Transcript 基本出象 - HiNet

第二單元：
機率概論
日常生活中常見的機率問題
在日常生活當中，我們經常會面對許多機率的問題，例如：
◆老英、小英兩人當選下一任總統的機率
（probability）各有多大？
◆尼克隊林書豪出賽獲勝的機率有多高？
◆飛機與汽車出事的機率究竟誰高？
◆購買樂透獲得頭獎的機率有多大？
◆為何某香腸攤老闆開18點的機率較大？
為何需要機率
 現在激烈競爭的社會中，人們對許多不確定的事件”
對這些不確定事件須利用機率理論來協助解決。不確
定越高，越需要機率理論。
 因為你不是上帝，所有事件都具有不確定性，其發生
的可能性的大小，必需利用機率才能回答。
 什麼是機率？與我們日常所說的機遇或機會（chance）
其意義是否相同？一般而言，機率是長期不斷重複某
種機遇現象所得到的規律模式而以數學來表示者。現
實世界裡，許許多多事件的發生是不確定的，機率就
是用來表示發生某事件的可能性的大小。
統計學與機率
統計學探討如何由母體抽取樣本，並從樣
本統計量去推論母體參數。而在抽樣時，
到底會出現哪一個樣本，必須利用機率才
能得知。當我們知道樣本出現機率的大小
時，我們就可以利用它來推論母體。
機率理論的基礎，包括隨機實驗、機率的
意義、種類，以及事件的性質與機率的計
算及各種機率分配等。
隨機實驗
 先談談與機率論有關的隨機實驗
 隨機實驗是一種過程(process)，是一種不能確實
預知會發生何種結果的實驗方式。在實驗前已知
所有可能出現的結果，而實驗後的結果為所有可
能的結果之一，但實驗前並未能正確的、肯定的
預知會出現何種結果。隨機實驗可重複進行，而
經過長期重複實驗，出現的結果會遵循某些規則。
 例如擲一枚銅板或3顆骰子，其可能出現的結果，
已早為世人所知，在”特殊情況下”，出現的結果
會遵循某些規則(總是開大頭或18點)，輸贏隨即
決定，此時老闆與賭客便已完成了一次「隨機實
驗」。
隨機實驗、出象與樣本空間
• 隨機現象的任一結果的機率是在0與1之問的一個數字，此
一數字是重複無限次之後該結果的比例。
隨機實驗
抽取一個產品做檢
驗
出象
與樣本空間
良品、不良品
S={良品，不良品}
丟一個骰子1次
1,2,3,4,5,6
抽查經濟學成績
0~100分
量初生嬰兒的體重
l,500~5,000g
S＝{1,2,3,4,5,6}
S={0~100分}
S={l,500g~5,000g}
擲銅板是個隨機實驗？
隨機是指一個現象事先無法預知是否發生，但在長期
多次重複實驗之後，該現象的發生會出現有規則的型
態。
為什麼「拋擲銅板」是「隨機實驗」呢？因為在完成拋擲前·
可能出現的結果大家已經知道，不是「大頭」 ，就是「10
元」，沒有第3種可能。縱使如此，卻沒有人有百分之百的把
握猜中拋擲的結果。該實驗可一再重複，並在多次實驗後，
出現「正面」和「反面」的次數會逐漸趨於相等。若不斷繼
續實驗下去，兩種結果的出現次數會愈加趨近(這是統計的結
果)，機會各一半，且不會有明顯的變化。(但你還是不確定
下一次出甚麼)
基本名詞
• 與隨機實驗有關的基本概念包括基本出象(elementary
outcome)、樣本空間(sample space)及事件(event)。
• 基本出象-隨機實驗的每個可能的結果稱為基本出象，又
稱為樣本點。擲銅板有兩個基本出象，即「正面」與「反
面」。
• 樣本空間-隨機實驗中，所有可能出象的集合稱為樣本空
間，通常以英文大寫字母S表示之。擲2次銅板的樣本空間
包括「正正」、「正反」 、「反正」與 「反反」 。
打香腸樣本空間
• 傳統的香腸攤子目前在都市裡雖已經少見，但在純樸的鄉
鎮仍偶爾可看到。打香腸的玩法是擲3粒骰子比點數的大
或小。3粒骰子擲入碗中，其可能的基本出象為，
(111),(112)，…，(666)，根據乘數定理有6x6x6=216個
可能結果，其中的任何一個都是樣本點，全體合起來就稱
為樣本空間。
• 但通常比的都是3粒骰子的點數和，從3,4點一直到18點都
是可能的結果，其中任何一種點數都是一個樣本點，
