Transcript 第五冊3-1電子書
我們在國小五年級時，曾利用量角器量過一個三 角形三內角度數和為180°，也曾利用下面操作的 方式來理解一個三角形的三內角度數和為180°。 剪下附件(五)中△ABC 的三個內角，將頂點對齊， 邊與邊拼在一起，如下圖所示，可以發現它們排 成一直線。 A A B C C B 如右圖，△ABC中，∠1＝80°， ∠2＝60°，求∠3的角度。 ∠3＝∠ACB ＝180°－∠1－∠2 ＝180°－80°－60° ＝40° A 1 B 2 C 3 我們知道三角形的內角和是180°，那麼四邊形的內角和是多 少度呢？ (1) 任意畫一個四邊形 ABCD，連接 AC ， 將四邊形 ABCD 分割成兩個三角形： B △ABC 和△ACD，如右圖。 (2) 因為△ABC 和△ACD 的內角和都是180°， 所以四邊形 ABCD 的內角和 ＝（∠1＋∠2）＋∠B＋（∠3＋∠4）＋∠D ＝（∠1＋∠B＋∠3）＋（∠4＋∠D＋∠2） ＝△ABC 的內角和＋△ACD 的內角和 ＝180°＋180°＝360°（＝180°×（4－2）） A 1 2 D 3 4 C 五邊形的內角和又是多少度呢？ (1) 任意畫一個五邊形 ABCDE，仿照上面 的方法，連接 AC 、 AD ，這兩條過 A 點 B 的對角線將五邊形 ABCDE 分割成三個三 角形：△ABC、△ACD 和△ADE，如右圖。 A 1 2 3 E 7 6 4 5 D C (2) 因為△ABC、△ACD 和△ADE 的內角和都是180°， 所以五邊形 ABCDE 的內角和 ＝(∠1＋∠2＋∠3)＋∠B＋(∠4＋∠5)＋(∠6＋∠7)＋∠E ＝(∠1＋∠B＋∠4)＋(∠2＋∠5＋∠6)＋(∠7＋∠E＋∠3) ＝△ABC 的內角和＋△ACD 的內角和＋△ADE 的內角和 ＝180°＋180°＋180°＝540°（＝180°×（5－2）） A 任意畫一個六邊形 ABCDEF， 並連接 AC 、 AD 、 AE ，這三條 通過 A 點的對角線將六邊形 F B E ABCDEF 分割成四個三角形： △ABC、△ACD、△ADE 和△AEF， 所以六邊形 ABCDEF 的內角和 ＝三角形內角和 ×（ 6 －2） ＝ 720° 。 C D 由上面的討論可以推知 n 邊形可用通過其一頂點的（n－3）條對角線 分割成（n－2）個三角形， 再利用「三角形的內角和為180°」， 即可推得： 內角和定理：n 邊形的內角和為180°×（n－2）。 由內角和求內角 如右圖，已知 ABCDE 為五邊形， ∠A＝110°，∠B＝100°，∠C＝110°， ∠D＝130°，求∠E 的角度。 A E B D C 五邊形內角和＝180°×（5－2） ＝540° ∠E＝540°－（110°＋100°＋110°＋130°） ＝540°－450° ＝90° 已知六邊形 ABCDEF 中，∠B＝120°，∠C＝150°，∠D ＝95°，∠E＝120°，∠F＝125°，求∠A 的角度。 所求 ＝180°× （6－2）－（120°＋150°＋95°＋120°＋125°） ＝720°－610° ＝110° 正多邊形是所有邊的長度都相等，而且所有內角的 角度都相等的多邊形，因此： 180° ×（n－2） 正 n 邊形每個內角的角度均為 。 n 由內角和求內角 如右圖，已知 ABCDEF 為正六邊形， 延長 AF 、 DE ，相交於 G 點，求∠G 的角度。 A F B G E C D 因為 ABCDEF 為正六邊形， 180° ×（6－2） 720° 所以∠AFE＝∠DEF＝ ＝ 6 ＝120°。 