Transcript H.C.F和L.C.M定義和求法及其之間的關係

最高公因式與最小公倍式

最高公因式定義：
多項式f(x)與g(x)
若h(x)是他們公因式中次數最高的,
稱h(x)為f(x)和g(x)的最高公因式,
以H.C.F或g.c.d表之,即(f(x),g(x))=H.C.F

最小公倍式定義：
多項式f(x)與g(x),
若L(x)是他們公倍式中次數最低的,
稱L(x)為f(x)和g(x)的最高公因式,
以L.C.M表之,即[f(x),g(x)]=L.C.M
最高公因式的求法
1.
因式分解法：先將各多項式因式分解，再取
相同的公因式次數最小的，乘起來即可。
2.
輾轉相除法：
範例一
_____________
範例二
最小公倍式的求法
1.
因式分解法：先將各多項式因式分解，再取
相同的公因式次數最大的，乘起來即可。
2.
輾轉相除法：利用輾轉相除法，求得f(x)、g(x)
的最高公因式d(x)，則
[f(x)，g(x)]=f(x) × g(x) / d(x)
特殊的性質

f(x) ×g(x) = ( f(x) , g(x) ) ×[ f(x) , g(x) ]

若設d(x)|f(x)，d(x)|g(x)，則
d(x)|m(x)f(x)+n(x)g(x)。

當多項式f(x),g(x)互質時，符號：(f(x),g(x))=1
範例一
設有二多項式，其最高次項係數均為1，且最高
公因式為x – 3，最低公倍式為
x3 – 7x2 + 15x – 9，試求此二多項式。
解：(x3 – 7x2 + 15x – 9)  ( x – 3) = x2 – 4x + 3 =
(x – 1)(x – 3)
∴所求為(x – 3)，(x – 3)2(x – 1)或(x – 1)(x – 3)，
(x – 3)2。
範例二
若f (x) = x3 + ax2 + 11x + 6與g(x) = x3 + bx2 + 14x + 8之最高
公因式為二次式，
則a =______，b =______。
解：設最高公因式為d(x)
d(x) | f (x) – g(x)  d(x) | (a – b)x2 – 3x - 2  d(x) = (a b)x2 – 3x – 2
d(x) | 4f (x) – g(x)  d(x) | [x2 + (4a – 3b)x + 2]  d(x)
= x2 + (4a – 3b)x + 2
∴
 a = 6，b = 7。
整數系與多項式的比較