3,4，…，18就稱為樣本空間，可以S={3,4，…，18｝表
示之。
事件
• 樣本空間的部份集合稱為事件。
• 事件有兩種：一種是簡單事件(simple event)；另
一種是複合事件(composite event）。
• 簡單事件-事件只包含一個基本出象者稱之。
• 複合事件-事件包含二個(含)以上基本出象者稱之。
• 例如擲一個骰子，令A為出現偶數點數者，則A為一
事件，表為A＝{2,4,6}，此為複合事件。令B為骰子
點數為「3」，表為B={3}，此為簡單事件。
• 令C為二個骰子點數和為「13」者，則C亦為一事件
但卻是一個空集合的簡單事件，因為二個骰子的點
數和不可能有為13的出象。
計算樣本點的法則
在計算隨機實驗可能出現的結果（樣本空間）時可利用下面的計算法則：
• 乘數定理
設一隨機實驗包含k個實驗E1，E2 ，…，En。，若每一實驗Ei有ni種結果，
i=l,2，…，k，則該隨機實驗有n1×n2×n3…×nk種可能結果。
• 排列(permutation)
自一個含有n個元素的集合中，一次抽取r個元素（或每抽取一個，抽出不放
回，連續抽取r個），則共有𝑃𝑟𝑛 個不同排列的樣本組，公式為：
𝑛!
𝑃𝑟𝑛 = 𝑛−𝑟 !=n*(n-1)*…*(n-r+1)
例:電腦開機密碼的設定
電腦為了保密，資訊室都會要求使用者都設有密碼。並且限定資安規則，現
要求密碼設定4個數字的長度，問有幾種方式可設定？若要求4個數字皆不相
同，則有幾種方式可設定？
Ans:
若無特殊要求，則根據乘數定理有10×10×10×10=10000種方式可設定。若要
求4個數字皆不相同，則共有𝑃410 個＝10×9×8×7=5,040種方式可設定。
計算樣本點的法則(續)
• 組合（combination)
自一個含有n個元素的集合中，一次抽取r個元素，若不考慮順
序，則共有
𝐶𝑟𝑛 個不同組合，其公式為：
n∗(n−1)∗…∗(n−r+1)
𝑛!
𝐶𝑟𝑛 =
=
𝑟!∗ 𝑛−𝑟 !
𝑟!
例: 6/38樂透彩中獎的組合
台灣的樂透彩頭獎為彩券號碼38個中選6個號碼。有多少種組
合可供選擇?
𝐶638 =
38!
=2760681種組合，一注50元，從頭到尾包牌要
6!∗ 38−6 !
花138034050元
HW2-1
• 前例的樂透彩每次開獎6碼加1特別號，式
計算基於上述號碼的頭獎、貳獎、參獎、
肆獎、普獎各有多少種組合?
三種機率理論
• 用理論來說明解釋機率，因機率是指事件發生可能性的大
小，機率論則是討論如何解釋事件的機率以及機率運算所
遵循的一些法則，藉此我們可以對不確定事件的發生做預
測及做出適切的決策。
• 解釋機率的理論主要有三種:
(1)古典的機率理論
(2)客觀的機率理論
(3)三個是主觀的機率理論。
古典的機率理論
又稱為先驗的機率理論(Prior Probability)，它是指若在某
一隨機實驗中，有N種互相排斥且同等可能出現的出象，則任
一出象E發生的機率，以P(E)表示為
1
𝑃 𝐸 =
𝑁
為何叫先驗?
這種機率理論源於賭博遊戲，我們都假定隨機實驗中，各種
可能的基本出象出現的機率完全相同。例如擲一枚銅板，如
果銅板無偏的話，則出現正面的機率與出現反面的機率相同，
皆為1/2。又如擲一枚骰子，各個樣本點1,2,3,4,5,6出現的機率
均相等，同為l/6。這兩種機率（l/2,1/6）在事前已經知道，
所以稱為先驗（先知）的機率。
案例
Ex:投擲一粒骰子，出現偶數（2,4,6）的機率是多少？
投擲一粒骰子有6個基本出象1,2,3,4,5,6，這6個基本出象有
同等的出現機率(1/6）。設A為骰子出現偶數的「事件」，則
事件A包含2,4,6三個「出象」，每一出象的機率均相等。根
據古典機率理論，事件A的機率為：
1 1 1 1
𝑃 𝐴 = + + =
6 6 6 2
古典的機率理論(續)
先驗的機率理論必須假定N種互相排斥且有同等可能出現的出
象。然而，在現實的社會中，很多事件的出現機率不能用先
驗的機率來解釋。例如:
明天下雨的機率為何？出象有(下,不下)，但這2個出象的機率各是1/2?
