Transcript Lagrange插值多項式在教學上的應用與連結

Lagrange插值多項式
在教學上的應用與聯結
本內容為數學科課綱與暫綱種子教師培訓教材
為什麼要學多項式與多項式函數
培養學生能認知文字與符號，並藉由文字
與符號的操作，養成學習自然科學與社會
科學的能力。多項式除法運算只要有低次
除法的經驗即可。
 多項式方程式可透過引進變數與解方程式
以解決相關的應用問題，這是數學具普遍
性的特質與方法。

多項式函數的特色
求值簡便（只用加、乘）
 多項式函數y＝p (x)是“最簡單”的連續函數，
常用來「逼近」一般的非多項式函數的連
續函數y＝f (x)。
f (x)  p (x) ( a＜x＜b )
即 利用多項式函數值p (x0)來估測f (x0)的
值。
f (x0)  p (x0) ( a＜x0＜b )

多項式的課程架構
四則運算
(核心：除法)
除法定理
餘式定理
因式定理
應
1逼近
2求值
(插值多項式)
四則運算
與應用
用
多項式
多項式函數
及其圖形
一次、二次函數
單項式函數
已分解之多項式函
數的圖形
多項式方程式
一次因式檢驗法
勘根定理
代數基本定理
虛根成雙定理
多項式不等式
(含簡易分式不等式)
多項式與多項式函數

一般而言，如果變數y由變數x決定，且y可以用x
的一個多項式f(x)表示，即y=f(x) ，那麼我們稱函
數y為多項式函數。多項式函數探討的主題有三個：
(1) 給定x的值，計算所對應的y值，即多項式函
數的求值的問題。
(2) 給定y的值，求解所對應的x值，即解多項式
方程式的問題。
(3) 給定y的範圍，求解所對應的x值，即解多項
式不等式的問題。
在多項式子題中，我們的目標放在處理問題(1)，
並為解決問題(2)，(3)作準備工作。
多項式除法原理(多項式的理論基礎)

設 f(x)，g(x)是多項式，若g(x)不是零多項
式，則存在唯一的多項式h(x)，及唯一的
多項式r(x) ，使
f(x)=g(x)h(x)+r(x)
且 r(x)=0 或 deg r(x)＜deg g(x) 。
( 被除式 = 除式 × 商式 + 餘式 )
多項式除法原理的推論
餘式定理
b
多項式 f ( x) 除以一次式 ax  b 的餘式為 f  
a
 因式定理
設 f ( x) 為多項式，ax  b 為一次式，
b
若 f    0 ，則ax  b 是f ( x) 的因式；
a
b
若 f    0 ，則 ax  b 不是 f ( x) 的因式。
a

因式定理的性質
x－a 與 x－b 都是f (x)的因式 ，則
(x－a)(x－b)是f (x)的因式。
 x－a，x－b，x－c 都是f (x)的因式，則
(x－a)(x－b)(x－c)是f (x)的因式。


x  a1 ， x  a2 ，… ，x  an 都是 f (x)的因
式 ，則 ( x  a1 )( x  a2 ) ( x  an ) 是 f (x) 的因式
綜合除法的應用

f除以x-a所得的餘式為f在a點的值f(a)可用來求值。
 f連除以x-a兩次所得的餘式為f(a)+m(x-a)，可得f在
a點的切線y=f(a)+m(x-a)，可用來求f在a點附近的
近似值。
 f除以x-a後，再除以x-b可得餘式
f (b)  f (a)
f (a) 
( x  a)
ba
可用來求f在通過(a,f(a)),(b,f(b))兩點的割線，可用
來求f在a,b附近的近似值。
餘式定理應用(1)

設a、b為相異實數且 f (x)為一多項式，則
f (x)除以 ( x  a)( x  b) 的餘式為
x b
xa
f (a)
 f (b)
a b
ba
證明：
存在多項式 g(x)與實數 r 使
f ( x)  ( x  a)( x  b) g ( x)  r ( x  b)  f (b)
由上式可得 f (a)  r (a  b)  f (b)
即
故
r
f ( a )  f (b)
a b
f ( x)  ( x  a)( x  b) g ( x)  ( f (a )  f (b))(
 ( x  a)( x  b) g ( x)  f (a)(
x b
)  f (b)
a b
x b
x b
)  f (b)  f (b)(
)
a b
a b
 ( x  a)( x  b) g ( x)  f (a )(
x b
xa
)  f (b)(
)
a b
ba
x b
xa
 f (b)
所以 f (x)除以 ( x  a)( x  b) 的餘式為 f (a )
a b
ba
餘式定理應用(2)

