Transcript 如何學好數學？
黃駿耀老師 2014.04 擔心段考成績單寄回家… 選科系要選不採計數學的… 及格好難… 百分之八十的內容可能長大後用不到 沒辦法，學測指考要考… 還為了什麼…？ 測試能耐 隨意挑個單元 把課本蓋起來 拿張白紙，把你知道的東西寫下來 有把握寫出幾成？ 看到題目我才會算 我只會算我寫過的題目 我很認真寫講義，可是錯很多，很沒成就感 國中數學不好，高中也不用努力（反正沒救） 題目算不夠多，公式、特殊技巧背不夠多 管他是什麼，會做題目就好 不夠聰明 上課專心聽講，抄筆記。（而且很整齊） 回家先讀筆記、背公式。 然後將老師教過的再看一次，或照筆記再算一次。 當然也要寫講義，遇到不會的題目就看解答，並且 做記號。 讀數學，有點像在讀小說，又有點像在料理： 1.這是什麼？ 2.有什麼相關性質？ 3.可以怎麼用？ 4.與其他單元的結合？ 接觸新單元，先注意「定義」 ◦ 學到公式、定理 ◦ 比較、融合，形成「解題策略」 ◦ 內化為數學內容知識 這當中都應該修正、延伸， 做題目只是輔助過程。 學習數學需要20％的記憶與 80％的理解。 說不用背的是騙肖， 要背一大堆的也不 夠高明 需要不斷的思考 ◦ 每節課結束後都該回想：今天學到什麼「內容」？ ◦ 題目是永遠做不完的，但是概念是有限的。 ◦ 只記題型，反而會使概念越來越薄弱。 數學內容環環相扣 ◦ 障礙，會累積。 ◦ 學測指考很愛出綜合題。 定義：有直觀型的定義，也有數學化的定義 ◦ 數學定義「非常明確」。 ◦ 舉更多例子來觀察、說服自己相信。 定義分為主要部分與附帶條件（或者限制）。 ◦ ◦ ◦ ◦ 例如： 橢圓的定義 向量 平面方程式 不算定義的數學性質 三一律、 背得少，背得巧： ◦ 就像工具箱！ 要背的公式： ◦ 經常用到的、能省略大篇幅運算的、容易記得 要深入理解的定理： ◦ 有什麼條件？有什麼結論？ ◦ 要怎麼使用？ ◦ 是否有其他定理和這個定理有關？ ◦ 不要太相信補習班給的補充公式！除非以後要念數學系… 例1：實係數二次多項方程式的公式解 ◦ 相關定理：分解、根與係數關係、根的判別、不等式的處 理… 例2：餘弦定理 ◦ 相關定理：畢氏定理、正弦定理、三角形面積、… 例3：虛根成對定理 ◦ 相關定理：代數基本定理、勘根定理、… 怎麼背？ ◦ ◦ ◦ ◦ 看懂它、多練習幾遍 類似公式一起背 用一個公式去推其他的公式 用數字舉例、用圖形幫助記憶 向量應用、圓錐曲線、三角形、求面積等幾何問題 半角公式： 𝜃 2 ◦ cos = ± 1+𝑐𝑜𝑠𝜃 𝜃 , sin 2 2 =± 1−𝑐𝑜𝑠𝜃 2 二次式化二倍角（就是二倍角公式） 2 ◦ 𝑐𝑜𝑠 𝜃 = 1+𝑐𝑜𝑠2𝜃 1−𝑐𝑜𝑠2𝜃 2 , 𝑠𝑖𝑛 𝜃 = 2 2 tanα+tanβ ◦ tan α + β = ◦ tan 1−tanα×tanβ tanα−tanβ α−β = 1+tanα×tanβ 2tanθ ◦ tan2θ = 1−𝑡𝑎𝑛2 𝜃 𝛼 2 + 𝛽2 = 𝛼 + 𝛽 2 − 2𝛼𝛽 𝛼 3 + 𝛽3 = 𝛼 + 𝛽 3 − 3𝛼𝛽 𝛼 + 𝛽 𝑎 > 0, for t = 𝑎 𝑥 + 𝑎−𝑥 𝑎2𝑥 + 𝑎−2𝑥 = 𝑡 2 − 2 𝑎3𝑥 + 𝑎−3𝑥 = 𝑡 3 − 3𝑡 ∆= 1 × 2 底×高 = 1 𝑎𝑏𝑠𝑖𝑛𝜃 2 = = 1 2 1 2 = 𝑎 2 𝑏 2 − 𝑎∙𝑏 2 𝑎×𝑏 𝑠 𝑠 − 𝑎 𝑠 − 𝑏 𝑠 − 𝑐 ,s = =rs= 𝑎𝑏𝑐 4𝑅 𝑎+𝑏+𝑐 2 排列：相異物直線排列、相同物排列、重複排列 組合：一般組合、重複組合 二項式定理、剩餘定理、巴斯卡定理 一維數據和二維數據分析是在幹嘛？ 標準差是做什麼用的？怎麼算？ 相關係數與回歸直線 學完新的定義或簡單公式後 ◦ 老師都會講幾個簡單的題目，這時候一定要想一遍原理， 而且每個步驟都要想清楚。