高平齐。
 H面、W面（俯、左视图）——宽相等。
形体与视图的方位关系
形体与视图的方位关系
上
上
右
左
前
后
下
下
后
右
左
前
三视图的方位关系
直观图
 V面(主视图)——反映了形体的上、下、左、右方位关系；
 H面(俯视图)——反映了形体的左、右、前、后方位关系；
 W面(左视图)——反映了形体的上、下、前、后位置关系。
2·4 点的投影
点、直线、平面是构成形体的基本几何元素
点
A
线
面
D
B
C
一、点的三面投影
过空间点A的投射线
与投影面P的交点即为点A
在P面上的投影。
P
A
a
P
B
B1 B2
解决办法
b
点在一个投影面上的投影
不能确定点的空间位置。
 采用多面投影。
投影面与投影轴
Z
V
V面与H面的交线—OX轴
H面与W面的交线—OY轴
V面与W面的交线—OZ轴
O
X
Y
空间点的位置和直角坐标
空间点的位置，可由
直角坐标值来确定，
一般采用下列的书写
形式：A(x,y,z)。
点到各投影面的
距离，为相应的坐标
数值X，Y，Z 。
Α—空间点A；
a —点A的水平(H)投影;
a′ —点A的正面(V)投影;
a″ —点A的侧面(W)投影。
投影面展开
V面不动
Z
V
Z
V
aZ
a′
W
A
X
aX
X
a
a″
az
ax
O
a
ay
a″
O
H
H
a
H面向下旋转90°
aY
Y
YH
W面向右旋转90°
W
YW
ay
点的三面投影规律:
aZ
a'
Z
V
W
a″
X
XA
H
a
aX
O
X
O
aYW
YA
a
ZA
A
ZA
aZ
a''
YA
XA
a′
X
Z
aY
a
Y
aYH
YH
 Aa″=aay= a az=ax0=xA——A点到W面的距离
 Aa′=aax= a az=ay0=yA——A点到V面的距离
 Aa =aax= a ay=az0=zA——A点到H面的距离
 aa⊥OX轴; aa⊥OZ轴;
a到OX轴的距离= a到OZ轴的距离
YW
例1:已知A点的坐标值A(12，10，15)，求作A点的
三面投影图。
Z
步骤:
a'
a''
aZ
作投影轴；
量取：
Oax=12、Oaz=15、OaYH=OaYW=10, X
得ax、az、OaYH、OaYW等点 ；
aX
过ax、az、aYH、aYW等点分别作 a
所在轴的垂线，交点a、a′、a″
既为所求。
a YW
12
O
a YH
YH
YW
例2：已知点的两个投影，求第三投影。
解法一:
a●
ax
az
●
a
通过作45°线使aaz=aax
a●
解法二:
用圆规直接量取aaz=aax
a●
ax
a●
az
a
●
二、点的空间位置
Z
点在投影体系中有
四种位置情况：
1. 在空间（X，Y，Z）
a＇
X
a
Z
O
YH
a＇
＇
V
a′
aZ
A
X
aX
a″
W
O
H a
aY
Y
YW 由于X，Y，Z均不为
零，对三个投影面都有
一定距离，所以点的三
个投影都不在轴上。
Z
V
2. 在投影面上：
在H面上（X，Y，0）
在V面上（X，0，Z）
在W面上（0，Y，Z）
Z
X b＇
b
c＇
＇
b＇
O
YW X
c
YH
X
C′C
d′C″
D
W
d″
b′
C
B
H b
c＇
＇
O
YW X
O
b″
d
Z
d＇
Y