購買冷氣機其為瑕疵品的機率有多大？出象有(瑕疵,非瑕疵)，但這2個出
象的機率各是1/2?
職棒簽賭要壓兄弟象隊贏的機率有多大？出象有(贏,不贏,平手)，但這2
個出象的機率各是1/2?
因此，先驗機率論不能用來解釋某些事件出現的機率(用途很小)。
客觀的機率理論
• 客觀的機率理論又稱為相對次數的機率理論(relative
frequency Probability)，它係指在長期重複的隨機實驗中，
事件E發生的機率為出現該事件之次數與隨機實驗的總次數
之比。即
𝑛(𝐸)
P 𝐸 = lim
𝑛→∞ 𝑛
n(E）表示事件E出現的次數，n為隨機實驗的總次數。
• 客觀機率理論認為，機率是事件長期試行的相對次數比，此一理論是
認為經長期重複試行的隨機實驗後，事件的相對次數比會漸趨穩定，
而此一次數比即為該事件之機率。根據此一理論，機率係屬長期試行
的結果，因此，機率是客觀的或後天的。
案例
Ex:投擲一粒錢幣，出現正面的機率是多少？
上圖表示第一次擲出正面，故出現正面的機率為1，第二次擲出反面，故擲二次出現正面的
機率為l/2。接著第三次又擲出反面，故擲三次出現正面的機率為1/3，接著第四次擲出正面，
故擲四次出現正面的機率為2/4，接著第五次擲出正面，故擲五次出現正面的機率為3/5。此
後不斷的投擲，投擲的次數越多，出現正面的機率就會逐漸穩定下來，而趨近於1/2。這就
是所謂的大數法則。
大數法則
若某事件有既定的機率，而我們不斷的進行相同的實驗，則
該事件發生的次數比例會越來越接近這個既定的機率。
例:假設教育部長想知道小學生上網的比例，問如何得知？
教育部可進行「小學生上網問卷調查」，假設共調查3000個小學生，其中
2,452個學生會上網。設n表示隨機抽取而接受調查的小學生（n夠大），
n(E)表示n中曾上網的學生。則依據客觀的機率理論，台灣小學生上網的
比例為：
2452
3000
P(上網的小學生)=
= 0.82
實際上人們不太可能（很少有機會）重複觀察到同一個事件無數次，以致
於能夠觀察出該事件長期的有規則的模式，所以，相對次數的機率理論有
一個缺點，就是，如果隨機實驗不能長期重複試行，則不能依此種機率理
論求得其發生的機率。
主觀的機率理論
• 主觀的機率論是指事件發生的機率決定於人們對發生此事
件的相信程度。即
P 𝐸 =[對事件E發生的信心]
• 主觀機率理論認為人們對某事件發生的信心或信賴度，即為該事件之
機率。
例如:總統大選老英與小英各候選人當選的「可能性」（機率）為何？今
年新春開紅盤的機率為何？
上述2個例子，在結果到來的前一天止，都是尚未發生的事件，既無法以
古典的機率來表示(老英上/不上2個出象，P=1/2)，又不能以客觀的機率來
說明(對無數個投票者調查)，那只好利用主觀的機率了，此時個人以其所
獲得的不完全的資訊，對未來事件做估計或預測。
主觀的機率理論(續)
• 主觀機率是人類用推理方式建構出來的機率分配。
• 例如擲骰子，大家認為形狀方正無偏的骰子，每一面出現的機率沒有
不相等的理由，從而認定每一面出現的機率皆為1/6。然而真正擲骰子
真的每一面出現的機率卻也都不相等?