6 故∠EFG＝180°－∠AFE＝180°－120°＝60°， ∠FEG＝180°－∠DEF＝180°－120°＝60°， 所以∠G＝180°－∠EFG－∠FEG ＝180°－60°－60°＝60° A 如右圖，已知 ABCDE 為正五邊形， E B 延長 AE 、 CD ，相交於 F 點，求 ∠F 的角度。 F C D 因為 ABCDE 為正五邊形， 180° ×（5－2） 540° 所以∠AED＝∠CDE＝ ＝ 5 ＝108°。 5 故∠DEF＝180°－∠AED＝180°－108°＝72°， ∠EDF＝180°－∠CDE＝180°－108°＝72°， 所以∠F＝180°－∠DEF－∠EDF ＝180°－72°－72°＝36°。 阿寶陪爺爺去公園散步，他們 到達公園後，依逆時針方向繞 著一個三角形步道，自P 點出發 沿著 P→A→B→C→P 的路線走 一圈後回到 P 點，如右圖。 F 3 C P 2 A B E D 1 他們在 A 點時，由原先朝 D 點的方向轉成朝 B 點的 方向，因此在 A 點所轉的角是∠1；同理，他們在 B 點所轉的角是∠2，在 C 點所轉的角是∠3。 ∠1、∠2 與∠3 分別稱為 △ABC 三內角∠CAB、 ∠ABC 與∠BCA 的外角。 此時，因為∠CAD 為平角， 所以∠1 跟∠CAB 互為補角， 亦即 ∠1＋∠CAB＝180°； 同理，∠2＋∠ABC＝180°； ∠3＋∠BCA＝180°。 F 3 C P 2 A B E D 1 為了顯示∠1、∠2 與∠3 是繞△ABC 走一圈時，在三頂 點處所轉的角，我們稱它們為△ABC 的一組外角。 計算外角及外角和 如右圖，若△ABC 的三個內角分別為 ∠A＝30°，∠B＝50°，∠C＝100°， 則其外角各為多少度？一組外角和是 多少度？ A 30° B 50° 100° C 因為外角與內角互為補角，因此 ∠A 的外角為 180°－30°＝150°， ∠B 的外角為 180°－50°＝130°， ∠C 的外角為 180°－100°＝80°， 故△ABC 的一組外角和是 150°＋130°＋80°＝360°。 若△ABC 的三個內角分別 為∠A＝60°，∠B＝40°， ∠C＝80°，則其外角各為 多少度？△ABC 的一組外 角和是多少度？ A 60° 40° B ∠A 的外角＝180°－60°＝120°， ∠B 的外角＝180°－40°＝140°， ∠C 的外角＝180°－80°＝100°， 一組外角和＝120°＋140°＋100°＝360°。 80° C 阿寶和爺爺兩人依逆時針方向繞三角形步道 ABC 走一 圈，可得一組外角∠1、∠2 與∠3。如果阿寶和爺爺兩人 是依順時針方向繞三角形步道 ABC 繞一圈，可得到另 外一組外角∠4、∠5 與∠6，如下圖。 F 3 C C D 6 2 A 1 B 4 E G A B 5 H 事實上，∠1 與∠6、∠2 與∠5、∠3 與∠4 都是對頂角， 所以∠1＝∠6，∠2＝∠5，∠3＝∠4，因此可知△ABC 共 有兩組外角，且其和相同。 F 3 C C D 6 2 A 1 B 4 E G A B 5 H 一般而言，若沒有特別說明，三角形的外角和指的是 其中一組外角和。 由例題 3 及其隨堂練習，可以發現某些三角形的一 組外角和是 360°，請問任意三角形的外角和都是 360°嗎？ 剪下附件(五)，將△ABC 三個外 角的頂點對齊，邊與邊拼在一起， 這三個角不能重疊，看看這三個 外角是否恰好圍成一圈。 是。 3 C 2 A 1 B 上面這個結果也可以從「三角形的內角和為 180°」 推導如下： 因為每一個內角與其外角互補， 即∠1＋∠CAB＝180°，∠2＋∠ABC＝180°， ∠3＋∠BCA＝180°， 3 C 2 A 1 B 所以∠1＋∠2＋∠3＋∠CAB ＋∠ABC＋∠BCA＝540°。 