d＇
＇
O
YW
d
YH
YH
由于点在投影面上，点对该投影面的距离为零。所以，点在该投影
面上的投影与空间点重合，另两投影在该投影面的两根投影轴上。
三、两点的相对位置
上
后a'
V
两点的相对位置指两点在空间的
上下、前后、左右位置关系。
Z
A
b左
'
判断方法：
X
 x 坐标大的在左；
 y 坐标大的在前；
 z 坐标大的在上。
下
B
O
前b''
a
Y
Hb
Z
a'
b'
B点在A点的
左、下、前方。
a'' 右
W
a''
b''
X
O
YW
a
b
YH
两点重影
重影点需要判断其可见性，将不可见点的投影用括号括起来，
当空间两点到两个投影面的距离都分别对应相等时，该两点
处于同一投射线上，它们在该投射线所垂直的投影面上的投影
以示区别。
a''
a'
重合在一起，这两点称为对该投影面的重影点。
V
Z
a'
A
b'
X
B
H a(b)
W
a''
O
b''
b'
O
X
YW
b''
Y
a ( b)
YH
H面重影，被挡
住的投影加( )
2.5 直线的投影
Z
b'
一、各种位置直线的投影特征
两点确定一条直线，将两点的同
面投影用直线连接，就得到直线的
投影。
A●
α
a'
●
A●
●
b
a●
直线倾斜于投影面
投影比空间线段短
ab＜AB cos 类似性
●
O
X
B
B
●
b''
b
a●
直线平行于投影面
投影反映线段实长
ab=AB 真实性
a''
YW
b
a
A ● YH
M●
B●
●
a≡b≡m
直线垂直于投影面
投影重合为一点
ab=0 积聚性
直线在三个投影面中的投影特性
正平线（平行于Ｖ面）
投影面平行线 侧平线（平行于Ｗ面） 平行于某一投影面而
水平线（平行于Ｈ面）
与其余两投影面倾斜
统称特殊位置直线
投影面垂直线
一般位置直线
正垂线（垂直于Ｖ面）
侧垂线（垂直于Ｗ面） 垂直于某一投影面
铅垂线（垂直于Ｈ面）
与三个投影面都倾斜的直线
(1) 一般位置直线
Z
Z
V
a'
X
b'
b'
β
B
γ
α
A
Ha
O
b
b''
b''
a'
W
a''
O
X
YW
a''
b
a
Y
YH
投影特性：
三个投影都缩短了。即: 都不反映空间线段的实
长及与三个投影面夹角，且与三根投影轴都倾斜。
(2) 投影面平行线
a′
Z
b′
O
X
a″ b″
YW
a
b
投影特性：
水平线的投影特征：
YH
1. 水平线的H面投影反映线段实长。即：ab=AB;
对正平线和侧平线作分析，可得出类似的投影特征。
2. 水平线的V、W面投影分别平行于H面的两根轴。
即 a′b′∥ox轴，a″b″∥OYW轴；
3. 水平线的H面投影与OX轴夹角反映该直线对V面的倾角β；与
OYH轴的夹角，反映该直线对W面的倾角γ。
投影面平行线
水平线
b
a
a b
实长 a
b
a
实长
β
侧平线
正平线
α
γ
a
b
a
b
a 实长
β
α
b
a
γ
b
b
a
与H面的夹角:α 与V面的角:β
b
与W面的夹角:γ
投 影 特 性：
1. 在其平行的那个投影面上的投影反映实长，
并反映直线与另两投影面倾角。
2.另两个投影面上的投影平行于相应的投影轴。
(3)投影面垂直线
Z
a′
b′
X
O
a(b)
投影特性：
YH
铅垂线投影特征:
1.
