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邏輯的基本概念
*邏輯---Logic


意義：
研究推理規則的學問
目的：
思考、判斷、推理
*常用符號






1.
2.
3.
4.
5.
6.
 存在
 存在唯一
 對每一個(所有的)
 矛盾
 若….則…
 若且唯若….則…




7.
8.
9.
10.
11.
 或
 且
 屬於
 不屬於
 同義
*名詞定義
1. 敘述…邏輯研究的對象
statement
 (1) 定義
具有完整的意義，且能辨別真假的句子
(2) 例題
5+3=6
老師很美麗
柯林頓是日本人
快走開
5>9
7是21的因數
地球是圓的
#Note：情緒；願望；疑問；讚嘆，不涉及事實的真假，
它們就不是敘述。
(不能作為邏輯研究的對象)
Eg.化簡1+2[x-3(x+4)]
Eg. 試證三角形內角和為1800
#開放句
句子的真假由變數決定
eg. x2-1=0
eg.明天老師會來我家
邏輯值
(1) 真(True)
(2) 假(False)
*『T』與『F』就是敘述的邏輯值
*邏輯所考慮的句子只有2種可能性『T』、『F』，
不可同時存在。
否定敘述




定義：與敘述p相反的敘述叫『p的否定敘述』
記作：~p
讀作：非p
真值表：
p
~P
~(~P)
T
F
T
F
T
F
複合敘述(邏輯的基本句型)
表述複雜的事理，把一些簡單的敘述連在一起
(1)且 
eg. 3<x<5
(2)或 
eg.(x-2)(y+3)=0
eg.  x  2 y  3

2 x  y  5
*或有兼容性
(3) 若…則…(命題)
eg.若你補考不及格，則你必須重修
eg.若a=b，c=d則a+c=b+d
eg.若f(a)=0則a為方程式f(x)=0的根
eg.若A,B為平面上的兩相異點，則過A,B兩點恰有一直線。
注：㊣當”pq”為正確命題時，我們用符號”pq”表示
㊣定義、定理、公設常用複合敘述來鋪陳
 pq
若pq且若qp
 pq
若pq為真且若qp為真
eg.原命題：若則ABC為等腰

逆命題
1.原命題 pq
2逆命題 qp
否(定)命題
3.否(定)命題 ~p~q 逆(否)命題
4.逆(否)命題 ~q~p
補充：(定義、公設、定理)
 定義：若ABC有兩邊之長相等，則ABC為等腰
*記作：pq
 公設：不需加以證明承認其為真命題
ex.若AB為平面上的2個相異點，則過AB的直線恰有一條
 定理：利用定義、公設或其他定理，經正確推演，而得到的命題
ex.若p在的垂直平分線上，則(垂直平分線定理)
pq(真值表)




若下雨，則地濕
若地濕，則下雨
若不下雨，則地不濕
若地不濕，則不下雨
P
q
~p
~q
pq
~q~p
~pq
pq
T
T
F
F
T
T
T
T
T
F
F
T
F
F
F
F
F
T
T
F
T
T
T
F
F
F
T
T
T
T
T
T
P
q
pq
pq
~ (pq)
~ p~q
~ (pq)
~ p~q
T
T
T
T
F
F
F
F
T
F
F
T
F
F
T
T
F
T
F
T
F
F
T
T
F
F
F
F
T
T
T
T
Note:
•
•
•
•
•
(1)當我們欲證明pq的真假，不妨由~q~p下手
(2) 『pq』『~q~p』
(3) 『~ (pq)』『~ p~q』
(4) 『~ (pq)』『~ p~q』
(5) 『~q~p』『~pq』
例題
eg. 若 AB  AC，則ABC為等腰
若ABC為等腰，則 AB  AC
AC
若 AB  ，則ABC不為等腰
若ABC不為等腰，則 AB  AC
例題
eg.
 若一四邊形兩雙等邊相等，則這個四邊形一定是平行四邊
形
 若一四邊形是平行四邊形，則其兩雙對邊分別相等
 若一個四邊形至少有一雙對邊不相等，則這個四邊形一定
不是平行四邊形
 若一四邊形不是平行四邊形，則其至少有一雙對邊不相等
充分條件、必要條件、充要條件
pq
1. 有了條件p，就足夠推出結論q，也就是p能”
充分”推演出q
稱p為q的充分條件
2.
又因q是p的必然結論
稱p為q的必要條件
pq  pq且q  p
p，q互為充要條件(充分與必要)
例題
eg. x>5是 x5的
條件
x(x+1)=0是x=0的
a0是|a|=a的
條件
條件
ABC，是C=B的
條件
*應用---證明
1. 直接證法
由已知的前提p，利用先前的已知定理、性質
及公式，逐步推演出欲證的結論為止
2.
間接證法
(1) 窮舉法
把結論q及『與q有關』的各種情形，逐一探討它跟前提
p的關係
(2) 歸謬法
與窮舉法類似，只是不先提q把q以外的情況，逐一討論
因不合前提，所以只剩結論p
(3) 反證法
利用『pq』與『~q ~p』為同義，推出結論q不正
確的論點為前提，推演至與前提p相矛盾的結論而由此
知結論q為正確
1-2
集合的
基本概念
＠陳曉惠
▂學習內容◥
集合的定義
集合的表示法
集合的相等
基本測驗
集合的性質
交集、聯集、差集、
宇集、補集
應用—排容原理
一、定義
（1）集合（set）：由一群具有特別用意，並可明確
區隔之事物的聚集，看作一個整體，稱為
一個集合。
★表示：A,B,C…
（2）元素：
集合中所有組成的分子，稱為集合之元素。
★表示：a,b,c…
＊若a是集合S中的一個元素，以“
aS "表示。
二、集合的表示法
（1）列舉法（表列法）
把集合的每一個元素一一列舉出，再用{ } 括起來。
eg. A={ 1,2,3,4,5}
B={1,3,5,7,9}
（2）描述法（構式法）
把集合中的元素，用共同的特徵把它描述出來。
eg. A={所有正偶數} ={0,2,4,6,8…}
B={ x | x2 = 4 } ={-2,2}
C={ 2n+1| n任意整數} ={…-1,1,3,5…}
三、集合的相等
兩個集合A , B中的元素若完全相同，稱此二集合相等，
＊記作：A=B。
補充：
＊集合中的元素沒有次序關係
＊集合中之元素重覆無效
A={ 1, 2, 3 }= B={ 3, 2, 1 } A={ 1, 1, 3 }= B={ 1, 3 }
eg. A＝B A={ x | x2-2x-3=0 } , B = { 3, -1 }
四、集合的性質
（1）子集合
設A, B為二集合，若A集合中a  B則稱A為B的
『子集』或『部分集合』；B為A的 母集 。
圖式法：
B A
讀法：
記法：
A包含於B
AB
B包含A
BA
＊A是它本身的子集，也是本身的母集。 "A A " 且 " A A "
＊若A  B 且 AB 即存在有B元素不屬於A，則稱A為B的『真子集』。
＊（A  B 且 AB）  （A=B）
四、集合的性質
（2）空集合
若一集合中空無一物（沒有元素），則稱此為空集
合。
＊表示法： { } or 
*{
}  { 0 }  { }
{ 0 }：以0為元素所成的集合。
{ }：以  為元素所成的集合。
eg. 設A= { 1,2,3 }，則A的部分集合有 23 = 8
{1}
{2}
{3}