• 又如生男生女，由於細胞分裂後男性精子中帶Y染色體與帶X染色體的
照理說數量相等，所以看來生男生女的機率應該是各l/2。可是事實是
如此嗎？
• 擲骰子各面機率是否相等，需要經過大量的實驗才會知道，而嬰兒性
別統計的實際情況其實不是男女各半，根據統計，根據科學統計，男
嬰與女嬰的比率約為106比100，生男生的機會其實要高些。
3個機率理論比較
• 比較這三個機率理論可知，就先驗的機率而言，若事件的
出象不是同等可能時，則不能求得機率。在相對次數的機
率方面，若事件不能實驗，則亦不能求得機率。主觀的機
率因無客觀的標準，因此，經常因主觀認知的差異而發生
爭議，但其所以被接受，並不斷的擴大其使用範圍，係因
有些事件既無法實驗，又非先驗的，因此對其發生機率的
估計，只好依主觀來認定了。恰巧總是有人喜歡自己去預
測各種事件發生的可能性的大小，也正因為各個人主觀的
機率不一樣，所以才會有各種爭議與競爭。而競爭的結果，
不是成功就是失敗。成功的人是因為他的預測準確，而預
測不準的人當然就要失敗了。像現代的各種選舉，總是有
許多人自認為能夠當選而出來競選，結果敗選；又例如許
多人預測進行某項事業會成功，結果失敗，這些都是因為
主觀機率與客觀機率不一致所造成的結果。
機率的公理論體系
• 不論哪種機率理論，機率都必須滿足一些規則才合乎機率的性質，
才能進行後續機率的演算。拋開機率的理論解釋，純粹由機率的
性質及其演算去定義機率，我們稱之為機率的公理體系。
• 在一個隨機實驗中，設其樣本空間為S，對應於S中任一事件Ei，
給予一實數值，表為P(Ei)，若P(Ei)滿足下列三條件，則稱P(Ei)
為機率。
機率的三個公理
1. 0 ≤ 𝑃(𝐸𝑖 ) ≤ 1 ， 𝐸𝑖 ∈ 𝑆
2. 𝑃 𝐸1 ∪ 𝐸2 ∪ ⋯ ∪ 𝐸𝑛 = 𝑃 𝐸1 + 𝑃 𝐸2 +…+ 𝑃 𝐸𝑛 ， 𝐸1 、𝐸2 為互斥事件。
3. 𝑃 𝑆 =1
以上稱為機率的三個公理（axiom），指出若P(Ei)滿足上述三公理，無論
機率係屬相對次數比、先驗機率或主觀機率，則P(Ei)為一定義在樣本空間
的機率函數。
案例-無偏銅板的”機率”
擲一枚銅板的隨機實驗，其樣本空間為{正面，反面}，因此，依照
機率的三公理，對應樣本空間的任何一事件(正面或反面)均有一實
數值與之對應，如P(E1=正面)=l/2，P(E2=反面)=l/2，且滿足下列機
率的三個公理
1. 0 ≤ 𝑃(𝐸𝑖 ) ≤ 1 ，i=1,2 因0 ≤ 1/2 ≤ 1
2. 𝑃 𝐸1 ∪ 𝐸2 = 𝑃 𝐸1 +𝑃 𝐸2 =
1
2
1
+
2
=1
3. 𝑃 𝑆 =1 因S=𝐸1 ∪ 𝐸2
• 由上可知，它們符合機率的公理體系，故稱為機率。
事件機率
事件的機率
可分為：一個事件發生的機率、二個事件發生的機率、及多
個事件同時發生的機率。一個事件發生的機率稱為事件機率，
二個或二個以上事件同時發生的機率稱為聯合機率（joint
probability)，在探討聯合機率時，因涉及二個事件以上，故可
同時探討邊際機率（marginal probability）及條件機率
（Conditional probability)。
事件機率是事件基本出象機率的總和，定義如下:
設事件A定義於隨機實驗的樣本空間，其發生機率P(A)為事件
A的基本出象的機率總和，即：
P(A)=ΣP(Ei) Ei ∈ A
案例-打香腸贏的”機率”
假設你現在正在跟老闆對賭打香腸，且以點數大的為贏，將
這事件稱為~勝利。現老闆已擲出16點，勝利的機率?