設a、b、c為相異實數且 f (x)為一多項式，
則f (x)除以 ( x  a)( x  b)( x  c) 的餘式為
( x  b)( x  c)
( x  a)( x  c)
( x  a)( x  b)
f (a)
 f (b)
 f (c )
(a  b)(a  c)
(b  a)(b  c)
(c  a)(c  b)
證明： 存在多項式h(x)，k(x)與實數 r 使
x b
xa
)  f (b)(
)
a b
ba
x b
xa
 ( x  a)( x  b)(( x  c)k ( x)  r )  f (a )(
)  f (b)(
)
a b
ba
c b
ca
f (c)  (c  a)(c  b)r  f (a )(
)  f (b)(
)
a b
ba
cb
ca
f (c )  f ( a )(
)  f (b)(
)
a

b
b

a
r
(c  a )(c  b)
f ( x)  ( x  a )( x  b)h( x)  f (a )(
得
即
故
f ( x)  ( x  a)( x  b)( x  c)k ( x)  f (c)(
 f (b)(
( x  a)( x  b)
( x  a)( x  b)
)  f (a)(
)
(c  a)(c  b)
(a  c)(a  b)
( x  a)( x  b)
x b
xa
)  f (a)(
)  f (b)(
)
(b  a)(b  c)
a b
ba
 ( x  a)( x  b)( x  c)k ( x)  f (c)(
 f (a)(
( x  a)( x  b)
(c  a)(c  b)
( x  b)( x  a  a  c)
( x  a)( x  b  b  c)
)  f (b)(
(a  b)(a  c)
(b  a)(b  c)
因此 f (x)除以 ( x  a)( x  b)( x  c) 的餘式為
( x  b)( x  c)
( x  a)( x  c)
( x  a)( x  b)
f (a)
 f (b)
 f (c )
(a  b)(a  c)
(b  a)(b  c)
(c  a)(c  b)
因式定理應用

設 x1 , x2 , x3 , x4 為相異實數，若至多三次的
多項式f (x)滿足
f ( x1 )  y1 , f ( x2 )  y2 , f ( x3 )  y3 , f ( x4 )  y4
則f (x)可以表示成如下形式：
( x  x2 )( x  x3 )( x  x4 )
( x  x1 )( x  x3 )( x  x4 )
 y2 
( x1  x2 )( x1  x3 )( x1  x4 )
( x2  x1 )( x2  x3 )( x2  x4 )
( x  x1 )( x  x2 )( x  x3 )
( x  x1 )( x  x2 )( x  x4 )
 y3 
 y4 
( x3  x1 )( x3  x2 )( x3  x4 )
( x4  x1 )( x4  x2 )( x4  x3 )
f ( x)  y1 
插值公式
1. 圖形通過 ( a1 , b1 )、( a2 , b2 ) 兩點的一次
插值多項式為
( x  a2 )
( x  a1 )
L( x)  b1 
 b2 
(a1  a2 )
(a2  a1 )
插值公式
2. 圖形通過 ( a1 , b1 )、( a2 , b2 )、( a3 , b3 )
三點的二次插值多項式為
( x  a2 )( x  a3 )
L( x)  b1 
(a1  a2 )(a1  a3 )
( x  a1 )( x  a3 )
 b2 
(a2  a1 )(a2  a3 )
( x  a1 )( x  a2 )
 b3 
(a3  a1 )(a3  a2 )
插值公式
3. 圖形通過 ( a1 , b1 )、( a2 , b2 )、( a3 , b3 )、
( a4 , b4 ) 四點的三次插值多項式為 L (x)，
則
( x  a2 )( x  a3 )( x  a4 )
( x  a1 )( x  a3 )( x  a4 )
 b2 
(a1  a2 )(a1  a3 )(a1  a4 )
(a2  a1 )(a2  a3 )(a2  a4 )
( x  a1 )( x  a2 )( x  a3 )
( x  a1 )( x  a2 )( x  a4 )
 b3 
 b4 
(a3  a1 )(a3  a2 )(a3  a4 )
(a4  a1 )(a4  a2 )(a4  a3 )
L( x)  b1 
插值多項式實例(1)
設函數f (x)上有(-2, -3)，(0, 1)，(1, -1) 等3點，
則經過這3點的插值多項式為
( x  0)( x  1)
L( x)  (3) 
(2  0)( 2  1)
( x  2)( x  1)
 1
(0  2)(0  1)
( x  2)( x  0)
 (1) 
(1  2)(1  0)
插值多項式實例(2)
設函數f (x)上有(-2, -3)，(0, 1)，(1, -1)，(3, 2)
等4點，則經過這4點的插值多項式為
( x  0)( x  1)( x  3)
( x  2)( x  1)( x  3)
L( x)  (3) 
 1
(2  0)(2  1)(2  3)
(0  2)(0  1)(0  3)
( x  2)( x  0)( x  3)
( x  2)( x  0)( x  1)
 (1) 
 2
(1  2)(1  0)(1  3)
(3  2)(3  0)(3  1)
**拉格蘭吉插值多項式
一般而言：給定函數f (x)上n+1個相異點
(x1, y1)， (x2, y2) ，…， (xn+1, yn+1) ，則經過
這n＋1個點的插值多項式Ln(x)可以表為
n 1
Ln ( x)   yi i ( x)
i 1
x  xj
其中 i ( x)   (
)，i＝1，2，…，n＋1
j 1, j i xi  x j
n 1
**Lagrange插值多項式的性質