{ 1,2 } { 2,3 } { 1,3 } { 1,2,3 }
A
1 2 3 4
四、集合的性質
＊遞移律： 若A B且B C，則A  C。 C
＊特定集合：
B
A
N = {所有的自然數（正整數）}={1,2,3…}
Z = {所有的整數}= {…-3,-2,-1,0,1,2,3…}
Q = {所有的有理數}= { x | x=m/n , m,n  N, n0 }
R = {所有的實數}= {實數線上的數}
四、集合的性質
＊實數的子集
閉區間：[ a , b ] = { a  x  b, x R}
開區間：( a , b ) = { a＜x＜b, xR }
半開區間：
*左閉半開：
[ a , b ) = { a  x ＜ b, x R}
*左開右閉： ( a , b ] = { a ＜ x  b, x R}
五、交集、聯集、差集、
宇集、補集
（1）交集 （∩ ）
由二集合A,B的共同元素所組成的集合，稱A與B的
交集。
圖示法：
（文氏圖）
A
B
表示法：
A∩B
={ x | x A且
x B }
eg. A={ 1,2,3 },
B={ 2,3,4,5}
A∩B ={ 2,3 }
五、交集、聯集、差集、
宇集、補集
（2）聯集 （ U ）
由二集合A, B的所有元素所組成的集合，稱A與B
的聯集。
圖示法：
（文氏圖）
A
B
表示法：
AUB
={ x | x A 或
x B }
eg. A={ 1,2,3 },
B={ 2,3,4,5}
AUB =
{1,2,3,4,5}
五、交集、聯集、差集、
宇集、補集
＊交集與聯集的性質
反身律：A ∩ A = A = A U A
交換律：A ∩ B = B ∩ A ,
AU B=BU A
結合律：(A ∩AB) ∩ C = A ∩ (B A
∩ C) = AB∩ B ∩ C
B
( A U B) U C = A U ( B U C) = A U B U C
分配律：A ∩ (B U C) = (A ∩ B) U (A ∩ C)
A U (B ∩ C) = (A U B) ∩ (A U C)
 A ∩ B = A U B  A=B
五、交集、聯集、差集、
宇集、補集
（3）差集
設A,B為二集合，則A-B= { x | x A 但 xB }
B-A= { x | x B 但 xA }
圖示法：
A-B
B-A
A
B
A
eg. A={ 1,2,3,4 } , B = { 2,4,6,8 }
A-B = { 1,3 }
B-A= { 6,8 }
B
五、交集、聯集、差集、
宇集、補集
（4）宇集 （ U, W ）
所有欲討論的範圍內最大的集合，稱為宇集。
一般以" U "or " W "表示。
（5）補集（餘集 ）（ A’ , AC , A ）
設U為宇集，A U，定義：A的補集A’ =U-A
A’也可以AC, A 表示。
圖示法：
A’
A
U
表示法：
A’ ={ x | x U 但
x A}
五、交集、聯集、差集、
宇集、補集
＊宇集與補集的性質
 A ∩ A/ = 
AU
A/
 /= U
U/ =
=U