想贏，只有擲出17點或18點。擲到17點的組合{(5,6,6)、(6,5,6)、
(6,6,5)}，18點唯有{(6,6,6)}才行。一個骰子有6面，3個骰子的
樣本空間共有6×6×6==216個樣本點。如果骰子無偏，出現任
何一面的機率均相等，每一樣本點出現的機率均為1/216。
由上可知，要得到17點或18點的組合共4種，所以出現17點或
18點的機率為4x(1/216）=1/54，這就是勝利事件實現的機率，
也就是說想賭贏老闆的機率是1/54。
1
P(勝利)=ΣP(
216
1
1
1
1
+ + + )=
216 216 216
54
聯合機率
定義如下：
事件A、B同時發生的機率可表示為：P(A∩B)或P(A,B)
A、B均為定義於樣本空間S的事件。P(A ∩ B）是”A集合與B
集合的交集”之基本出象(樣本點)的機率總和，亦即同時發生A
事件與B事件的機率為聯合機率。即：
P(A ∩ B)＝ Σ P(Ei) ， Ei=A ∩ B
設有樣本空間S，依A類別分割為A1與A2的互斥空間；依B類
別分割為B1與B2的互斥空間，則S可分割為2×2個互斥空間，
可得一聯合次數分配表，如下，根據此一樣本空間更可得聯
合機率分配表。
A/B
B1
B2
A1
A1 ∩ B1
A1 ∩ B2
A2
A2 ∩ B1
A2 ∩ B2
聯合機率-前置練習
聯集 A ∪ B
交集 A ∩ B
A
B
A
Ex:若A、B為兩事件，下列敘述何者為真？
(a) P(A ∩ B)<P(B)
(b) 若P(A ∩ B)<P(B)<l，則P(A|B)>P(A ∩ B)
(c) 若A ∩ B=ϕ，則P(A|B)>P(A ∩ B)
Sol: (a) 這式子成立只有在A、B不完全重疊時才成立
P(A∩B)
(b) P(A|B) =
> P(A∩B)
P(B)
(c) A ∩ B是空集合，所以P(A ∩ B)=0
B
聯合機率(續)
聯合機率分配表
A/B
B1
B2
A1
P(A1 ∩ B1)
P(A1 ∩ B2)
A2
P(A2 ∩ B1)
P(A2 ∩ B2)
案例
Ex:某工廠零件的品質與模具的狀況
假設某零件製造廠想要提高其汽車煞車片的良率，於是進行
更嚴密的品質管制。結果發現煞車片的品質可能與模具狀況
的好壞有關。為了確認兩者的關係，品管人員搜集了450個產
品，檢驗模具的狀況與煞車片的品質，檢查結果如下表所示。
試問模具狀況佳與煞車片為良品的機率為何？
狀況表
A/B
模具
A
狀況佳A1
狀況差A2
合計
煞車片B
良品B1
瑕疵品B2
320
14
334
80
36
116
合計
400
50
450
案例(續)
解:根據機率的運算法則計算可得良品與模具狀況好壞的機率
為：
P(模具狀況佳，煞車片良品)=P(A1 ∩ B1)=320/450=0.71
P(模具狀況差，煞車片良品)=P(A2 ∩ B1)=14/450=0.03
同理可得，瑕疵品與模具狀況好壞的機率，結果可得聯合機
率，如下表所示。因此可知，模具狀況佳產品為良品的比例
較高。
狀況表
合計
良品B1
瑕疵品B2
狀況佳A1
P(A1∩B1)=0.71
P(A1∩B2)=0.18
P(A1)=0.89
狀況差A2
P(A2∩B1)=0.03
P(A2∩B2)=0.08
P(A2)=0.11
P(B1)=0.74
P(B2)=0.26
1.00
A/B
模具
A
煞車片B
合計
案例(續)
汽車煞車片的品質與模具狀況的結果可以樹枝圖來表示
邊際機率
邊際機率的定義
在二個或二個以上類別的樣本空間中，若僅考慮某一類別個
別發生的機率者稱為邊際機率。意即，在聯合機率表中，垂
直相加或平行相加所得的機率稱為邊際機率。
以前面那題說明垂直加總與平行加總。
Ex:汽車墊片良品與瑕疵品的機率各為何？
狀況表
合計
良品B1
瑕疵品B2
狀況佳A1
P(A1∩B1)=0.71
P(A1∩B2)=0.18
P(A1)=0.89
狀況差A2
P(A2∩B1)=0.03
P(A2∩B2)=0.08
P(A2)=0.11
P(B1)=0.74
