Transcript 重複組合 內容說明： 複習重複組合的定義及演算法 重複組合 • 重複組合的定義 自 n 類不同事物中(每類皆不少於m個)，可重複 選取 m 個的重複組合方法數以 H mn 表示，其中 m 為 正整數 或 0 。 • 小明買飲料的方法數可以表示成： 自 6 類不同冷飲中(每類皆不少於 5 杯)，可重複 選取 5

重複組合
內容說明：
複習重複組合的定義及演算法
重複組合
• 重複組合的定義
自 n 類不同事物中(每類皆不少於m個)，可重複
選取 m 個的重複組合方法數以 H mn 表示，其中 m 為
正整數 或 0 。
• 小明買飲料的方法數可以表示成：
自 6 類不同冷飲中(每類皆不少於 5 杯)，可重複
選取 5 杯的重複組合方法數以 H 5 表示。
6
• 那麼，H mn 該怎麼計算呢?
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重複組合
問題 1：如果冷飲恰好只有1種呢？
解 答：
2
重複組合
問題 1：如果冷飲恰好只有1種呢？
解 答：很明顯的，方法只有唯一的1種。
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重複組合
問題 2：如果冷飲恰好只有甲、乙兩種呢？
解 答：
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重複組合
問題 2：如果冷飲恰好只有甲、乙兩種呢？
解 答：換個角度想，如果用一個分隔板將飲料
隔開分成兩部分，板子兩側就是不同飲
料的杯數。
5
重複組合
甲 0 杯、乙 5 杯
甲 1 杯、乙 4 杯
甲 2 杯、乙 3 杯
甲 3 杯、乙 2 杯
甲 4 杯、乙 1 杯
甲 5 杯、乙 0 杯
6
重複組合
由上圖可知，有2種飲料要買5杯的買法，可以
想成是 5件相同的東西和 1 ( 2  1) 個分隔板的
排列方法(不盡相異物的排列)。
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重複組合
由上圖可知，有2種飲料要買5杯的買法，可以
想成是 5件相同的東西和 1 ( 2  1) 個分隔板的
排列方法(不盡相異物的排列)。
排列方法數為
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重複組合
由上圖可知，有2種飲料要買5杯的買法，可以
想成是 5件相同的東西和 1 ( 2  1) 個分隔板的
排列方法(不盡相異物的排列)。
排列方法數為
5  (2 1)!
5 ! (2 -1) !
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重複組合
由上圖可知，有2種飲料要買5杯的買法，可以
想成是 5件相同的東西和 1 ( 2  1) 個分隔板的
排列方法(不盡相異物的排列)。
排列方法數為
5  (2 1)!
5 ! (2 -1) !
5( 21)
 C5
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重複組合
由上圖可知，有2種飲料要買5杯的買法，可以
想成是 5件相同的東西和 1 ( 2  1) 個分隔板的
排列方法(不盡相異物的排列)。
排列方法數為
5  (2 1)!
5 ! (2 -1) !
5( 21)
 C5
 C56  6
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重複組合
由上圖可知，有2種飲料要買5杯的買法，可以
想成是 5件相同的東西和 1 ( 2  1) 個分隔板的
排列方法(不盡相異物的排列)。
排列方法數為
5  (2 1)!
5 ! (2 -1) !
5( 21)
 C5
 C56  6
亦即買冷飲的方法共有 6 種。
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重複組合
問題 3：如果冷飲有甲、乙、丙三種呢？
解 答：
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重複組合
問題 3：如果冷飲有甲、乙、丙三種呢？
解 答：同理，有 3種飲料要買5杯的買法，可以想
成是 5 件相同的東西和 2 ( 3  1) 個相同的
分隔板的排列方法(不盡相異物的排列) 。
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重複組合
問題 3：如果冷飲有甲、乙、丙三種呢？
解 答：同理，有 3種飲料要買5杯的買法，可以想
成是 5 件相同的東西和 2 ( 3  1) 個相同的
分隔板的排列方法(不盡相異物的排列) 。
排列方法數為
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重複組合
問題 3：如果冷飲有甲、乙、丙三種呢？
解 答：同理，有 3種飲料要買5杯的買法，可以想
成是 5 件相同的東西和 2 ( 3  1) 個相同的
分隔板的排列方法(不盡相異物的排列) 。
排列方法數為
5  (3  1)!