（A/）/ = A
 A , B U
A B  A/ B/
 笛摩根定理
(A ∩ B) / = A/ U B/
(A U B) / = A/ ∩ B/
U
A’ A B
U
B’
A’
A
六、應用-排容原理
＊以｜S｜or n(S)表示集合S的元素個數。
（1）｜A U B｜＝ ｜A｜＋｜B｜－｜A∩B｜
=
｜A｜＋｜B｜
｜A∩B｜
六、應用-排容原理
（2）｜A U B U C｜＝｜A｜＋｜B｜＋｜C｜
－｜A∩B｜－｜B∩C｜－｜C∩A｜
A
+｜A ∩ B ∩ C｜
B
C
=
A
B
C
｜
+｜
A｜ B｜
-
｜A∩B｜
+｜
C｜
｜A∩C｜
+
｜B∩C｜
｜A ∩ B ∩ C｜
七、基本測驗
集合的元素
集合的表示法
集合的運算
＠http://www.geisya.or.jp/~mwm48961/
補集合
五、交集、聯集、差集、
宇集、補集
＊交集與聯集的性質
結合律：(A ∩ B) ∩ C = A ∩ (B ∩ C) = A ∩ B ∩ C
AA
BB
CC
AA
BB
CC
A
B
C
五、交集、聯集、差集、
宇集、補集
＊交集與聯集的性質
結合律： ( A U B) U C = A U ( B U C) = A U B U C
AA
BB
CC
AA
BB
CC
A
B
C
五、交集、聯集、差集、
宇集、補集
＊交集與聯集的性質
分配律：A U (B ∩ C) = (A U B) ∩ (A U C)
A
A
B
B
C
C
A
A
A
B
B
B
C
C
C
五、交集、聯集、差集、
宇集、補集
＊交集與聯集的性質
分配律：A ∩ (B U C) = (A ∩ B) U (A ∩ C)
A
B
C
AA
BB
CC
高中第一冊第一章
數
(A) 因數個數：
設
(1)
，其中
之正因數個數
(1)以１２為例：
(2)
之因數個數
為正質因數，
，則
(A)-1
(A)-2
12= 22  31
它的正因數有２的０次方‧３的０次方＝１
(3)
之正因數總和=
２的０次方‧３的１次方＝３
１２＝２的２次方×３的１次方
２的１次方‧３的０次方＝２
(A)-3
它的正因數有２的０次方‧３的０次方＝１ ２的０次方‧３的１次方＝３
２的１次方‧３的１次方＝６
２的１次方‧３的０次方＝２ ２的１次方‧３的１次方＝６
２的２次方‧３的０次方＝４
正 因 數 個 數 /2
( a + 1 ) ( b + ２的２次方‧３的１次方＝１２
1)(c+1)/2
２的２次方‧３的０次方＝４
(4)
之正因數乘積=
=
(A)-4
２的２次方‧３的１次方＝１２
將所有的和將起來會得
把它們頭上的指數拿去作配對，就會得出（２＋１）
（１＋１）＝６個正因數
１２的所有正因數相乘
２的０次方‧３的０次方＋２的０次方‧３的１次方＋２的１次方‧３的０次方
其他數的做法亦同
１×２×３×４×６×１２＝１２×１２×１２
＝１２（２＋１）（１＋１）／２
２＋２的１次方‧３的１次方＋２的２次方‧３的０次方＋２的２次方‧３的１
相乘的話可以把正因數兩個兩個一起配對成１２
，所以把正因數的個數除以２再
次方
乘自己就行，正因數個數是奇數的話要先＋１再除
因式分解即得（２的０次＋２的１次＋２的２次方）
（３的０次方＋３的１次方）
（α＋１）
（β＋１）
（γ＋１）
．．．／２
公式即Ｎ
(B)找因數：
(1) 2 之倍數
末位為偶數
(B)-1
(2) 4 之倍數
末兩位為
4 之倍數
(B)-2
(3) 8 之倍數
末三位為
8 之倍數
(B)-3
(4) 5 之倍數
末位為(B)-4
0或5
(5) 3 之倍數
數字之和為
3 之倍數
(B)-5
(6) 9 之倍數
數字之和為
9 之倍數
(B)-6
(7) 11 之倍數
(奇位數字和) — (偶位數字和)恰為
11 的倍數
(B)-7
(8) 7(13)之倍數
末位起向左每三位為一區間(第奇數個區間之和)— (第偶數個區間之和)
(B)-8
為 7(13)之倍數
(C)質數檢驗：
設
，
，若
沒有小於等於
用平方根去驗證
假設 237 是不是質數
就 15 的平方 225 用 15 以下的質數去驗證
就是 2.3.5.7.11.13.去除
這樣子就可以讓不必要的數字先消掉
最後再檢驗剩下的ＱＱ
的正質因數，則
為質數。
(E)因倍數及公因數，公倍數性質：
(1)
(2)
，若
且
，則
為
之公因數
，則
(3)
，
，則必有二整數
(4)
，則
(E)-4
，使
(E)-3
(F)輾轉相除法原理：
若
，
，若
，
，
，則
(F)-1
(G)整數解：
(1) xy+ax+by=0 型化為
(2)
(3)若已知有一解
(G)-1
為整數)有整數解
 x  x0  bt
，則 
(G)-3
 y  y0  at
(G)-2
(H)有理數、實數：
(1) 有理數：凡是能寫成形如
(2)
，
(
都是整數，且
(H)-1
，若
(3) 整數之離散性：設
)的數叫有理數。
(H)-2
，若
，則 (H)-3 (不等整數之距離至
，若
，則存在
少為 1)
(4) 實數之稠密性：設
(5) 證無理數之另一方法：證
有有根，或有理根不可能為
為一方程式
。
，使
之根，但
(H)-4
沒
(I)複數：
(1)
為實數：
且
為純虛數
(2) 若
，
(3) 設
，則
，
，則
(I)-3
且
(I)-2
(I)-4
第二章
數列級數
(A)等差與等比公式：
(1)級數成等差，若首項
則
，公差
；
(A)-1
(2)級數成等比，若首項
則
若
(A)-3
，
，
；
，等比
(A)-2
，
(A)-4
(A)-5
(3)調和級數：倒數成等差，故可用等差公式。
(B)雜級數公式：
(1)連積之和
(B)-1
(B)-2
(B)-3
(B)-4
(2)
(B)-5
(B)-6
(依此類推)
(C)無窮等比數列及級數之歛散
若 (C)-1 ，則
(a) 無窮等比級數
(C)-2
(b) 無窮雜級數
(C)-3
(D)無窮循環小數，無窮幾何級數：
(1)循環小數化為無窮等比級數求之
(2)化為數字 9 之級數
(3)
(其他類似)
(D)-3
(4)無窮幾何級數求法要領：先求首項及公比
第三章 平面直線方程式
(A)距離公式：
(1) A(
)，A(
則
)，
(A)-1
(2)
中到三頂點等距支點為外心
(A)-2
(3)
則
在
(A)-3
時，產生最小值。
(B)分點公式：
，
，
(a) 若 A-P-B
則
(b) △ABC 中，A
則Ｇ=
或
，B
(B)-2
(B)-1
，C
，重心為 G，
（Ｃ）斜率：
（１）
，
若
，則
若
，則
：
(C)-1
直線的斜率
圖形
無斜率（不加以定義）
（２）直線Ｌ之斜率ｍ，則
１．ｍ＞０，，則右上升
；ｍ＜０，則右下降
﹔
ｍ＝０，為水平線
２．
（３）
越大，則越接近鉛直﹔
(C)-2
越小，則越接近水平。
(C)-3
(C)-4
之斜率分別為
(C)-5
（４）Ａ，Ｂ，Ｃ三點共線
(C)-6
(D)直線方程式：
(1) 點斜式：A(
)，且斜率 m 之直線為
(2) 斜截式：斜率 m，截距 b 之直線為
(3) 兩點式：過 A(
則
(4) 截距式：
)，B(
：
)且
，且
，
則過
(6) 過
(D)-2
(D)-3
，
(5)
(D)-1
交點之直線可設為
之直線為
(D)-4
，
(D)-5
又在 P 點之象限與兩軸圍成最小面積之直線為
而最小面積
(D)-6 ，
(E)對稱點及對稱方程式：
對稱軸(點)
A( xo , yo )之對稱點坐標 圖形 f( x , y )=0 之對稱圖形
(0,0)
A’( (E)-1
-xo , -yo )
F(E)-2
(-x , -y)=0
(a,b)
A’(2a-xo
, 2b-yo)
(E)-3
F(2ax , 2b-y)=0
(E)-4
X軸
A’((E)-5
xo , -yo)
F
(x , -y)=0
(E)-6
Y軸
A’(xo , yo)
(E)-7
F
(-x , y)=0
(E)-8
X=h
A’(2hxo , yo)
(E)-9
F(E)-10
(2h-x , y)=0
Y=k
A’((E)-11
xo , 2k-yo)
F(E)-12
(x , 2k-y)=0
X+Y-k=0
A’(kyo , k-xo)
(E)-13
F(E)-14
(k-y , k-x)=0
X-Y-k=0
A’(y(E)-15
o+k , xo+k)
F((E)-16
y+k , x-k)=0
(註):x+y-k=0
;
x+y-k=0
第四章
二次函數
(A)一元二次方程式
設 a,b,c
R，a
2
0 對於 ax +bx+c=0 中
(1) x=
(2)
二相異實根，
(註):若 a , b , c
相等實根，
Q，且
為有理數之平方
共軛虛根。
根為相異有理根
(3)根之正負:設實係數二次方程式 ax2+bx+c=0 的兩根為
   >0 (c)
0 (b)
(A)-1
1.
皆為正根
(a)
2.
皆為負根
(a)
3.
為同號(皆正或負)
且
(A)-3
>0
4.
為異號(一正根一負根)
且
(A)-4
<0
5.
為純虛數
b=0 且
(A)-5 >0
   <0 (c)
(b)
(A)-2
>0
>0
(B)根與係數關係
(1) 若
, 為 ax2 + bx + c = 0 ( a ≠ 0)之兩根
B-1
§1 一元二次方程式的虛根
• A.複數
設 a, b  R, 規定虛數單位i   1, 則形如 a  bi 的
【註】
數, 稱為以 a 為實部, b 為虛部的複數
1. a, b分別稱為複數a  bi的實部與虛部
a  0, b  0  z為純虛數