H面投影积聚成一点；
对正垂线和侧垂线作分析，可得出类似的投影特征。
2. V、W面投影反映实长，即a′b′=a″b″=AB；V、W
面投影，分别垂直于H面的两面根轴，即：
a′b′⊥ox轴a″b″ ⊥oz轴 。
a″
b″
YW
投影面垂直线
铅垂线
a
正垂线
a
c(d)
●
b
b
积聚
为点
d c
积聚
为点
e
f
e
f
e(f)
●
d
●
a(b)
侧垂线
c
投影特性:
1.在其垂直的投影面上，投影有积聚性。
2.另外两个投影面上，投影反映线段实长。
且垂直于相应的投影轴。
积聚
为点
例1：判断下列直线的空间位置
a'
a'
b'
C′
b' d′
d
a C
b
d
b
d
a
AB为水平线
CD为侧平线
二、直线与点的相对位置
判别方法：
 若点在直线上,
则点的投影必在
直线的同面投影上。即具有从属性。
V
若点在直线上，则点将线段的同
a
面投影分割成与空间直线相同的比例。
即具有定比性：
AC/CB=ac/cb= ac / cb
若点的投影有一个不在直线的同名
投影上， 则该点必不在此直线上。
C点
在
直线AB上
D点 不在 直线AB上
e b
c
B
C
D
A
a
c
e
b
H
例2：判断点K是否在线段AB上。
a
a
k●
b
●
k
b
因k不在a b上，
故点K不在AB上。
a
k●
b
另一判断法是
应用定比定理
因ak:kb≠ ak:kb
故点K不在AB上。
三、两直线的相对位置
空间两直线的相对位置分为：平行、相交、交叉。
⒈ 两直线平行
b′
a′
d′
c′
O
X
b
d
a
c
投影特性：
空间两直线平行，则其各同面投影
必相互平行，反之亦然。
例1：判断图中两条直线是否平行。
①
a
X
a
b
d
c
c
b
对于一般位置直
线，只要有两个同名
投影互相平行，空间
两直线就平行。
d
结论：AB//CD
例2：判断图中两条直线是否平行。
②
c
c
a
a
d
b
c
b
d
b
d
对于投影面平行线，只
有两个同面投影互相平行，
空间直线不一定平行。若用
两个投影判断，其中应包括
反映实长的投影。
a
如何判断
求出侧面投影
结论:AB与CD不平行
2.两直线相交
V
c
X
C
A
a
c
d
K D
d
k
c
b
b
k
a
交点是两直线
的共有点
k
B
a
d
b
a
d
H
c
k
b
判别方法：若空间两直线相交，则其同名投影必相
交，且交点的投影必符合空间一点的投影规律。
例3：过C点作水平线CD与AB相交。
b
c●
k
d
a
a
d
c
k
●
b
先作正面投影
3.两直线交叉
AB与CD两直线相交吗
d
a
1(2 ) 3
4
●
●
●
c
b
c
2
b
●
●
a
●
1 3(4 )
d
Ⅰ、Ⅱ是Ｖ面的重影点，
Ⅲ、Ⅳ是H面的重影点。
投影特性：
 同名投影可能相
交，但 “交点”不符合
空间一个点的投影规
律。
 “交点”是两直线上
的一 对重影点的投影，
用其可帮助判断两直线
的空间位置。
结论：AB与CD两直线不相交
两直线垂直相交（或垂直交叉）
直角的投影特性：
若直角有一边平行于投影面，则它在该投影面
上的投影仍为直角。
证明：
B
设直角边BC//H面
C
因BC⊥AB, 同时BC⊥Bb
A
所以BC⊥ABba平面
b
又因BC∥bc
a
c
故bc ⊥ABba平面
H
b
因此 bc⊥ab
c
a
即∠abc为直角
b
.
a
c
结论:直线在H面上
的投影互相垂直
例4：过C点作直线与AB垂直相交。
a
.
