Transcript A novel method for analytically solving multi

分析多種類移流延散溶質傳輸方程式與一階衰減反應連續連結的新方法
指導教授:謝平城
授課教授:詹勳全
報告學生:黃靖倫
Journal of Hydrology 420–421 (2012) 191–204
Jui-Sheng Chen a, Keng-Hsin Lai a, Chen-Wuing Liu b,
Chuen-Fa Ni a
參數定
義
前言
介紹
控制方
程
結果與
討論
結論
Number of terms summed for infinite series expansion of the generalized integral
transform inverse
對於此方程式的研究並不容易，而針對地下水資料相對較少，分解方
法如線性轉換或矩陣對角化已被廣泛的運用，然而大都僅侷限於無窮域或
單無窮域，而此研究呈現一新方法廣義積分轉換法，首先執行拉普拉斯轉
換法對時間進行轉換，再進行廣義積分轉換法對空間進行轉換，將偏微分
方程式轉換成數值，再藉由其逆轉換的連續運用，發現其分析結果與數值
解完美一致，此外被發展的分析解與單無窮域相互比較是可用的。
值得注意的是兩個解在Pe值較小的時候不一致，而其可被忽略。
 分析單種類解的轉換，已被用來預測放射性核種、加
氯消毒過的溶劑、氮污染，等汙染之衰減鍊。
Van Geunchten et al.(1982)
Batu(1989,1993,1996)
Leij et al(1991,1993)
Park and Zhan(2001)
Chen et al(2008)
Ehan et al(2009)
Cho(1971)
首創multi-species advective–dispersive transport
equation來描述其結果並使用Laplace轉換了三種類氮
的衰減鍊
Van Geunchten et al.(1985) 使用Laplace轉換解決四種類的衰減鍊
Lunnet al(1996)
使用Fourier轉換得到與Cho(1971)相同的結果
Sun et al(1999),
Sun and Clement(1999)
介紹一轉換法來減低震波、設立P.D.E.此時衰減常數
為相同
Bauer et al(2001)
呈現一種衰減常數可為不同的方法解multi-species
advective–dispersive transport equation
Clement(2001)
利用矩陣法分析問題，因衰減常數於每個種類不同而
失敗，但證明Sun et al(1999)的解析方法
Quezada et al(2004)
結合Laplace轉換和multi-species advective–dispersive
transport equation的解法於不同類型的衰減長數。
Srinivasan and Clement
(2008)
發展closed-form分析方法，對於連續的衰減問題伴
隨著多變的數字種類需經指數性衰減的Bateman-type
source 邊界和空間變化的初值條件
Perez Guerrero et al(2009,2010) 發展了廣義積分法來解決multi-species
advective–dispersive transport equation於輸入
時的時間變化，邊界條件在有限的空間域並結合
了Sun et al(1999)的轉換法，在他們的結論展示
了遞迴關係式，但沒有詳盡地表達。
上述方法由Laplace轉換和Fourier轉換侷限在解一維分析，且大部分用於解決
無窮域或單無窮域。
在此論文連續運用Laplace轉換和廣義積分轉換來移除時間和空間產生的問題，
並將其轉換成P.D.E.系統形成數值方程，藉由簡單的數學操作來獲得每個種類下的
轉換域，最終將所有不同之結果利用逆轉換還原成原時間域。
此方法能克服舊方法侷限的問題並解決連結反應之轉換問題，操作起來較其他
方法簡單，且在輸出的邊界相較無窮域和單無窮域在處理更複雜的分析模型上能更
靈活的使用。
Initial condition
Boundary condition
In Boundary Value Problems of Heat
Conduction p.9
說明當污染擴散或熱傳導時，其邊
界條件於Boundary surface會產生左
方之變化值等於右方之值的特殊物
理特性
 在進行廣義積分法操作時需將方程式整理成Sturn-
Liouville的型式
1. B.C為regular B.C
2. B.C為periodic B.C
3. B.C為singular B.C
eigenfunction
eigenequation
將原方程式乘以
作積分轉換得
接著就是方程式的整理和參數假設，最終將方程式作逆轉換成時間域
1st species
2nd species
3rd species
4th species
 下列討論分三種變化來分析
驗證結果
輸出邊界條件的影響
轉換參數的影響
推論出四個種類的結果以無窮級數成現可直接被運用，大部分情況下數字合在計
算正確結果的無窮級數扮演一個關鍵性的角色。
模擬Bauer et al.(2001)的結論，設立參數 (Table 1.)
首先須找出各種類C(X,T)的收斂區間
Pe=1
C1收斂於25、5000、250000
Pe=10
C2收斂於25、700、200000
C3收斂於10、120、5000
Pe=40
C4收斂於5、80、100
數值的分散可由fine grid mesh
排除，所以需先將其作處理。
Ngrid=
1701時
C1收斂
1501時
C2收斂
35001時
C3收斂
35001時
C4收斂
由Pe=60 , t=7500時，Fig. 1.上其結果指出濃度於不同種類(C(X,T))的預測幾乎相同，
可知Van Geunchten et al.(1985)可預測和有限區間相同的結果於較大的Pe值
 輸出邊界於單種類之解已被分析過
(Van Geunchten et al.(1985))其有限域結果高於單無窮
域當(small Pe number & large time)，然而在large Pe
number 時期單種類轉換之影響可被忽略
Fig 2(a)
Fig2(c)
圖中明顯的指出兩個不同在small Pe(Fig 2(a))&large Pe(Fig2(b))時當Pe值升高時，
期兩個解會變得更小，而且在任意Pe時，C1濃度較高，C3、C4濃度較低。
Fig 3(a)
Fig 3(c)
曲線結果說明了輸出邊界具有意義的影響，當Pe值較小的和觀察點接近輸出
邊界的時候。
衰減長數為0.0007~0.00035(/day)
C1會升高
C2、C3、C4則會降低。
孔隙流體速度V=1~1.5(m/day)
說明C2、C3、C4具較高穩定濃度
C1則較低。
所以C1衰減速度較快。
廣義積分轉換法解析具許多優點
1. 數值方程可以容易地被操作並解析
2. 由Laplace轉換和廣義積分轉換可直接得到時間域的
答案
3. 證明出有限空間域之解析
4. 分析解獲得的正確性可以由比較結果來證明並預測
數值解
5. 有限域和單無窮域的相互比較說明了輸出邊界條件
的影響
6. 發展有限域用於確認數值解的正確性特別有用，因
為現實條件中大部分情況為有限域。
The End