Transcript 1.3三角形的高

从三角形的一个顶点向它的对边
所在的直线作垂线，顶点和垂足
之间的线段叫做三角形的高．
顶点到对边所在直线的距离
Ａ
如图所示，AD⊥BC于点D，
AD就是△ABC的BC边上的高．
一个三角形
有几条高？
Ｂ
Ｄ
Ｃ
∵ AD ⊥ BC
A
∴ AD是△ ABC的BC边上的高
B
D
C
∵ AD是△ ABC的BC边上的高
∴ AD ⊥ BC
用三角尺和铅笔分别作如下锐角三角形ABC,
直角三角形DEF和钝角三角形PQR的各边上的
高.
F
A
R
B
C
D
E
P
观察你所作的图形,比较三个三角形中三
条高的位置,与三角形之间有什么关系?
Q
1.锐角三角形的三条高
A
锐角三角形的三条高都在三角形的内部。F
垂足在相应顶点的对边上.
E
O
2. 直角三角形的高
B
D
F
直角三角形的直角边上的高分别与另一条
直角边重合,垂足都是直角的顶点.斜边
上的高在内部。
A
3.钝角三角形的高
钝角三角形中,夹钝角两边的高都在三
角形的外部,它们的垂足都在相应顶
点的对边的延长线上.
C
G
E
D
F
D
C
B
E
议一议
钝角三角形的
三条高交于一点吗？
A
F
它们所在的直线交于一点吗？
钝 角三角形的
三条高不相交于一点
D
C
E
O
钝角三角形的三条高所
在直线交于一点
B
锐角三角形：三条高在三角形的内部，
垂足在相应顶点的对边上。
直角三角形：直角边上的高分别与另一
条直角边重合，垂足就是直角的顶点。
钝角三角形：夹钝角两边上的高都在三
角形的外部，它们的垂足都在相应顶
点的对边的延长线上。
想一想
分别指出图5—13中△ABC 的三条高。
A
A
F
D
B
C
直角边BC边上的
高是 AB边 ;
直角边AB边上的
高是 CB边;
斜边AC边上的
高是 BD ;
D
图5—13
C
B
E
AB边上的高是 CE
;
BC边上的高是 AD
;
CA边上的高是 BF
;
高
锐角三角形
条数
位置
直角三角形
3
3
都在三角
形内部
垂足
在相应顶点
的对边上
交点
在三角形内部
B
3
直角边上的高分别
与另一条直角边重
合，还有一条高在
三角形内部
夹钝角两边上的高
在三角形外部，另
一条高在内部
①在相应顶点的对
边的延长线上
②在钝角的对边上
①是直角的顶点
②在斜边上
在直角顶点
在三角形外部
D
A
图形
钝角三角形
C
E
P
F
Q
R
例１：如图所示，在△ABC中，AD
是△ABC的高，AE是△ABC的角平
分线．已知∠BAC＝82°，∠C＝
40°，求∠DAE的大小．
Ａ
提示：
１．已知AE是△ABC的角平分
线可以得到什么结论？
２．AD 是三角形的高,又可以
Ｂ
得到什么结论?
３． ∠DAE可以看做哪两个角的差
Ｄ Ｅ
Ｃ
例1如图，在△ABC中，AD是△ABC的高AE
是△ABC的角平分线.已知
∠BAC=82°∠C=40°，求∠DAE的大小。
A
解： ∵ AE是BC边上的角平分线,
且∠BAC=82°
∴ ∠EAC=
1
∠BAC=41°
2
∵ AD是△ABC的高,
B
D E
∴ ∠ADC=90°
∵ ∠DAC+ ∠ADC+ ∠C =180°
(根据什么?)
∴ ∠DAC=180°－∠ADC－∠C
=180°－90°－40°=50°
例1你还有其他解法吗?
∴ ∠DAE=∠DAC－∠C=50°－41°=9°
C
例2 在△ABC中，AE，AD分别是BC
边上的中线和高。说明△ABE的面积与
△AEC的面积相等。
A
从这个例题
∴ BE = EC
你有什么发现吗?
解： ∵ AE是BC边上的中线
∵
∴
AD是△ABE 和△AEC的高 B
S ABE
S AEC
∴
1
  BE  AD
2
1
  EC  AD
2
SABE  SAEC
E D
C
探究活动
如图点D,E,F 分别是△ABC的
三条边的中点.设△ABC的面积为S,
求△DEF的面积.
你可以这样考虑:
(1)连结AD. △ADC的面积是多少?
(2)由第(1)题,你能求出△DEC的面积吗?
△AEF和△FBD的面积呢?
当问题直接解决有困难时，
可以考虑从反面着手
B
F
A
E
D
C
１．如图，在△ABC中，CD是AB边上的高．用
“＝” “＞”或“＜”填空：
<
(1)AD______AC
>
(2) ∠ADC______∠A
A
=
(3) ∠A+∠ACD______∠ADC
B
D
C
拓展练习
1、下列各组图形中，哪一组图形中AD是△ABC 的高(D )
C
A
D
D
C
B (A)
A
(B)
B
C
B
B
C
A
(C)
D
D
(D)
2、 如果一个三角形的三条高的交点恰是三角形的一
个顶点，那么这个三角形是（
）
B
A.锐角三角形
B.直角三角形
C.钝角三角形
D.锐角三角形
A
课堂探究
3、三角形的三条高相交于一点，
此一点定在（ D ）
A. 三角形的内部
B.三角形的外部
C.三角形的一条边上
D. 不能确定
一、三角形的高的概念
二、会画三角形各边上的高
三、会利用三角形的高解决
角度、面积等的计算问题
4.下列各阴影部分的面积有何关系？
Ｓ乙>Ｓ甲＝Ｓ丙
练一练
A
（1）AD是△ ABC的BC边上的中线，则
S ABD
S ACD
（2）设△ ABC的面积为S，则△ ACD的
面积为
B
（3）若点E是AC的中点，则 S ADE
=
E
D
C