d
b
●
c
c
a
●
d
b
AB为正平线, 正面
投影反映直角。
2.6 平面的投影
●
s
●
s
一、平面的表示法
●
a●
a●
●
a●
●
b
s
●
s
●
a●
●
●
s
a●
●
●
b
●
s
b
●
d a●
●
●
b
b
●
c
s
●
a●
●
b
s
a●
●
a●
s
a●
b
c
●
●
b
●
s
d
a●
●
b
a●
●
b
●
a●
c
●
s
a●
●
s
a●
●
●
b
不在同一
直线上的
三个点
●
b
直线及线
外一点
●
b
两平行直线
d
●
b
两相交直线
●
b
平面图形
二、各种位置平面的投影特性
平面对一个投影面的投影特性
平行
垂直
倾斜
投 影 特 性
实形性
平面平行投影面-----投影就把实形现
平面垂直投影面-----投影积聚成直线
平面倾斜投影面-----投影类似原平面
积聚性
类似性
平面在三投影面体系中的投影特性
平面对于三投影面的位置可分为三类：
垂直于某一投影面，
倾斜于另两个投影面
投影面垂直面
特殊位置平面
平行于某一投影面，
垂直于另两个投影面
投影面平行面
与三个投影面都倾斜
一般位置平面
正垂面
侧垂面
铅垂面
正平面
侧平面
水平面
投影面垂直面
Z
a″
a′
c′
b′
X
O b″
a
b
c
YH
1.H面投影积聚成一直线；
2. 、 反映平面对V、W面的倾角。
c″
YW
⒈ 投影面垂直面
类似性
ABC为什么
位置的平面
c c
a
铅垂面
为什么？
类似性
b
b
a
β
c
b
a
γ
积聚性
投影特性：
在它垂直的投影面上的投影积聚成直
线。该直线与投影轴的夹角反映空间平面
与另外两投影面夹角的大小。
另外两个投影面上的投影有类似性。
投影面平行面
Z
V
b'
a'
c'
a"
A
c"
C
W
O
B
a
c
b"
H
b
Y
2.投影面平行面
a
b
c a c
b
积聚性
积聚性
a
c
实形性
b
结论：水平面
投影特性：
在它所平行的投影面上的投影反映实形。
另两个投影面上的投影分别积聚成与相应
的投影轴平行的直线。
一般位置平面
Z
b'
V
a'
c'
B b"
A
C
X
c
H
a
a"
c"
b
Y
⒊ 一般位置平面
b
b
c
a
c
投影特性：
a
b
三个投影都类似。
a
c
三、平面上的直线和点
平面上取任意直线
判断直线在平面
内的方法
定 理 一
若一直线过平面
上的两点，则此
直线必在该平面
内。
定 理 二
若一直线过平面上的
一点，且平行于该平
面上的另一直线，则
此直线在该平面内。
例1：已知平面由直线AB、AC所确定，试
在平面内任作一条直线。
根据定理一
解法一：
解法二：
b
m
根据定理二
d
b
n c
a
c
a
m
b
b
a
d
a
n
c
c
有多少解
有无数解。
例2：在平面ABC内作一条水平线，使其到
H面的距 离为10mm。
a
10
m
有多少解
n
c
b
b
c
n
m
a
唯一解！
平面上取点
面上取点的方法：
首先面上取线
先找出过此点而又在平面内的一条直线作
为辅助线，然后再在该直线上确定点的位置。
例1：已知K点在平面ABC上，求K点的水平投影。
b
①
k●
②
c
a
b
d
k
●
c
a
b
a
●
k
b
c
利用平面的积聚性求解
a
●
k
d
c
通过在面内作辅助线求解
例3：已知AC为正平线，补全平行四边形
ABCD的水平投影。
b
解法一
k
a
解法二
c
c
a
d
d
a
b
d
d
c
k
b
c
a
b
解题方法：
解题方法：
 分析已给条件的空间情况，弄清原始条件中物
体与投影面的相对位置，并把这些条件抽象成几
何元素（点、线、面等）。
 根据要求得到的结果，确定出有关几何元素处于
什么样的特殊位置（垂直或平行），据此选择正确
的解题思路与方法。
 本章学习难度较大，建议多做练习，多进行空间
分析和想像，以培养空间思维能力。
本 章 小 结（1）
机械制图主要采用“正投影法”，它的优点是能准确
反映形体的真实形状，便于度量，能满足生产上的要
求。
 三个视图都是表示同一形体，它们之间是有联系的，
具体表现为视图之间的位置关系，尺寸之间的“三等”
关系以及方位关系。这三种关系是投影理论的基础，必
须熟练掌握。
画三视图时要注意，除了整体保持“三等”关系外，
每一局部也保持“三等”关系，其中特别要注意的是俯.
左视图的对应,在度量宽相等时,度量基准必须一致,度量
方向必须一致。
本 章本章小结
小 结（2）
点、直线平面是构成形体的基本几何元素，研究它们的投
影是为了正确表达形体和解决空间几何问题,奠定理论基础
和提供有力的分析手段。
点与直线的投影特性，尤其是特殊位置直线的投影特性。
点与直线及两直线相对位置的判断方法及投影特性。
平面的投影特性，尤其是特殊位置平面的投影特性。
在平面上确定直线和点的方法。