又 ∠CAB＋∠ABC＋∠BCA＝180°， 故△ABC 的一組外角和＝∠1＋∠2＋∠3 ＝540°－180°＝360°。 由此可知： 三角形的一組外角和為360°。 求三角形的外角 如右圖，△ABC 中，∠A 的外角 為 110°，∠B 的外角為 120°，則 ∠C 的外角是多少度？ 110° A C 因為三角形的外角和為 360°， 所以∠C 的外角＝360°－110°－120°＝130°。 正三角形的每個外角各是多少度？ 正三角形的三內角相等三外角亦相等， 360°÷3＝120°各是120°。 120° B 任意畫出△ABC，延長 CA 至 D 點，如右圖所示，此 時∠BAD 為∠CAB 的外角， 其餘兩個內角∠B、∠C 是 ∠BAD 的兩個內對角。 D A B 因為∠B＋∠C＋∠CAB＝180°，以及 ∠BAD＋∠CAB＝180°，所以∠BAD＝∠B＋∠C， 即∠CAB 的外角恰為其內對角∠B 與∠C 之和。 可知∠BAD＞∠B；∠BAD＞∠C。 C 因此我們可得： 1. 三角形的外角定理： 三角形的外角為其兩個內對角之和。 2. 三角形的外角大於其內對角。 利用外角定理求角度 如右圖，△ABC 中，已知 ∠A 的外角為130°，∠B＝50°， 求∠C 的角度。 130° B 50° 由三角形的外角定理，得知130°＝∠B＋∠C， 又∠B＝50°，因此∠C＝130°－50°＝80°。 A C △ABC 中，若∠A 的外角為 144°，且∠B＝∠C，求 ∠C 的角度。 ∠A 的外角＝∠B＋∠C＝144°， 又∠B＝∠C，故∠C＝144°÷ 2＝72°。 五角星形的內角和 右圖為五角星形 ABCDE，求 ∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E 的角度和。 A E Q 1 2 B D C 因為∠1 是△BDQ 的一個外角， ∠B 和∠D 是它的內對角， 所以∠1＝∠B＋∠D。 因為∠2 是△PAC 的一個外角， ∠A 和∠C 是它的內對角， 所以∠2＝∠A＋∠C。 P 五角星形的內角和 右圖為五角星形 ABCDE，求 ∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E 的角度和。 A E Q 1 2 B D C 因為△EPQ 的內角和是 180°， 所以∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E ＝（∠A＋∠C）＋（∠B＋∠D）＋∠E ＝∠2＋∠1＋∠E ＝180° P 如右圖，已知∠1＝40°，∠2＝60°， 求下列的角度和： (1) ∠BAC＋∠B ∠BAC＋∠B＝∠1＝40°。 A 1 2 D B (2) ∠CAD＋∠D ∠CAD＋∠D＝∠2＝60°。 (3) ∠B＋∠BAD＋∠D ∠B＋∠BAD＋∠D ＝（∠B＋∠BAC）＋（∠CAD＋∠D） ＝40°＋60°＝100° C 任意畫出一個多邊形，若以逆時針（或順時針）方 向沿著此多邊形繞一圈，在每個頂點所轉的角稱為 此多邊形的外角，且與內角互為補角。 外角 內角 前面我們曾利用操作的 A 4 D 1 4 3 方式以及「三角形的內 1 2 3 角和為 180°」推知三角 C B 形的一組外角和為 360°。 2 圖3-1 圖3-2 利用類似的方法，我們 可以推知 n 邊形的一組外角和也是360°（n≥3）。