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從艾雪圖形談平面鑲嵌
新北市林口國中 / 數學輔導團
交大AMA團隊 李政憲
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艾雪圖形解構
• 是否有其他正多邊形也可以拼貼呢？
正多邊形內外角度數計算
• 從三角形內角和談起……
A
A
B
C
B
把三個角剪下來拼在一起，就形成了一個平角，即180度。
B
C
四邊形
360度
把四個角剪下來拼在一起，就形成了一個圓圈360度
這是證明嗎？
若已知三角形內角和為180度，請問四邊形內角和是幾度？如何證明？
P連接頂點：
1   2   3   4   5 
A
6
1
D
2
 6  2  180   360 
因此四邊形內角和為360度
B
5
4
3
C P
想想看，除了把4個角剪下來之外，還有
其他的方法嗎？
因為  1   2   3   4   5 
P點在形內：
 6   7   8   9   10 
11  12  4  180 
A
11
1
2
12
B
3
D
4
所以 1   2   4   5   7   8 
10  11  4  180   360   360 
6
9P
10
8
又  3   6   9   12  360 
7
5
C
因此四邊形內角和為360度
P點在邊上（非頂點）：
A
7
1   2   3   4   5   6   7 
1
D  8   9  3  180   540 
3
5
又  2   4   8  180 
B
9
8
2
P
4
6
所以 1   3   5   6   7
C
  9  3  180   180   360 
因此四邊形內角和為360度
P點在形外：
因為 1   2   3   4   5 
A
1
4
 6   7   8   9  10 
D
6
11  3  180 
7
又  10   11   3   5   8  180 
B 2
所以 1   2   4   6   7
10
3 5 8
P
11
9
C
  9  3  180   180   360 
因此四邊形內角和為360度
從上面的方法你發現了什麼？
從多邊形的一個頂點開始，往每個頂點
連接，可以把這個多邊形分割成許多個
三角形後，再計算所有的內角和。
因此，五邊形的內角和就是把
五邊形分割成 3個三角形
內角和為
3  180   540 
因此，六邊形的內角和就是把
六邊形分割成 4個三角形
內角和為
4  180   720 
多邊形
可分割成的三角
形數
內角和
三角形
3–2=1
1  180 
四邊形
4–2=2
2  180 
五邊形
5–2=3
3  180 
六邊形
6–2=4
4  180 
七邊形
7–2=5
5  180 
…
…
多邊形
…
n-2
(n  2 )  180 
我們歸納出：
n邊形（n≥3）的內角和為
(n  2 )  180 
分割的三角形數
每個三角形的內角和
正n邊形的每一內角
• 若為正n邊形，則每一內角為
( n  2)  180
n
從代數方式談平面鑲嵌
• 每個頂點接三個面（如6,6,6）：可設接了正n1, n2, n3邊形，
其中3≤ n1 ≤ n2 ≤ n3，所以
( n1  2)  180

( n 2  2)  180
n1
1
n1

n2
1
n2

1
n3

1
2
則 n1 可為3、4、5或6

( n 3  2)  180
 360
n3
, 3  n1  n 2  n 3 .
從代數方式談平面鑲嵌I
1
n1

1
n2
1

n3

1
2
, 3  n1  n 2  n 3 . 則 n1 =3,4,5或6
n1
n1
n2
n2
n3
n3
備註
3
7
42
無法無限延伸
3
8
24
無法無限延伸
3
9
18
無法無限延伸
3
10
15
無法無限延伸
3
12
12
半正則鑲嵌
4
5
20
無法無限延伸
4
6
12
半正則鑲嵌
4
8
8
半正則鑲嵌
5
5
10
無法無限延伸
6
6
6
正則鑲嵌
無法無限延伸鑲嵌說明
• (5,5,10)
從代數方式談平面鑲嵌II
• 每點接四面：
( n1  2)  180

( n 2  2)  180
n1
1

n1
1

n2
1
1

n3
n4

( n 3  2)  180
n2
 1 , 3  n1  n 2  n 3  n 4 .
n1
n1
n2
n2
n3
n3
n4
n4
備註
3
3
4
12
無法無限延伸
3
3
6
6
半正則鑲嵌
3
4
4
6
半正則鑲嵌
4
4
4
4
正則鑲嵌
n3

 n 4  2   180
n4
 360
從代數方式談平面鑲嵌III
• 每點接五面：
( n1  2)  180

( n 2  2)  180
n1

( n 3  2)  180
n2
1

1

1


 n 4  2   180
n3
1

1

3
2
,
n4

( n 5  2)  180
n5
3  n1  n 2  n 3  n 4  n 5 .
n1
n2
n3
n4
n5
n1
n1
n2
n2
n3
n3
n4
n4
n5
n5
備註
3
3
3
3
6
半正則鑲嵌
3
3
3
4
4
半正則鑲嵌
 360
從代數方式談平面鑲嵌IV
• 每點接六面：
( n1  2)  180
( n 2  2)  180

n1
1
n1


( n 3  2)  180
n2
1
n2
1

1

n3
n3

n4
1

n5
1
n6

 n 4  2   180
n4

( n 5  2)  180
n5

( n 6  2)  180
n6
 2,　3  n1  n 2  n 3  n 4  n 5  n 6 .
n1
n1
n2
n2
n3
n3
n4
n4
n5
n5
n6
n6
備註
3
3
3
3
3
3
正則鑲嵌
 360
同類不同構
• (3,3,4,3,4)與(3,3,3,4,4)
對偶鑲嵌
• (3,3,4,3,4)與(5,5,5)/(5,5,5,5)
角度：90-120-90-120-120
1+ 3 1+ 3 1+ 3 1+ 3
: 2 : 2 : 2
2
邊長：1:
不完全正則鑲嵌
• 二律不完全正則：3,4,3,12/3,12,12
不完全正則鑲嵌
• 三律不完全正則：3,3,3,4,4/3,3,4,3,4/4,4,4,4
本日家族作業（兩週）：
• 以GSP完成所有正則與半正則鑲嵌圖形，並同時繪製其對
偶圖形（含同類不同構，並以簡報說明其角度與邊長關係）
• 繳交時請以家族為單位，並同時繳交GSP以及簡報檔。
本日個人作業（一個月）：
• 參考非想非非想網站（註明出處）或自行以GSP設計Escher
連續圖形，說明其鑲嵌與對偶結構（請自行著色並加以命
名）。
參考資料：
• 數學樂園－從胚騰學好數學，林壽福著，如何出版社
• 多邊形的外角和與內角和，台中市立西苑高級中學張怡仁
老師、張金婉老師
• 師大許志農教授Escher-E028三隻鳥、E134花、E044鳥、
E070飛信flash
• 【Dot Design】地墊組合參考圖片
機器人GSP拼貼
飛信GSP拼貼