2.若z  a  bi, 則a  0, b  0  z為雜虛數
 b  0  z為實數

3.由所有複數所成之集合以C表示, 亦即C  {z | z  a  bi, a, b  R, i   1}
4.常見數系的大小為: N  Z  Q  R  C
例1.試求下列各複數的實部與虛部
(1)1  2 i (2)  3  2 i (3)5  6 i (4)6 (5)  7 i
【解】
(1)實部1，虛部2
(2)實部-3，虛部2
(3)實部5，虛部-6
(4)實部6，虛部0
(5)實部0，虛部-7
§1 一元二次方程式的虛根
• B.複數相等
a  c
【註】 a  bi  c  di  b  d

1.複數系沒有定大小順序。
2.
若a  0, i  1, 則  a  ai
例2.
設a, b  R, i   1, 若(a  3)  2i  4  (b  1)i,
試求
a
,
b
之值

【解】
 a 3  4
a7


2  (b  1) b  3
 a  7, b  3
§1 一元二次方程式的虛根
• C. 的性質
1.
i
2. i 2  1, i 3  i, i 4  1
3. i 4n  1, i 4n1  i, i 4n2  1, i 4n3  i, n  Z
2
3
4
i

i

i

i
0
4.
i 4n  i 4n1  i 4n2  i 4n3  0, n  Z
例3.化簡下列各數
(1) i 25
【解】
(2) i 38
(3) i87
(4) i1236
(1) i 25  i 461  (i 4 ) 6  i  i
(2) i 38  i 49 2  (i 4 )9  i 2  i 2  1
(3) i 87  i 4213  (i 4 ) 21  i 3  i 3  i
(4) i1236  i 4309  (i 4 )309  1
例4.化簡
1  i  i 2  i 3  i 4  i 5  i 6  i 7  i 8  i 9  i10  ?
【解】
原式
 1  (i  i 2  i 3  i 4 )  (i 5  i 6  i 7  i 8 )  i 9  i10
 1  0  0  i  (1)
i
§1 一元二次方程式的虛根
• D.一元二次方程式的虛根
設
，則當
時，
方程式
a, b, c  R, a  0
b 2 之解為兩共軛虛根，
4ac  0
ax2  bx  c  0
且
 b  b 2  4ac
x
2a
例5.解
【解】
x2  2x  3  0
 b  b 2  4ac
x
2a
 2  4  12

2
 1  2i
2
x
例6.設k為實數，若方程式  4 x  k  0
之解為 兩共軛虛根，求k範圍
【解】
∵兩根為共軛虛根，
∴
b 2  4ac  0
 4 2  4k  0
k 4
§2 複數的四則運算
• A.複數的四則運算
設
，則
1. z1  a  bi, z2  c  di
2. z1  z2  (a  bi)  (c  di)  (a  c)  (c  d )i
3. z1  z2  (a  bi)  (c  di)  (a  c)  (c  d )i
z1  z2  (a  bi)  (c  di)  (ac  bd)  (ad  bc)i
4.
z1 a  bi (ac  bd)  (ab  bc)i


z2 c  di
c2  d 2
例1.設
z1  1  2i, z2  2  i
，則
(1) z1  z2 (2) z1  z2 (3) z1  z2 (4) z1 / z2
【解】
(1) z1  z2  (1  2i)  (2  i)  (1  2)  (2  1)i  3  3i
(2) z1  z2  (1  2i)  (2  i)  (1  2)  (2  1)i  1  i
(3) z1  z2  (1  2i)(2  i)  2  i  4i  (2)  5i
z1 1  2i (1  2i)(2  i) 2  i  4i  (2) 4  3i
(4) 



2
2
z2 2  i
2 1
5
5
§2 複數的四則運算
• B.共軛複數及其性質
z  a  bi 的共軛複數以 z 表示，
1.複數
且 z  a  bi  a  bi
2.共軛複數的性值為
(1) z1  z 2  z1  z 2
(2) z1  z 2  z1  z 2
(3) z1  z 2  z1  z 2
 z1  z1
(4)  
 z2  z2

(5) z  z
n
n
§2 複數的四則運算
• C.根數的運算
設
，則
a, b  R
 ab , 當a  0, b  0
(1) a  b  
其他
 ab ,
a  b  2 ab , 當a  0, b  0
2
(2) a  b  
其他
a  b  2 ab ,


