Transcript 2) A

5.6 正弦定理、余弦定理
和解斜三角形
例 已知ABC中，a  14，b  15，c  13，
求：
1) 中线AD；2) 内切圆半径r；3) 外接圆半径R.
A
15
13
B
14
C
例 已知ABC中，a  14，b  15，c  13，
求：
1) 中线AD；2) 内切圆半径r；3) 外接圆半径R.
解：1) 设中线AD = x
A
7 2  x 2  132
△ABD中，cosADB 
27 x
7 2  x 2  152
△ACD中，cosADC 
27 x
 ADB  ADC  
15
13
B
14 D
 cosADB  cosADC  0
7 2  x 2  132 7 2  x 2  152
即

0
27 x
27 x
 中线AD  2 37
整理得 x2=148
C
例 已知ABC中，a  14，b  15，c  13，
求：
1) 中线AD；2) 内切圆半径r；3) 外接圆半径R.
解：2) 连接内切圆圆心O与三角形顶点A、B、C
A
将△ABC分成△OAB、 △OAC、 △OBC
15
13
这三个三角形均以AB、AC、BC为底边，
O
内切圆半径 r 为高
SABC  SOAB  SOAC  SOBC
1
1
1
 AB  r  AC  r  BC  r
2
2
2
1
 (a  b  c)r
2
2S
 内切圆半径 r 
abc
B
14
C
例 已知ABC中，a  14，b  15，c  13，
求：
1) 中线AD；2) 内切圆半径r；3) 外接圆半径R.
b 2  c 2  a 2 132  152  142 33


解：2) cos A 
2bc
2 1315
65
56
 sinA 
65
1
1
56
S ABC  bc sin A  13 15   84
2
2
65
 内切圆半径 r 
A
15
13
B
2S
2  84

4
a  b  c 13  14  15
14
C
例 已知ABC中，a  14，b  15，c  13，
求：
1) 中线AD；2) 内切圆半径r；3) 外接圆半径R.
解：3) 过B作直径BA’，联结A’C
A
A’
可知，△A’BC是直角三角形，且∠A=∠A’
15
13
O
Rt△A’BC中，BC = A’B·sinA’
即 a = 2RsinA’ = 2RsinA
B
14
a
14
65
 R


56
2 sin A 2 
8
65
a
2R 
sin A
同理
b
c
2R 

sin B sin C
扩充正弦定理
C
例 已知圆O是△ABC的外接圆，直径为2R，试用R与
角A、B、C的三角比来表示三角形的三条边a、b、c
C
解：过B作直径BD，联结CD
可知，△BCD是直角三角形，且∠A=∠D
△BCD中，BC=BD·sinD
O
D
A
即 a=2RsinD=2RsinA
a
 2R
整理得
sin A
a
b
c


由正弦定理得 sin A sin B sin C  2 R
 a  2R sin A，b  2R sin B，c  2R sin C
B
• 合理选用正、余弦定理和三角形平几性质，
可求解三角形的边角及其它元素
（如：面积、周长、中线、高、角平分线、内切圆半径、外接圆半径）
2S
内切圆半径 r 
abc
a
b
c
外接圆半径 2 R 


sin A sin B sin C
例 设R是ABC的外接圆半径，S是ABC的面积，
abc
求证：
1) S 
；2) S  2 R 2 sin A sin B sin C
4R
1
1
c
abc
证：1) S  ab sin C  ab

2
2 2R 4R
1
2) S  ab sin C
2
1
 (2 R sin A)(2 R sin B ) sin C
2
 2 R 2 sin A sin B sin C
例. 根据下列条件，判断三角形的形状
1）在ΔABC中，a cosB = b cosA；
2）在ΔABC中，cosA : cosB = b : a
例. 根据下列条件，判断三角形的形状
1）在ΔABC中，a cosB = b cosA
解法一： 由正弦定理 2RsinAcosB =2RsinBcosA
整理得 sinAcosB - sinBcosA = 0
即 sin(A – B ) = 0
 A B  0 即 A – B = 0
   A  B  
∴ ΔABC是等腰三角形
a 2  c2  b2
b2  c2  a 2
 b
解法二： 由余弦定理 a 
2ac
2bc
整理得 a2 = b2
即 a=b
∴ ΔABC是等腰三角形
例. 根据下列条件，判断三角形的形状
2）在ΔABC中，cosA : cosB = b : a
cos A b sin B
 
解法一： 由正弦定理
cos B a sin A
整理得 sinAcosA = sinBcosB
即 sin 2A = sin 2B
 0  A、B  2  2 A  2B 或 2 A  2B  
即 A  B 或 A B 

2
∴ ΔABC是等腰三角形或直角三角形
b2  c2  a 2
a 2  c2  b2
 b
解法二： a·cosA = b·cosB 由余弦定理 a 
2bc
2ac
2
2
2
2
2
2
2
2
a
(
b

c

a
)

b
(
a

c

b
)
整理得
a 4  b 4  b 2c 2  a 2c 2  0
(a 2  b2 )(a 2  b2  c 2 )  0
即 a  b 或 a 2  b2  c 2
∴ ΔABC是等腰三角形或直角三角形
复 习
• 利用正、余弦定理求解三角形的元素
（边、角、面积、周长、高、中线、角平分线、内切圆和外接圆半径）
a
b
c


外接圆半径 2 R 
sin A sin B sin C
内切圆半径 r 
2S
abc
• 利用正、余弦定理实现边角互换，判断三角形形状
判断三角形的形状
形状
角
边
判断三角形的形状
形状
角
边
锐角三角形
钝角三角形
( 如：C )
直角三角形
( 如：C )
等腰三角形
( 如：边b、c )
等边三角形
等腰直角三角形 /等腰或直角三角形
判断三角形的形状
形状
锐角三角形
角
三个角都是锐角
（余弦值、正切值均正）
钝角三角形
C是钝角
( 如：C )
（cos C < 0、tan C < 0）
直角三角形
C是直角
( 如：C )
（cosC = 0、sinC = 1）
等腰三角形
( 如：边b、c )
等边三角形
边
a2+b2 > c2
a2+c2 > b2
b2+c2 > a2
a2+b2 < c2
a2+b2 = c2
B=C
b=c
A=B=C=60º
a=b=c
等腰直角三角形 /等腰或直角三角形