Transcript 排列、組合

排列、組合、機率
1.相異物排列法
2.相同物排列法
3.取法
4.取&排法
5.取量法
6.二項式定理
7.機率
8.獨立事件
9.貝士定理
1.相異物排列法： 3人排一列 = 3!
A
(1)
(2)
(3)
排列方式
B
C
3種
×
B
C
A
C
A
B
2種
×
C
B
C
A
B
A
1種
ABC
ACB
BAC
BCA
CAB
CBA
相異物排列法
• 定義：n!=n(n-1)(n-2)…×1
0!=1，沒有(-1)!
• A、B、C、D四人排一列，請畫出其樹狀圖
• 範例：
• 練習：
2.相同物排列法：
4!
2個A、1個B 、1個C排列 = 2!
視
為
不
同

相
同
物
排
列
AaBC
AaCB
ABaC
ABCa
ACaB
ACBa
aABC
aACB
aBAC
aBCA
aCAB
aCBA
BAaC
BACa
BaAC
BaCA
BCAa
BCaA
CAaB
CABa
CaAB
CaBA
CBAa
CBaA
AABC
AACB
ABAC
ABCA
ACAB
ACBA
AABC
AACB
ABAC
ABCA
ACAB
ACBA
BAAC
BACA
BAAC
BACA
BCAA
BCAA
CAAB
CABA
CAAB
CABA
CBAA
CBAA

Aa的
排列應
為相同
相同物排列法(範例2)： 4!
2個A、2個B 排列 = 2!2!
視
為
不
同

相
同
物
排
列
AaBb
AabB
ABab
ABba
AbaB
AbBa
AABB
AABB
ABAB
ABBA
ABAB
ABBA
aABb
aAbB
aBAb
aBbA
abAB
abBA
AABB
AABB
ABAB
ABBA
ABAB
ABBA
BAab
BAba
BaAb
BabA
BbAa
BbaA
BAAB
BABA
BAAB
BABA
BBAA
BBAA
bAaB
bABa
baAB
baBA
bBAa
bBaA

Aa的
排列應
為相同
Bb的
BAAB 排列應
BABA 為相同
BAAB
BABA
BBAA
BBAA
相同物排列法：
• 3個A、2個B 排列
 先視為5個不同物排列=5!
 3個不同A的排列= 3!
 每3!個視為1個
 2個不同B的排列= 2!
 每2!個視為1個
5!
3!2!
相同物排列法：
• 3個A、1個B排列，請先以Aa@B進行排列，
再將Aa@視為相同的刪除
• 範例：
• 練習：
3.取法：3個不同的東西取2個 = C
3
2
A
(1)
(2)
取法
B
B
C
A
3種
×
C
C
A
B
2種
AB AC BA BC CA CB
AB:先取A再取B、 BA:先取B再取A
AB的排列視為同一種取法
得
3 2
=
2!
3
2
C
取法
n(n  1)(n  2)  ...  (n  m  1)
n!

• 定義：C 
m  ...2  1
m!(n  m)!
n
m
• 由A、B、C、D中取3個，請畫出其樹狀圖，並標
示那些情形是取出ABC
• 範例：
• 練習：
4.取&排法：3個不同的東西
3
取2個出來排列 = C2  2!
=
A
(1)
(2)
取法
B
B
C
A
AB AC BA
3種
×
C
C
A
B
BC CA CB

AB AC BC
2種
= 3× 2
3 2
= 2!

AB BA AC CA BC CB = 3× 2
3
2
P
取&排法
n!
n!
• 定義： P  C  m! 
 m! 
m!(n  m)!
(n  m)!
n
m
n
m
• 由A、B、C、D中取2個出來排列，請寫出所有排列
• 範例：
• 練習：
5.取量法：3個相同的東西
2
由2人去取
= H3
甲
=
乙
×
×
x≧0, y ≧0 , x,y是整數, x+y=3
甲
乙
3
0
2
1
1
2
0
3

H
2
3
231
3
C
取量法
3個相同的東西由2人去取
3個蘋果用1個隔板分出2個區域，
每個區域代表一個人取得的量
(若是n個人就得用n-1個隔板)
3個A、1個B排列

(2-1)
6.二項式定理
( x  y) =(x+y)(x+y)(x+y)
3
=(xx+xy+yx+yy)(x+y)
=xxx+xxy+xyx+xyy+yxx+yxy+yyx+yyy
 xxx項是第1個括號的x、第2個的x、第3個的x相乘
每一項都是由3個括號中各取一個項出來相乘的結果
(每一個括號都要取)
 x3  3x 2 y  3xy2  y 3