例3.化簡下列各式
(1)  2  8 (2) 15  3 (3)  3  12
【解】
(1)  2  8   16  4i
(2)  15  3   45  3 5i
(3)  3   12  6
(C)二次函數:
C-1
(1)頂點座標：
之圖形為拋物線
C-2
(2)對稱軸
(3)
C-3
(4)
C-4
(E)由二次圖形求不等式之解集
(
：
E-1
時，
1、
或
2、
E-2
E-3
時，
1、
2、
E-4
或 E-5
(F)恆正恆負條件
，
，
，
(F)-1
(F)-2
第五章 多項式
(A)多項式之基本性質
(1)若
一多項式，則一切係數之和
1、一切奇式項之係數和
2、一切偶式項之係數和
A-1
A-2
A-3
(2)多項式之相等
1、
同次向對應係數相等
2、任何值 a 代換 x 恆有
3、
(其逆為真)
不超過
A-4
次，只要有 n + 1 個以上
之值帶入相等，則
A-5
。
(B)除法應用
(1)求
之近似值：
化
B-1
再以
代入，適當略去後面部分可得所求。
(2)除法求值：
若
為
可用除法求出
之一根，
，使
為一多項式，求
時，
，則
(C)餘式定理跟因式定理
(1) 餘式定理：
除以
(2) 因式定理：
C-2
又
，且
C-1
之餘式為
(D)求餘式之假設法
(1)
D-1
(2)
而 m+n 為
除以
(3)
之餘式
除以
=
(4)
除以
除
之餘式
之餘式
之餘式
(5)
則
除以
之餘式為
(E)牛頓定理(一次因式之檢驗)
(1)
，
，若
(2)若
為
有
之因式，則
，
之因式，則
E-1，
(F)最高因式與最低公倍式
(1) 利用析因式法
(先分解已知式，再觀察共同因式)
(2) 利用輾轉相除法
(到整除時之最後除式為最高公因式)
(3) 利用和差法:
，
(4)
F-1
為常數)
(G)n 次方程式:
(1) 代數基本定理:每一 n 次程式，只要
，至少有 n 個根。
(2) k 重根算 k 個，則 n 次方程式有 n 個。
(3) 實係數方程式之虛根成共軛對出現。有理係數方程式若有根式之根，亦成
G-1
共軛對出現。
(4)
為實係數，則
G-2
(H)中間值定理與勘根定理
(1) 設
為一連續函數(多項式函數必為連續)，
若 a>b 且
H-1
，則必有一根介於 a 與 b 之間。
(2) 若 a<b，k 重根算 k 個根，則
1、
H-2
間有奇數個根。
2、
H-3
間無實數根或有偶數個實根
(3) 利用勘根定理可勘查無理根位置，以求無理根之近似值。
(用二分逼近法或十分逼近法)
歷年學測試題
2201 與 219+1 的最大公因數為_____
(91 學測)
<Sol.>
(一)
設g=(2201, 219+1)
則
g|(1)(2201)+(2)(219+1)
g|220+1+220+2
g|3 注意! g可能為1(兩數互質)
又2201=(210)212
=(210+1)(2101)
=(210+1)[(25)212]
=(210+1)(25+1)(251)
=(210+1)[(2+1)(2423+222+1)][(21)(24+23+22+2+1)]
=(210+1)(3)(2423+222+1)(1)(24+23+22+2+1)
=3a
19
且2 +1=(2+1)(218217+216215+…+1)
=3(218217+216215+…+1)
=3b
故g=3
(二)
2201=1048576=1048575
219+1=524288+1=524289
2-1
故(2201, 219+1)=(1048575, 524289)=3
整數
在一個圓的圓周上，平均分佈了 60 個洞，兩洞間稱為一間隔。在 A 洞打上一支木樁並綁上線，
然後依逆時針方向前進每隔 9 個間隔就再打一支木樁，並綁上線，依此繼續操作，如下圖所
示。試問輪回到 A 洞需再打樁前，總共已經打了幾支木樁？答：______支。
(91 學測)
<Sol.>
[9, 60]=180
180
 20
9
2-1
整數
在 230 到 240 之間共有多少個質數?
(1) 1 個
(2) 2 個
(3) 3 個
(4) 4 個
(5) 5 個
(91 學測補)
<Sol.>
230, 231, 232, 233, 234, 235, 236, 237, 238, 239, 240
15  225  233  256  16
由於小於或等於 233( 15. ) 的質數2, 3, 5, 7, 11, 13皆無法整除233
所以233確定為質數
同理…
15  225  239  256  16
由於小於或等於 239( 15. ) 的質數2, 3, 5, 7, 11, 13皆無法整除239
所以239確定為質數
2-1
整數
1115 除以 100 的餘數為_____
(91 學測補)
<Sol.>
(一)1-2-1
1 1
 1 1
1 1
2 1
112

1 1
2 1
3 1
113

1 1
3 1
114
1
1
1
2 1
3 1
4 1
結論是…11n=…n1
故1115=…151除以100之餘數為51
(二)4-2-5
11n
=(10+1)n
= C0n10n 10  C1n10n 1 11   Cnn2102 1n 2  Cnn1101 1n 1  Cnn100 1n
=102(…)+n101+111
=100(…)+(10n+1)
11n100餘10n+1
1115100餘151, 亦即餘51
2-1
整數
若正整數 a, b, q, r 滿足 a=bq+r 且令(a, b)表示 a 與 b 的最大公因數，則下列選項何者為真?
(A) (a, b)=(b, r)
(B) (a, b)=(q, r)
(C) (a, q)=(b, r)
(D) (a, q)=(q, r)
(E) (a, r)=(b, q)
(90 學測)
<Sol.>
 a  b  q  r 中, ( a , b )  ( b , r )
被除數
除數
商
餘數
被除數 除數
除數 餘數
 a  q  b  r 中, ( a , q )  ( q , r )
被除數
2-1
除數
商
餘數
被除數 除數
除數 餘數
整數
古代的足球運動，有一種計分法，規定踢進一球得 16 分，犯規後的罰踢，進一球得 6 分。
請問下列哪些得分數有可能在計分板上出現？
(A) 26
(B) 28
(C) 82
(D) 103
(E) 284
(90 學測)
<Sol.>
16x+6y=2(8x+3y)
x
y
8x+3y
13
16x+6y
26
2-1
必為偶數, (D)錯
1
4
1
2
3
11
14
41
28
82
103
17
2
142
284
整數
今年(公元 2000 年是閏年)的 1 月 1 日是星期六。試問下一個 1 月 1 日也
是星期六，發生在公元哪一年？
(89 學測)
<Sol.>
365=752+1
366=752+2
平年的下一年, 星期數會加1
閏年的下一年, 星期數會加2
2000年1月1日星期六
閏年
366=752+2
2001年1月1日星期一
星期六+2=星期一
365=752+1
2002年1月1日星期二
星期一+1=星期二
365=752+1
2003年1月1日星期三
星期二+1=星期三
365=752+1
2004年1月1日星期四
星期三+1=星期四
366=752+2
2005年1月1日星期六
星期四+2=星期六
平年
平年
平年
閏年
平年
2-1
[註]每5年就是一個”輪迴”…
整數
下列何者是 2100 除以 10 的餘數?
(A)0
(B)2
(C)4
(D)6
(E)8
(88 學測)
<Sol.>
(一)a10之餘數等於a之個位數字
24 k 1  ...2
21  2 , 25  3 2
 4k  2
 ...4
22  4 , 26  6 4
2
∵
4k 3
 ...8
23  8 , 27  12 8
2
 4k
24  1 6 , 28  25 6
2  ...6
∴2100=2425=…6
故210010之餘數為6
(二)(a+b)n=a(
)+ bn
前n項
第n 1項
i.e. (a+b)na…餘bn
210010=(25)2010=322010=(103+2)2010=220
22010=(25)410=32410=(103+2)410=24
2410=1610=6
P.S.類題：2100改成3100則答案為1
2-1
整數
已知「偶數的平方是 4 的倍數; 奇數的平方除以 4 餘數為 1」. 考慮五個數: 513, 226,
216, 154, 145. 試問下列何者可以和上述五數中某一數相加成為完全平方數?
(A)513
(B)226
(C)216
(D)154
(E)145
(87 學測)
<Sol.>
(2k  1) 2  4k 2  4k  1  4(k 2  k )  1  4 P  1 如： 1 , 9 , 25, 49, 81,
被 4除餘1
(12 ) (32 ) (52 ) (7 2 ) (92 )
 奇數
完全平方數 
2
2
2k )  4k  4 P
如： 42 , 16,
36, 64,
( 偶數
被 4 整除
(2 ) (42 ) (62 ) (82 )

