Transcript 數學單元主題內容

第六組
多項式函數
組員：王凱民、賀逸然、許竣棠
前言

向空中斜拋一石頭，它的軌跡可由什麼圖形來
描述呢？
Ans：拋物線

那在數學中，有沒有函數的圖形能幫助我們描
述拋物線呢？
如：二次函數
前言
•
多項式是代數的基本成員，而代數學的中心問題─解
方程式，便是我們著重的主題之一。
•
方程式未解出之前，我們必須先：
1.
熟習多項式的四則運算
2.
知道任意多項式方程式是否都一定有根
3.
是否有公式解
4.
若無法找出所有根，可否有方法求出實根的近似值
學習鋪成
多項式不等式
多項式方程式
多項式方程式的根
勘根定理
代數基本定理
整係數多項式方程式的有理根
虛根成對定理
多項式函數
線性函數
二次函數
最高公因式與最低公倍式
餘式與因式定理
多項式的四則運算
除法原理
綜合除法
輾轉相除法
整係數一次因式檢查法
數學單元主題內容

多項式的四則運算

餘式定理、因式定理

最高公因式與最低公倍式

多項式函數

多項式方程式

多項式不等式
教材分析

多項式的定義和次數

多項式的四則運算(加、減、乘)

多項式的觧及其係數關係

多項式的除法及餘式定理、因式定理

多項式的泰勒展開式

牛頓一次一式檢驗法

H.C.F 和 L.C.M定義和求法及其之間的關係
教材分析

函數的定義和圖形、二次函數的極值

多項式解的共軛(複數型、有理數型)

勘根定理

解高次不等式

解分式不等式

解絕對值不等式

多項式的定義和次數
型如f ( x)  a n x n  a n 1 x n 1    a1 x1  a0 稱x的多項式,
其中a n、a n 1  a1為x n、x n 1  x1的係數, a0 為常數項
設多項式f ( x)  an x n  an 1 x n 1    a1 x1  a0 , 若an  0, 則稱f ( x)為n次多項式
記作 deg f ( x)  n, 又an 是f ( x)領導係數

多項式的四則運算(加、減、乘)
(1)兩多項式相加,就是將其同類項係數相加
(2)兩多項式相減,就是將其同類項係數相減
(3)兩多項式相乘可利用

乘法對加減法的分配率及指數率

分離係數用直式乘法

多項式的觧及其係數關係
二次方程式的根與係數
b
c
ax 2  bx  c  0的兩根為 和 , 則    - ,  
a
a
三次方程式的根與係數
ax 3  bx 2  cx  d  0的三根為、 和 ,
b
c
d
則      - ,           a
a
a

多項式的除法及餘式定理、因式定理
多項式除法
(1)長除法
(2)綜合除法
(3)輾轉相除法

多項式的除法及餘式定理、因式定理
餘式定理:
b
設f ( x)為一 n次多項式 a、b為實數 , 且a  0, 則以 ax  b除f ( x)的餘式為 f ( )
a
因式定理:
b
設f ( x)為一 n次多項式 a、b為實數 , 且a  0, 若f ( x)有一次因式為 ax  b  f ( )  0
a

多項式的泰勒展開式
多項式f ( x)  an x n  an1 x n1    a1 x1  a0可由綜合除法寫成
b n (x - a)n  b n -1 (x - a)n -1    b1 (x - a)  b 0

牛頓一次一式檢驗法
多項式f ( x)  a n x n  a n 1 x n 1    a1 x1  a 0 是一個整係數n次多項式,
若有整係數一次因式ax - b, 且a、b互質, 則a a n , b a 0
H.C.F 和 L.C.M定義和求法及其之間的關係
(1)多項式f(x)與g(x),若h(x)是他們公因式中次數最高的,稱h(x)
為f(x)和g(x)的最高公因式,以H.C.F或g.c.d表之,即
(f(x),g(x))=H.C.F
(2)H.C.F求法
1.
因式分解法
2.
輾轉相除法
3.
線性組合法

H.C.F 和 L.C.M定義和求法及其之間的關係
(1)多項式f(x)與g(x),若l(x)是他們公倍式中次數最低的,稱
l(x)為f(x)和g(x)的最高公因式,以L.C.M表之,即
[f(x),g(x)]=L.C.M
(2) L.C.M求法,先求H.C.F則
k  f ( x)  g ( x)
[ f ( x), g ( x)] 
( f ( x), g ( x))

函數的定義和圖形、二次函數的極值
線性函數:設a、b皆為實數,則f(x)=ax+b稱線性函數,
其圖形為一直線
二次函數:設a、b、c皆為實數,且a≠0則
2
f(x)=ax+bx+c為二次函數,其圖形為拋物線

函數的定義和圖形、二次函數的極值
若ax+bx+c為二次函數
2
(1)a>0開口向上
b

x= 2a f(x)有最大值
(2)a<0開口向下
b

x= 2a f(x)有最小值
b-4ac>0和x軸交於兩點(兩個相異實數解)
b-4ac=0和x軸交於一點(重根)
2
b-4ac<0和x軸沒交點(無實數解)

多項式解的共軛(複數型、有理數型)
設f ( x)  0為實係數的n次方程式, a、b  , b  0若a  bi為f ( x)  0的一個根,
則a - bi必為f ( x)  0的一個根。
設f ( x)  0為有理係數的n次方程式, a、b  Q, b  0若a  b為f ( x)  0的一個根,
則a - b必為f ( x)  0的一個根。

勘根定理
設f (x)  0為一實數係數方程式, 若f (a )  f (b)  0, 則在a b之間有奇數個實根
(1)函數y  f (x)的圖形與x軸的交點, 即f (x)  0的根
(2)當f (a )  f (b)  0時, 則f (x)  0則在a b之間有偶數個實根或者無實根

解高次不等式
一元n次不等式
x n  a n 1 x n 1    a1 x1  a 0  0(或小於)的解, 將n次式因式分解
x n  a n 1 x n 1    a1 x1  a 0  (x -  1 )(x -  2 ) (x -  n )且 1   2   n
(1)x n  a n 1 x n 1    a1 x1  a 0  0的解就是數線上""的部份
(2)x n  a n 1 x n 1    a1 x1  a 0  0的解就是數線上"-"的部份

解分式不等式
f ( x)
 0  f ( x)  g ( x)  0, 但g ( x)  0
g ( x)
f ( x)
 0  f ( x)  g ( x)  0, 但g(x)  0
g ( x)
f ( x ) h( x )
f ( x ) h( x )



0
g ( x) k ( x)
g ( x) k ( x)
A(x)
通分成
0
B(x)

解絕對值不等式
設k  0, 形式如下列者稱" 絕對值不等式 "
(1)若 x  k , 則 - k  x  k
( 2)若 x  k , 則  k  x  k
(3)若 x  k , 則x   k或x  k
( 4)若 x  k , 則x   k或x  k
較複雜的需要一一討論
教學網頁教學目標

了解奇、偶次方的特性

了解根與係數之間的關係

餘式定理的基本運用

以綜合除法的方式來估計近似值

能使用牛頓一次因式檢驗法

能判別並找出公因式

能運用輾轉相除法找最大公因數(式)
教學網頁教學目標

能轉換根和X軸之間的關係

了解實係數方程式和虛根之間的關係

了解二次函數圖形的結構

能用配方法找二次函數的極值

能清楚分式不等式的運算方法及注意事項

應用多項式方程式處理實際問題