從上面的定義可知，Lagrange插值多項式
是經過(x1, f (x1))，(x2, f (x2))，…，
(xn, f (xn))，(xn+1, f (xn+1))等n+1個點，不超
過n次的多項式函數，如果f (x)為n次以下
的多項式函數，則f (x)=Ln(x)，且Ln(x)也是
經過這個點的唯一多項式函數。
插值多項式的應用(1)

以三次式為例：
設三次多項式f (x)中，f (-2)=-3、f (0)=1、
f (1)=-1、f (3)=2， 求f (1.5)。
( x  0)( x  1)( x  3)
( x  2)( x  1)( x  3)
f ( x)  (3) 
 1
(2  0)(2  1)(2  3)
(0  2)(0  1)(0  3)
( x  2)( x  0)( x  3)
( x  2)( x  0)( x  1)
 (1) 
 2
(1  2)(1  0)(1  3)
(3  2)(3  0)(3  1)
插值多項式的應用(1)
( x  2)( x  1)( x  3)
( x  0)( x  1)( x  3)
 1
(0  2)(0  1)(0  3)
(2  0)(2  1)(2  3)
( x  2)( x  0)( x  1)
( x  2)( x  0)( x  3)
 2
 (1) 
(3  2)(3  0)(3  1)
(1  2)(1  0)(1  3)
f ( x)  (3) 
(1.5  0)(1.5  1)(1.5  3)
(1.5  2)(1.5  1)(1.5  3)
f (1.5)  (3) 
 1
(2  0)(2  1)(2  3)
(0  2)(0  1)(0  3)
(1.5  2)(1.5  0)(1.5  3)
(1.5  2)(1.5  0)(1.5  1)
 (1) 
 2
(1  2)(1  0)(1  3)
(3  2)(3  0)(3  1)
27
 1.6875 
16
**插值多項式的應用(1)
上面的例子中，y=f (x)的圖示如下：
1 3 5 2 5
即 y  L3 ( x)  x  x  x  1
2
6
3
Lagrange插值多項式的應用(2)

由非多項式的連續函數f (x)上兩點(x1, y1)，
(x2, y2)，利用Lagrange插值多項式L1(x)，我
們可以求介於x1 與x2之間任意一個數 a 的函
數值f (a)的近似值L1(a) ，這就是我們常用的
線性內插法的概念。
Lagrange插值多項式的應用(3)

由非多項式的連續函數f (x)上三點(x1, y1)，
(x2, y2)，(x3, y3)，其中x1＜x2＜x3，利用
Lagrange插值多項式L2(x)，我們可以求介
於x1與x3之間任意一個數a的函數值f (a)更
精確的近似值L2(a) 。
**Lagrange插值多項式的應用(4)

b
非多項式函數f (x)，當 f ( x)  0 時， f ( x)dx 表示
a
的圖形與直線y=0、x=a、x=b所圍成的面積，我們
xi 1  xi
xi 1  xi
可以利用經過(xi-1, f (xi-1))、 (
,f(
)) 、
2
2
(xi, f (xi))三個點的拋物線，也就是Lagrange插值二
次多項式函數的曲線下的面積作為y=f (x)曲線下在
區間﹝xi-1, xi﹞內的面積的近似值。再利用級數和
就可求y=f (x) 的圖形與直線y=0、x=a、x=b所圍成
的面積的近似值。這就是所謂的拋物線法求非多
項式函數圖形下面積的近似值的方法。
註：

在投影片左前方加 **號者僅為提供教師參
考，或作為教師輔導資優學生之參考。
結
語
利用Lagrange插值多項式，可以將少量的資
料表現出連續的資訊，展現數學的效率與精
確性。
2
2
2
s
(
n
)

1

2


n
 級數和
可利用 s(1)  1, s(2)  4, s(3)  14, s(4)  30
n(n  1)(2n  1)
求得插值多項式 s(n) 
6
可利用數學歸納法證明此結果是正確的，插
值多項式也可作為離散資料探索的利器。