代表…完全平方數只可能是… 4P 或 4 P  1
被 4 整除
被 4除餘1
亦即…完全平方數不可能是 4P  2 或 4 P  3
被4除餘2
結論是…完全平方數
被 4除餘 3
4P 或 4 P  1
( 如12)
( 如17)
推論…
4P 4P+1 4P+2 4P+3
╳
╳
4P
4P 4P+1
╳
╳
4P+1 4P+1
4P
╳
╳
4P+2
4P
4P+1
╳
╳
4P+3
4P 4P+1
而513=4128+1
4P+1
226=456+2
4P+2
216=454+0
4P
154=438+2
4P+2
145=436+1
4P+1
2-1
整數
(40)255 除以 13 的餘數為(A)1
(B)2
(C)4
40255=(39+1)255
(x+y)n=x(
=39( )+1255
=13[3( )]+1
)+yn
(D)6
(E)8 (85 學測)
<Sol.>
2-1
整數
1
1

若將 4369 5911 化為最簡分數, 則其分母為何?
(A)100487
(B)100489
(C)10280
(D)25825159
(E)25825161
(84 學測)
<Sol.>
(4369, 5911)=257
1
1

4369 5911
1
1
=

257 17 257  23
23  17
=
257 17  23
40
=
(257  23)  17
40
591117
40
=
100487
=
2-1
整數
若實數 a, b, c 滿足 abc>0, ab+bc+ca<0, a+b+c>0, a>b>c，則下列選項何
者為真？
(1) a>0
(2) b>0
(3) c>0
(4) |a|>|b|
(5) a2>c2
(91 學測)
<Sol.>
a, b, c三正或一正兩負
abc  0
由
a, b, c不可能三正
ab  bc  ac  0
得知a, b, c為一正兩負
由a>b>c
得知a>0>b>c
由a+b+c>0

a  b
得知 

a  c
1-2-2 有理數與實數
a2  c2
設實數 a，b 滿足 0<a<1，0<b<1，則下列選項哪些必定為真？
(1)0<a+b<2
(2)0<ab<1
(3)1<ba<0
a
(4)1< b <1
(5)|ab|<1
(91 學測補)
<Sol.>
0  a  1

0  b  1
+
 0<a+b<2

 0<ab<1
(-1)  1<a<0 
+
 1<ba<1
1 1 1
   
取倒數  1  
1 b 0
  0  min{0,1, } 
+  1<ab<1
1-2-2 有理數與實數
1
1
b
a
 max{0,1, }  
b
(-1)  1<b<0 
由,  |ab|<1

|x|<1-1<x<1
試選出正確的選項:
(A)0.3 43 不是有理數
(B) 0.34 
1
3
(C)0. 34 >0.343
(D)0. 34 <0.35
(88 學測)
(E)0. 34 =0.3 43
<Sol.>
343  3 340 34

 Q
990
990 99
34 33 1
(B) (○) 0.34 


99 99 3
(C) (○) 0.34  0.34343434  0.3434343
(A) (╳) 0.343 
(D) (○) 0.34  0.3434
 0.3500
(E) (○) 0.34 = 0.3434343434
1-2-2 有理數與實數
 0.35
= 0.343
 0.3430000
 0.343
設 a= 7  47 , 則 a 在那兩個連續整數之間?
(A)0 與 1
(B)1 與 2
(C)2 與 3
(D)3 與 4
(E)4 與 5
(83 學測)
<Sol.>
3= 9  13  7  6  7  36 <
1-2-2 有理數與實數
7  47 < 7  49  7  7  14  16 =4
平面上有一個直角三角形，其三邊的斜率為實數 m1，m2，m3，並假設 m1＞m2＞m3，則下列選項
哪些必定為真?
(1)m1m2＝1 (2)m1m3＝1 (3)m1＞0 (4)m2≦0 (5)m3＜0 (91 學測補)
1-2-3平面坐標系
在坐標平面上, A(150, 200), B(146, 203), C(4, 3), O(0, 0),則下列選項
何者為真？
(A)四邊形 ABCO 是一個平行四邊形
(B)四邊形 ABCO 是一個長方形
(C)四邊形 ABCO 的兩對角線互相垂直
(D)四邊形 ABCO 的對角線 AC 長度大於 251
(E)四邊形 ABCO 的面積為 1250
(90 學測)
1-2-3平面坐標系
在坐標平面的 x 軸上有 A(2, 0),B(4, 0)兩觀測站，同時觀察在 x 軸上方的一目標 C 點，測得 BAC
8
8
5
及 ABC 之值後，通知在 D( 2 , 8)的砲台此兩個角的正切值分別為 9 及 3 。那麼砲台 D 至目標
C 的距離為______
(90 學測)
1-2-3平面坐標系
在坐標平面上，根據方程式 x+5y7=0, 2x+y+4=0, xy1=0 畫出三條直線 L1, L2, L3，如圖所示。
試選出方程式與直線間正確的配置？
(A)L1: x+5y7=0; L2: 2x+y+4=0; L3: xy1=0
(B)L1: xy1=0; L2: x+5y7=0; L3: 2x+y+4=0
(C)L1: 2x+y+4=0; L2: x+5y7=0; L3: xy1=0
(D)L1: xy1=0; L2: 2x+y+4=0; L3: x+5y7=0
(E)L1: 2x+y+4=0; L2: xy1=0; L3: x+5y7=0
(89 學測)
【解答】(D)
【詳解】
由圖形可以看出 L1 的斜率為正（直線向右上升）
∴ 得知 L1：x  y 1  0
L2，L3 二直線斜率均為負（向右下降）
但 L2 的截距為負，L3 的截距為正
1-2-3平面坐標系
∴ L2：2x  y  4  0，L3：x  5y  7  0
一位海盜將三件珠寶埋藏在一個島上的三個地方, 海盜就以島上的一棵大王椰子樹為中心, 由大
王椰子樹向東走 12 步埋他的第一件珠寶; 由大王椰子樹向東走 4 步, 再往北走 a 步埋他的第二件
珠寶; 最後由大王椰子樹向東走 a 步, 再向南走8 步埋他的第三件珠寶. 事隔多年之後, 海盜僅記
得 a>0 及埋藏珠寶的三地方在同一直線上. 那麼 a=______
(88 學測)
1-2-3平面坐標系
ax  4 y  1