5 ! (3  1)!
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重複組合
問題 3：如果冷飲有甲、乙、丙三種呢？
解 答：同理，有 3種飲料要買5杯的買法，可以想
成是 5 件相同的東西和 2 ( 3  1) 個相同的
分隔板的排列方法(不盡相異物的排列) 。
排列方法數為
5  (3  1)!
5 ! (3  1)!
5 ( 31)
 C5
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重複組合
問題 3：如果冷飲有甲、乙、丙三種呢？
解 答：同理，有 3種飲料要買5杯的買法，可以想
成是 5 件相同的東西和 2 ( 3  1) 個相同的
分隔板的排列方法(不盡相異物的排列) 。
排列方法數為
5  (3  1)!
5 ! (3  1)!
5 ( 31)
7
 C5
 C5
 21
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重複組合
問題 3：如果冷飲有甲、乙、丙三種呢？
解 答：同理，有 3種飲料要買5杯的買法，可以想
成是 5 件相同的東西和 2 ( 3  1) 個相同的
分隔板的排列方法(不盡相異物的排列) 。
排列方法數為
5  (3  1)!
5 ! (3  1)!
5 ( 31)
7
 C5
 C5
 21
亦即買冷飲的方法共有 21 種。
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重複組合
原問題：如果冷飲有 6 種呢？
解
答：
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重複組合
原問題：如果冷飲有 6 種呢？
解
答： 同理，有 6 種飲料要買 5 杯的買法，可以
想成是 5 件相同的東西和 (6  1) 個相同的
分隔板的排列方法(不盡相異物的排列) 。
21
重複組合
原問題：如果冷飲有 6 種呢？
解
答： 同理，有 6 種飲料要買 5 杯的買法，可以
想成是 5 件相同的東西和 (6  1) 個相同的
分隔板的排列方法(不盡相異物的排列) 。
排列方法數為
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重複組合
原問題：如果冷飲有 6 種呢？
解
答： 同理，有 6 種飲料要買 5 杯的買法，可以
想成是 5 件相同的東西和 (6  1) 個相同的
分隔板的排列方法(不盡相異物的排列) 。
排列方法數為
5  (6  1)!
5 ! (6  1)!
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重複組合
原問題：如果冷飲有 6 種呢？
解
答： 同理，有 6 種飲料要買 5 杯的買法，可以
想成是 5 件相同的東西和 (6  1) 個相同的
分隔板的排列方法(不盡相異物的排列) 。
排列方法數為
5  (6  1)!
5 ! (6  1)!
5( 61)
 C5
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重複組合
原問題：如果冷飲有 6 種呢？
解
答： 同理，有 6 種飲料要買 5 杯的買法，可以
想成是 5 件相同的東西和 (6  1) 個相同的
分隔板的排列方法(不盡相異物的排列) 。
排列方法數為
5  (6  1)!
5 ! (6  1)!
10
5( 61)
 C5
 C5
 252
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重複組合
原問題：如果冷飲有 6 種呢？
解
答： 同理，有 6 種飲料要買 5 杯的買法，可以
想成是 5 件相同的東西和 (6  1) 個相同的
分隔板的排列方法(不盡相異物的排列) 。
排列方法數為
5  (6  1)!
5 ! (6  1)!
10
5( 61)
 C5
 C5
 252
亦即買冷飲的方法共有 252 種。
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重複組合
• 總結來說，自 6 類不同事物(冷飲)中(每類皆不少於
5杯)，可重複選取 5 個(杯)的重複組合方法數為：
H 56 
結論：
5  (6 1)!  C 5(61)  C10  252
5 ! (6 -1)!
5
5
自 n 類不同事物中(每類皆不少於 m 個)，
n
每次選取 m 個的重複組合方法數以Hm
表示，
且 Hmn
 Cmm( n1)，其中 m 為正整數或 0。
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