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§2三角形中的几何运算
斗鸡中学
刘芳
学习目标
1. 能够正确运用正弦定理、余弦定
理等知识、方法解决一些与测量以
及几何计算有关的实际问题。
2. 通过对全章知识的总结提高，帮助
学生系统深入地掌握本章知识及典
型问题的解决方法。
1:正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对
角的正弦的比相等
a
b
c


 2R
sin A sin B sin C
2:余弦定理：三角形任何一边的平方等于其他两边
平方的和减去这两边与他们夹角的余弦的积的
两倍，即：2
a  b 2  c 2  2bc cos A
b 2  a 2  c 2  2ac cos B
c 2  a 2  b 2  2ab cosC
例1. 如图，在梯形ABCD中，AD//BC，AB
＝5，AC＝9，∠BCA＝30°，
∠ADB＝45°，求BD的长。
[思路分析]

sin BAD 
 sin ABC 


  AB  5
  BD
AD // BC 


BCA  30 
ADB  45 
AB  5
ABC中(可解三角形)：AC  9
解：在△ABC中，AB=5,AC=9,
0
∠BCA= 30
,由正弦定理，得
AB
AC

sin BCA sin ABC
AC  sin BCA 9 sin 300 9
sin ABC 


AB
5
10
因为AD∥BC,所以
BAD  1800  ABC ,于是
9
sin BAD  sin ABC 
10
9
同理，在ABD中，AB  5, sin BAD  , ADB  450
10
9 2
解得：BD 
2
9 2
答：BD的长为
2
真聪明!
例2：一次机器人足球比赛中，甲队１号机器人由Ａ开始
作匀速直线运动，到达点Ｂ时，发现足球在点Ｄ处正以２
倍于自己的速度向点Ａ作匀速直线滚动．如图所示，已知
0
AB  4 2dm AD  17dm, BAD  45 若忽略机器人原
地旋转所需的时间，则该机器人最快可在何处截住足球？
B
A
C
D
B
A
C
D
解：设该机器人最快可在点Ｃ处截住足球，点Ｃ在线段
ＡＤ上，
设ＢＣ＝x dm,由题意，ＣＤ＝２x dm,
AC=AD – CD = ( 17 – 2x ) (dm)
在△ABC中，由余弦定理，得
BC 2  AB 2  AC 2  2 AB  AC cos A
即
 
x  4 2  17  2x   2  4 2  17  2 x  cos45
2
2
2
0
37
 dm 
解得 x1  5  dm  , x2 
3 23

所以 AC=17-2x = 7 (dm) 或 AC   3  dm（不合题意，
舍去）
答 该机器人最快可在线段ＡＤ上离点Ａ７dm的点Ｃ处
截住足球．
课本例三
课本55页练习题
课后作业
课本56页习题2-2
课本56页习题2-2