( a  1) x  3 y  2
x  2 y  3

設不共點的三直線之方程式分別為
線會圍出一個直角三角形?
(A)8
(B)4 (C)1
(D)3
(E)5
1-2-3平面坐標系
, 其中 a 為實數. 試問 a 為何值時, 上述三直
(87 學測)
已知三角形由三直線 y=0, 3x2y+3=0, x+y4=0 所圍成, 則其外
接圓之直徑為______
(86 學測)
1-2-3平面坐標系
坐標平面上點 A(1, 2)到直線 L 的垂足是 D(3, 2). 問 A 對於 L 的對稱點是下列那一點?
(A)(2, 0)
(B)(1, 2)
(C)(2, 0)
(D)(2, 2)
(E)(5, 2)
(85 學測)
<Sol.>
A' =(231, 222)=(5, 2)
2 D A
1-2-3平面坐標系

下圖中 A、B、C、D、E 為坐標平面上的五個點, 將這五點的坐標(x, y)分別代入 xy=k, 問那一點
所得的 k 值最大?
(A)A
(B)B
(C)C
(D)D
(E)E
(84 學測)
<Sol.>
xy=k
找k值最大
y
x
=1

k
k
x截距 y截距
相當於找x截距最大
E點之直線x截距最大(位於最右側)
故E點之k值最大
1-2-3平面坐標系
有四條直線 L1: xy=1, L2: x+y=4, L3: 8x+y=10 和 L4: x=2. 這四條直線圍出一個四邊形. 請問此四
邊形較短的對角線長度為多少?
(84 學測)
<Sol.>
AC  (2  2)2  (1  6)2  41
BD  (2 1)2  (2  2)2  25 =5
1-2-3平面坐標系
較短
平面上四點 A(1, 2), B(4, 2), C(2, 1)和 O(0, 0). 過 B 點作直線 OC 的平行線交直線 OA 於 D 點, 則
D 點坐標為______
(83 學測)
<Sol.>
20

OA
:
y

0

( x  0) (兩點式)

1  0


1  0
( x  4) (點斜式)
 BD : y  2 
20

OC斜率

OA : 2 x  y  0

 BD : x  2 y  8
D=(x, y)= ( 83 , 163 )
1-2-3平面坐標系
BD // AC
已知 A(1, 2)與 B(3, 4)為兩定點, P(x, y)為直線 x+2y=3 上一點. 問 PA  PB 時, P 的坐標為______
(83 學測)
<Sol.>
(一)1-2-3
1

1 3
2 4
 y  2  42 ( x  2 )

3 1
x  2 y  3

 AB 中垂線
x  y  5

x  2 y  3
P=(x, y)=(7, 2)
(二)3-1-2
設P(32t, t)
Px+2y=3
(2  2t )2  (t  2)2  (2t )2  (t  4)2
(22t)2+(t2)2=(2t)2+(t4)2
5t212t+8=5t28t+16
8=4t
t=2
故P=(7, 2)
1-2-3平面坐標系
 PA  PB
2.設 P(x，y)為坐標平面上一點，且滿足
( x  1) 2  ( y  2) 2  ( x  3) 2  ( y  4) 2  (3  1) 2  (4  2) 2 ，那麼 P 點的位
置在哪裡？
(1)第一象限
【解答】(1)
(2)第二象限
(3)第三象限
(4)第四象限
(5) x 軸或 y 軸上
【詳解】
令 A(1，2)，B(3，4)，按題意 PA  PB  AB ，知表線段 AB
又 A、B 均在第一象限 ∴
P 在第一象限
91-92學測補考
8
3
18.有一個無窮等比級數，其和為 ，第四項為 ，已知公比為一有理數，則當
9
32
公比以最簡分數表示時，其分母為
(A) 2 (B) 3 (C) 4
【解答】(C)
(D) 6
(E) 8
【詳解】
令首項 a，公比 r 且 | r |  1

256
1

得

r 3 (1  r ) 27

 r
3
4
8
 a

1  r 9 ……

ar 3  3

32 ……
∴
分母為 4
91-92學測補考
25.設 f (x)為二次函數，且不等式 f (x)  0 之解為  2  x  4，則 f ( 2 x )  0 之解
為
(A) 1  x  2 (B) x   1 或 x  2 (C) x   2 或 x  4 (D)  4  x  8 (E) x
4或 x8
【解答】(B)
【詳解】
令 f (x)  ax2  bx  c，a  0
 x2  2x  8  0 
∴
a b c
  且a0
1 2 8
 (x  2) (x  4)  0
 x2  2x + 8  0
 b   2a，c   8a
∴ f (2x)  0，即 4ax2  4ax  8a  0
 x2  x  2 > 0

x1或x2
91-92學測補考
若六位數 92a92b 可被 9 整除，則 a  b 之值可能為
(1) 1 (2) 3
【解答】(3)
【詳解】
(3) 5
(4) 7
(5) 9
若 92a92b 可被 9 整除，則 9  2  a  9  2
 b 可被 9 整除
所以 22  (a  b)可被 9 整除
當 a  b  1，則 22  (a  b)  23
當 a  b  3，則 22  (a  b)  25
當 a  b  5，則 22  (a  b)  27 可被 9 整除
當 a  b  7，則 22  (a  b)  29
當 a  b  9，則 22  (a  b)  31，故選(3)
91-92學測補考
方程式 x4  2x2  1  0 有多少個實根？
(1) 0 (2) 1
【解答】(3)
(3) 2
(4) 3
(5) 4
【詳解】
x4  2x2  1  0  [x2  (  1  2 )][x2  (  1  2 )]  0
若 xR，則 x2  0
∴ x2  2  1

x2   1  2
 x
∴
x2  (  1  2 )  0
2  1 ，共 2 個實根
91-92學測補考
某人存入銀行 10000 元，言明年利率 4％，以半年複利計息，滿一年本利和為 Q
元。則 Q 
【解答】10404
【詳解】
10000[1  (
。
4
 2)]2  10404
100
91-92學測補考
設多項式(x  1)6 除以 x2  1 的餘式為 ax  b，則 a 
b
，
。
【解答】 8，0
【詳解】
(1  i)2  1  2i  1  2i，(1  i)6  (2i )3   8i
(x  1)6  (x2  1) Q (x)  ax  b
∴ a   8，b  0