(x+y)
(x+y)
(x+y)
xyy
取x
取y
取y
yxy
取y
取x
取y
yyx
取y
取y
取x
二項式定理
• 公式：
( x  y)n  C0n xn y0  C1n xn1 y1  C2n xn2 y 2  ... Cnn1x1 y n1  Cnn x0 y n
 Cnn xn y 0  Cnn1xn1 y1  Cnn2 xn2 y 2  ... C1n x1 y n1  C0n x0 y n
• 以二項式定理寫出 ( x  y) 的展開式，並列 x y
項所有可能的取法
• 範例：
• 練習：
5
2
3
7.機率
A事件發生的機率=p(A)=
A事件發生的狀況
所有可能的狀況(樣本空間)
n( A)

n( S )
S
A
機率
 袋中有3顆紅球、 4顆白球，隨機取一顆，抽中紅
球的機率
樣本空間 = 抽一球 =
事件 = 抽中紅球 =
7
1
3
1
C
C
 袋中有3顆紅球、 4顆白球，隨機取兩顆，抽中兩
顆紅球的機率
樣本空間 = 抽兩球 = C
事件 = 抽中兩顆紅球 =
7
2
C
3
2
7.條件機率
在A事件發生的情況下，B事件會發生的機率
p( B  A)
=p(B｜A) 
p( A)
S
A
B
n( B  A)

n( A)
7.條件機率
 袋中有3顆紅球、 4顆白球，每次取1顆，取出不放
回，取2次，
 若第1次抽中紅球，求第2次抽中白球的機率
(條件機率， p(B｜A) )
 求第1次抽中紅球、第2次抽中白球的機率
(p(B∩A) )
 A事件的機率=第1次抽中紅球(第2次不限) 的機率
=p(A)= 3
1
7
 B事件的機率=第2次抽中白球(第1次不限)的機率
=p(B)= 3 4 4 3
  
7 6 7 6
條件機率
 若第1次抽中紅球，求第2次抽中白球的機率
p(B｜A) = p( B  A) 3  4
p ( A)
7 6
3
7
直接由第1次抽中紅球後的狀況下求解：
袋中尚有2顆紅球、4顆白球，抽中1顆白球的機率
= 4
6
 p(A∩B)=第1次抽中紅球、第2次抽中白球的機率
= 3 4 = 的解
7

6
S
A
B
8.獨立事件
某人擲一顆骰子兩次，
A事件是第一次出現1點，B事件是第二次出現6點，
 A和B是獨立事件，即互不影響的兩件事，
這兩件事要同時發生的機率是兩個機率相乘，
即p(B∩A) = p(A) × p(B) 。
承上，A事件是第一次出現1點，C事件是第一次出現6點，
某人擲一顆骰子不可能使A和C同時發生，
若A發生則C就不會發生，所以不是獨立事件(互有影響)。
 p(B∩A) = 0 ≠ p(A) × p(B) (屬於互斥事件)。
C23  2!
C23  2!
補充1.
重覆排列
 2個杯倒入3種酒，不能混酒、不能空杯
正確做法
(1)
(2)
方式
A
A
AA
B
B
C
A
B
C
A
AB AC BA BB BC CA
酒沒全用上
3種
×
C
B
C
CB CA
第1個杯子裝A酒、第2個杯子裝C酒
3種
重覆排列
 2個杯倒入3種酒，不能混酒、不能空杯
錯誤做法
(B)
(C)
方式
2
1
(A)
1
1
111
1
2
2
1
2
1
2
2
1
2
2種
×
2種
×
2種
混酒且空杯
112 121 122 211 212 221 222
A酒倒入第1個杯子、B酒倒入第
2個杯子、C酒倒入第1個杯子 混酒
重覆排列
 2個杯倒入3種酒，不能空杯、酒全用、可混酒
酒A
杯1
酒B
杯1
酒C
杯1
杯2
杯2
杯2
2種
×
2種
×
2種
杯2
是
空
杯
方法有111、112、121、122、…、222，
112是A酒倒入第1個杯子、
其中只有111、222，
B酒倒入第1個杯子、
雖用到全部的酒，
C酒倒入第2個杯子
所以答案是 2×2×2-2
但有空杯