不能因為簡單而憑直覺寫答案， 或者背下來。 ◦ 可能是定義、證明、或者一個合理的解釋、圖形可見等明 顯實例（切記，盡量不要用背的！原理會模糊，無法變通） 圓與直線相切： f(3)=0： 實係數多項式： 偶數： 等腰三角形： 條件及所求 ◦ 確認題目的範圍、有哪些公式可以使用 尋找條件與解的關係 ◦ （列數學式、假設未知數、列方程式） 例： ◦ ◦ ◦ ◦ n是7的倍數 兩根相差2 一直線與圓相切 兩直線的交點 ↔ n=7k ↔ 設兩根為k,k+2 ↔ 圓心到直線的距離等於半徑 ↔ 二元一次方程組的解 有時候不只一種轉換或關連 化簡方向大都是「由繁化簡」 小範圍策略：針對某特定條件、求解或特殊格式， 所馬上想到的方向。 程度越好的同學，遇見難題時，心中會有很多想法。 而程度較差的同學，腦袋可能就一片空白。 小策略的實例： ◦ 看到分數就知道要約分、通分來運算 ◦ 看到(log 𝑥)2 ，就知道要設t = log 𝑥 ◦ 看到相同物排列，想到要除掉這些相同物排序的方法數。 大範圍策略： ◦ 問題比較抽象，範圍廣闊，可能是一整章，或者同時包含 好幾冊的單元。大範圍的策略威力強大，但也相對的很難 駕馭。 策略分成三個層次： ◦ 這題怎麼做 ◦ 為什麼可以這樣做，怎麼想到的？ ◦ 這類的題目背後的概念是？ 解三角形的問題 指對數問題 求餘式的問題 求極值的問題 空間問題 排列組合、機率的問題 解方程式的問題 若2<x<8，求(8-x)(x-2)2的最大值。 若2 < 𝑥 < 8, 試求 8 − 𝑥 𝑥 − 2 2 的最大值 ◦ 問的是？ ◦ 這類的問題通常該怎麼做？ ◦ 開始嘗試（不見得每次嘗試都一定正確） ◦ ◦ ◦ ◦ 因為 8 − 𝑥 + 𝑥 − 2 =6 是定值，要善用這個線索 想到求極值的方法裡頭的算幾不等式 題目變成了： 𝐴 + 𝐵 = 6 , 求𝐴𝐵2 的最大值 座標平面上，二次函數𝑦 = 2𝑥 2 − 4𝑥 + 𝑘與X軸交於 A、B兩點，與Y軸交於C點。 若∆ABC為直角三角形，則𝑘 =? ◦ 幾何問題最好畫個圖幫助釐清題意 ◦ 你想到哪些？ 「垂直」讓你想到什麼？ 小策略要非常深刻，大策略是由小策略組成的。 解題策略必須根據「個人經驗」，經過「思考」之 後得出的結論，每個人的表達語言可能不盡完全相 同，但是原理應該都是通的。 每一次解題都是經驗，把握每一次經驗多思考，策 略才會逐漸成形。答對或答錯都要檢討。尤其是沒 見過的題目，更要花時間好好的思考。 花時間思考，不等於浪費時間。 花20分鐘沒想出來，是浪費時間？ （選手是怎麼練習的） 看過解答後蓋住答案，從頭想一遍，是哪裡有盲點？ ◦ 可能是條件沒有掌握好、少想到一兩個定理、或沒有使用 某個小策略。 如果覺得解答很奇怪，就暫時跳過它吧！ 亂湊出答案更可怕！ 把當下不懂的、或者突然想通的點，用文字、數字 實例記下來，整理在該單元的講義上、或課本上。 (要用紅筆，越顯眼越好) 考試的時候就是要看這些重要的、你原本想不到的 盲點。 要挑選精神最好的時候 旁邊一定要準備一疊計算紙 一定要拿筆算，千萬不可以用看的 抓住重點：這一章節教給你什麼？ 不一定要從第一題開始寫 思考超過兩、三分鐘沒有頭緒，先跳下一題 計算過程寫大、寫清楚 記得一定要驗算 平時多累積思考、多練習，考試自然不會粗心。練 習時要「專注」 考前不要熬夜惡補，放鬆心情 學習新單元 從基本題去 理解 從解題經驗 培養策略 （不要模仿， 筆記很重要） 策略成形， 計算後需要 驗算，逐漸 可以解決進 階題 可把小策略 融合，對大 從解出題目 範圍的問題 獲得成就感 比較有頭緒 很痛苦，但你須強迫自己習慣 不要小看累積的威力，無論是認真或者打混 學完一個章節，把課本蓋起來，拿張白紙，把你知 道的東西寫下來，看看可以寫出多少？再對照課本， 檢討自己有哪些遺漏或錯誤之處。 自己訂個目標：下次要進步多少？ 一定來得及。