P(B2)=0.26
1.00
A/B
模具
A
煞車片B
合計
條件機率
定義如下:
令A、B為定義於樣本空間的事件，事件A的條件機率是在先
發生B的條件下，再發生A的機率，稱之，可表示為：
P(A∩B)
P(A|B)=
P(B)
反之，事件B的條件機率是在先發生A的條件下，再發生B的
機率，可表示為
P(A∩B)
P(B|A)=
P(𝐴)
條件機率(續)
Ex:前題模具狀況與產品品質的關係
問在模具狀況佳或狀況差的條件下，良品與瑕疵品的機率各
為何？
Ans:
P(良品|狀況佳)是在先發生模具狀況佳的條件下，再發生良品的機率
P(A1∩B1) 0.71
P(良品|狀況佳)=P(B1|A1)=
=
= 0.8
P(A1) 0.89
P(良品|狀況差)是在先發生模具狀況佳的條件下，再發生良品的機率
P(A2∩B1) 0.03
P(良品|狀況差)=P(B1|A2)=
=
= 0.27
P(A2) 0.11
由該條件機率可推論在模具狀況佳的條件下，產品為良品的機率為80%，
產品為瑕疵品的機率為20%；但在模具狀況差的條件下，產品為良品的機
率為27%，而瑕疵品的機率為73%。
事件的性質與事件機率的運算
• 事件的性質與關係
一個事件依其與其他事件的關係可區分為獨立事件
(independent event)、相依事件(dependent event)及互斥事件
(mutually exclusive event)三種。
• 獨立事件
獨立事件係指各事件間發生的機率互不相關，即一事件Ａ的
發生不影響其他事件Ｂ發生的機率，則稱為Ａ、Ｂ兩事件獨
立。數學定義如下：
若A、B符合下列任一條件，則A、B獨立
1. P(A|B) = 𝑃(A)
A的條件機率等於其邊際機率
2. P(B|A) = 𝑃(𝐵)
B的條件機率等於其邊際機率
3. P(A∩B) = 𝑃(A)*𝑃(𝐵) A與B同時發生的機率等於A發生機率與B發生機率的乘積。
三條件中若任一條件成立，則其他二條件必定成立
案例
Ex:體重控制方法之間是否有關係？
為瞭解體重過重的國中生控制體再的情形，調查了351位體重
過重的國中生，結果發現沒有任何體重控制行為的佔23.9%，
而有控制行為者佔76.1％。有控制行為者採飲食控制的佔
98.5%，採運動控制的佔74.9%，兩種控制方法都採用的佔
73.8％。試問這兩種體重控制方法之問是否有關？
Sol:
設A表採飲食控制，B表運動控制，已知P(A∩B)=0.738，且知：
P(A)*P(B)=0.985*0.749=0.738
因此可得：
P(A∩B)=P(A)*P(B)=0.738
由上知P(A∩B)=P(A)*P(B)，因此可知，兩種體重控制方法獨立無關。
事件的性質與事件機率的運算(續)
• 相依事件
二事件獨立的三條件中，若有一條件不成立，則事件A、事
件B為相依事件，或稱為從屬事件，相依事件係指一事件的
發生會影響其他事件發生的機率。
Ex:自52張撲克牌中抽取2張脾。設事件A為抽取的第1張牌為老K，事
件B為抽取的第2張牌為老K。問A,B二事件的相互關係為何？又若
自撲克牌中以抽出放回的方式抽取2張，則A,B事件關係又為何？
Sol:先求事件A與事件B的機率，然後再求事件A發生後再發生事件B
的機率。若條件機率等於邊際機率，則兩事件為獨立，若不相等，
則不獨立。
(1)抽取2張抽出不放回
4
P(A)=
52
=
1
13
4
3
48
4
1
P(B)=52
∗ + ∗ =
51
52 51
13
案例(續)
P(A∩B)
P(B|A)=
=
P(A)
4 3
∗
52 51
4
52
=
3
51
=
1
17
故P(B|A)≠P(B)
P(B|A)=l/17是因當抽出不放回時，第2張牌出現老K的機率受第1張
為老K影響。因此事件A、事件B不獨立。
(1)抽取第1張後放回，再抽出第2張
4
P(A)=
52
=
1
13
4
P(B)=52
=
1
13
4
P(B|A)=
52
=
1
13
因當抽出後放回，第2張牌出現老K的機率不受第1張為老K影響。
因此事件A、事件B獨立。