例 如：圖3-1中，∠1、∠2、∠3 和∠4 為四邊形 ABCD 的 一組外角，我們若將這組外角的頂點對齊，邊與邊拼 在一起，如圖 3-2，可以發現它們圍成一圈。 因此任意四邊形的一組外角和為360°。 這個結果可用「四邊形的內角和為360°」導出： 因為∠1＋∠DAB＝180°，∠2＋∠ABC＝180°， ∠3＋∠BCD＝180°，∠4＋∠CDA＝180°， 將這四個式子相加，可得 ∠1＋∠2＋∠3＋∠4＋∠DAB＋∠ABC＋ ∠BCD＋∠CDA＝720°， 由於四邊形的內角和為 360° ， 即 ∠DAB＋∠ABC＋∠BCD＋∠CDA＝360° ， 所以 ∠1＋∠2＋∠3＋∠4＝720°－360°＝360°。 1. 利用五邊形的內角和為 540°，推導出五邊形的一組 外角和是 360°。 五邊形的一組外角和 ＝180°× 5－540°＝360°。 2. 正五邊形的每個內角是多少度？每個外角是多少度？ 180° × （5－2） 每個內角＝ ＝108°， 5 每個外角＝180°－108°＝72°。 利用類似的方法，可以推得： n 邊形的一組外角和是 360°，正 n 邊形每個外角的 360° 度數都是 n 。 由外角和求外角 已知一個五邊形的一組外角中四個外角的度數分別為63°、 57°、58°、74°，請問這一組外角中另一個外角的度數為 多少？ 因為一個五邊形的一組外角和為 360°， 所以另一個外角的度數為 360°－63°－57°－58°－74°＝108° 。 如右圖，已知四邊形 ABCD 的一組外角中 三個外角的度數分別為 115°、100°與 50°， 求這一組外角中另一外角的度數。 所求＝360°－115°－100°－50°＝95°。 D 115° A 50° B 100° C 1. 三角形內角和 三角形的內角和是180°。 2. n 邊形的內角 (1) 內角和定理：n 邊形的內角和是 180° ×（n－2） 。 180° ×（n－2） (2) 正 n 邊形每個內角的角度都是 。 n 3. 三角形的外角 (1) 三角形的外角定理： 三角形的外角為其兩個內對角之和。 (2) 三角形的外角大於其內對角。 4. n 邊形的外角 (1) n 邊形的一組外角和是 360°。 360° (2) 正 n 邊形每個外角的度數都是 n 。 1. 下列各組角中，哪一個可為三角形的三內角？ (A) 80°、80°、10° (B) 40°、60°、80° (C) 70°、70°、70° (D) 30°、100°、40° 答： (B) 1 2. 如右圖，求 B ∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F C 的角度和。 所求＝△ACE 內角和＋△BDF 內角和 ＝180°× 2＝360° A F E D 3. 如右圖，已知∠1＝85°、 ∠D＝45°、∠A＝63°， 求∠ABD、∠ACD的角度。 ∠1＝∠A +∠ABD ∠ABD＝85°－ 63°＝22° ∠1＝∠D +∠ACD ∠ACD＝85°－ 45°＝40° D A 1 B C 4. 如右圖，小美依逆時針方 向繞四邊形公園 ABCD 散 步，她由P 點出發，經過 B、C 兩點到達 Q 點，那 麼她至少轉了多少度？ D A Q P B （180°－60°）＋（180°－100°） ＝120°＋80° ＝200° 60° 100° C 5. 若正 n 邊形的每個內角都是 156°， 請問 n 是多少？ （n－2）× 180 ＝156， n 180n－360＝156n，n＝15。 本節已結束。 請點選數學小博士→ 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