事件的性質與事件機率的運算(續)
• 互斥事件
不會同時發生的事件稱為互斥事件·亦即若事件之交集為空集
合(事件沒有共同的樣本點)者，為互斥事件，否則為非互斥
事件。
Ex:自52張撲克牌中抽取2張脾。設事件A為出現老K，事件B為出現
「 J、Q、K 」，事件C為出現A 。問A、B、C是否為互斥事件？
Sol:先求事件A與事件B的機率，然後再求事件A發生後再發生事件B
的機率。若條件機率等於邊際機率，則兩事件為獨立，若不相等，
則不獨立。
因P(A∩B) =
4
52
≠ 0，所以A、B不互斥
因P(A∩C) = 0，所以A、C互斥
因P(B∩C) = 0，所以B、C互斥
事件機率的運算法則
• 事件機率還有幾個定理
(1)餘集合的機率:設A為某一事件，則其餘集合A發生的機率為：
P(A)=l-P(A)
(2)加法定理:兩事件聯集的機率為：
P(A ∪ B)=P(A)+P(B)-P(A∩B)
如果A、B互斥
P(A ∪ B)=P(A)+P(B)
A
B
A
B
(3)乘法定理:二事件交集的機率為：
P(A ∩ B)=P(B)·P(A|B)
如果A、B獨立 ( P(A|B)=P(A)·P(B)，則P(A ∩ B)=P(A)·P(B)
上式指出A、B兩事件交集(A∩B)的機率(A與B同時發生的機率)等於B
發生的機率再乘上A的條件機率（先B發生後再發生A的機率）。
案例1
Ex:企業校園徵才的條件
許多大學校園會舉辦就業博覽會，但到底企業招人時最重視哪些條件？這
是大學生非常關心的問題。調查結果顯示，54％重視溝通能力】79％重視
團隊精神，48％兩者皆重視。令：
事件A：重視溝通能力
事件B：重視團隊精神
試求企業至少重視一種條件的機率。
Sol:
企業重視溝通能力的機率為P(A)=0.54，重視團隊精神的機率為P(B)=0.79，
兩種都重視的機率為P(A ∩ B)=0.48。至少重視一種條件的機率為
P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(A ∩ B)=0.54+0.79-0.48=0.85
看了上面的統計結果，同學們應該知道必須具備什麼樣的條件方可順力謀
職吧。
案例2
Ex:子承父業
在現在的社會中，若父親從事的是傳統產業，孩子往往不願繼承父業。據
調查，若父親從事農林漁牧業，其孩子亦從事農林漁牧業的機率為0.22；
若父親不從事農林漁牧業，其孩子亦不從事農林漁牧業的機率為0.98。已
知所有接受調查的人員中，其父親從事農林漁牧業的佔0.38，不從事農林
漁牧業的佔0.62。現在隨機抽取一人，求其從事農林漁牧業的機率。
Sol:
令：A1表示父親從事農林漁牧業，A2為表示父親不從事農林漁牧業( A1與
A2為分割集合)，則P(A1)=0.38，P(A2)=0.62。
令：B表示某人從事農林漁牧業。由題意知：
P(孩子從事農林漁牧業|父親從事農林漁牧業)=P(B|A1)＝0.22
P(孩子不從事農林漁牧業|父親不從事農林漁牧業)=P(B|A1)＝0.98
故隨機抽取一人，求其從事農林漁牧業的機率
P(B)=P(A1)+P(B|A1)-P(A2)·P(B|A2)=0.38*0.22+0.62+0.02=0.096
上式P(B|A2)=1-P(B|A2)=1-0.98=0.02
HW2-2
Part 1 : 調查大學入學甄試審查是否有性別歧視？
某大學今年有700位高中應屆畢業生申請參加電機學院及文學院的入學甄
試。甄試結果如下：
甄試結果
性別
A
合計
錄取B1
不錄取B2
男生A1
175
225
400
女生A2
100
200
300
275
425
700
合計
根據該結果，有家長認為女生的錄取率偏低，有性別歧視之嫌，試問真有
性別歧視嗎？
HW2-2
Part 2 : 又，納入各學院錄取的詳細資料，不同學院是否有性別歧視嗎？
電機學院
甄試結果
男
女
錄取
150
50
不錄取
150
合計
300
文學院
甄試結果
男
女
錄取
25
50
50
不錄取
75
150
100
合計
100
200