 8i  ai  b
91-92學測補考
試問不等式(x2  4x  2)(2x  5)(2x  37)  0 有多少個整數解？答：
【解答】17
【詳解】
個。
(x2  4x  2)(2x  5)(2x  37)
 [ x  ( 2  2 )][x  (2  2 )] (2x  5) (2x  37)  0
5
37
2  2 3.414，2  2 0.586，
 2.5，
 18.5
2
2
∴
x  1，2，4，5，6，…，18，共 17 個
91-92學測補考
設 m 為實數，若二次函數 y  mx2  10 x  m  6 的圖形在直線 y  2 的上方，則
m 的範圍為何？
(A) m > 0
 29
(B) m >  2  29
(C) 0 < m <  2  29
(D)  2  29 < m <  2
(E) m >  2  29 或 m <  2  29
【解答】(B)
【詳解】
∵
對於任意實數 x 恆有 mx2  10x  m  6 > 2
 mx2  10x  (m  4) > 0，x  R
……
m  0
2
 4 m  25 > 0
m
，由得
故
2
D  10  4m(m  4)  0 ……
 m >  2  29 或 m <  2  29 。但 m > 0
∴
m >  2  29
83-84學測
設 a  7  47 ，則 a 在哪兩個連續整數之間？
(A) 0 與 1
(B) 1 與 2
(C) 2 與 3
(D) 3 與 4
(E) 4 與 5
【解答】(D)
【詳解】
勘根定理：a  7  47
∴
x2  7  47  0
令 f (x)  x2  7  47
f (3)  9  7  47  2  47 < 0，f (4)  16  7  47  9  47 > 0
∴
f (3)．f (4) < 0 ∴
在 3 與 4 之間，選(D)
83-84學測
1
1
若將

化為最簡分數，則其分母為何？
4369 5911
(A)100487 (B)100489
【解答】(A)
【詳解】
(C)10280 (D)25825159 (E)25825161
利用輾轉相除法，求得 4369，5911 的最大公因數  257
∴ 4369  257  17，5911  257  23
 [4369，5911]  257  17  23  100487

1
23  17
40
1



4369 5911 257 17  23 100487
83-84學測
若函數 f (x)  ax2  bx  c 的圖形如下圖，則下列各數哪些為負數？
(A) a
(B) b (C) c (D) b2  4ac (E) a  b  c
【解答】(C)(E)
【詳解】
(A) f (x)  ax2  bx  c，拋物線開口向上
(B)頂點在第 3 象限
∴ 
b
<0
2a
∴ a>0
∴ b>0
(C)拋物線交 y 軸於 x 軸下方 ∴ c  0
(D)拋物線交 x 軸於兩點 ∴ b2  4ac > 0
(E)令 x  1 ∴ f (1)  a (1)2  b (1)  c  a  b  c < 0
∴ 應選(C)(E)
83-84學測
已知 A (1，2)與 B (3，4)為兩定點，P (x，y) 為直線 x + 2y  3 上一點。問 PA  PB
時，P 的坐標為
。
【解答】(7， 2)
【詳解】
m AB 
42
 1， AB 中點 M (2，3)
3 1
過 M 垂直 AB 之直線 L：y  3  (1) (x  2)
∴
x  y  5  0……
  得 y   2
∵
∴ x7
x + 2y  3  0……
∴
P (7， 2)
83-84學測
一皮球自離地面 10 公尺高處落下。首次反彈高度為
10
公尺，此後每次反彈高度
3
1
為其前次反彈高度的 ，則此球到完全靜止前，所經過路徑的總長度為
3
公尺。
【解答】20
【詳解】
10  2 
 10 
10
1
1
 2  10 ( )2  2  10 ( )3 …
3
3
3
20
1
1
20
20 3
1
[1   ( )2  …]  10 

 10 
  20
1
3
3
3
3
3 2
1
3
83-84學測
平面上四點 A (1，2)，B (4，2)，C (2，1) 和 O (0，0)。過 B 點作直線 OC 的
平行線交直線 OA 於 D 點，則 D 點的坐標為
。
8 16
【解答】( ， )
3
3
【詳解】
m OC 
1 0
1
1
  ， BD ：y  2   (x  4)
20
2
2
OA ：y  2 
20
(x  1)
1 0
∴
∴
x  2y  8  0……
2x  y  0……
 2 得 3y  16  0
∴
y
16
3
∴
x
8
3
∴
8 16
D ( ， )
3
3
83-84學測
每次用 20 根相同的火柴棒圍成一個三角形，共可圍成
種不全等的三
角形。
【解答】8
【詳解】
令三邊長 x，y，z 且 x  y  z，x  y  z  20 ∴
xy>z
∴ z  z < 20 ∴ z < 10，但 z  7 ∴ 7  z  10
(1) z  7
∴ x  y  13
∴
x 6
y 7
4 5 6
8 7 6
2 3 4 5
9 8 7 6
(2) z  8
∴ x  y  12
∴
x
y
(3) z  9
∴ x  y  11 ∴
x
y
∴ 1348
83-84學測
已知 p 為常數，若 x2  px  6 與 x3  px  6 的最低公倍式為四次式，則 p

。
【解答】 7
【詳解】
令 f (x)  x2  px  6，g (x)  x3  px  6
deg ([ f (x)，g (x)] )  4 ∴ deg (( f (x)，g (x)))  1
g (x)  f (x)  (x3  px  6)  (x2  px  6) ∵ x 不為公因式
∴ x  1 為公因式 ∴ f (1)  1  p  6  0 ∴ p   7
83-84學測
已知二多項式
10
P(x)  1  2x  3x  …  10x  11x   (i  1) x i ，與 Q (x)  1  3 x2  5 x4
2
9
10
i 0
5
 …  9 x  11 x   (2i  1) x 2i ，則 P (x)和 Q (x)的乘積中，x9 的係數
8
10
i 0
為
【解答】110
。
【詳解】
P(x)  Q(x)
 (1  2x  3x2  …  10x9  11x10)(1  3x2  5x4  7x4  9x8  11x10)
比較 x9 的係數，得 2  9  4  7  6  5  8  3  10  1  110
83-84學測
有四條直線 L1：x  y  1，L2：x  y  4，L3：8 x  y  10 和 L4：x  2。這四條
。
直線圍出一個四邊形。請問此四邊形較短的對角線長度為多少？
【解答】5
【詳解】
先在坐標平面上作出 L1，L2，L3，L4 四條直線的圖形
得四邊形四頂點 A，B，C，D
其坐標為 A(2，2)，B(2，1)，C(1， 2)，D( 2，6)

AC  9  16 ， BD  16 25  41
∴
較短的對角線長  5
83-84學測
假設某鎮每年的人口數逐年成長，且成一等比數列。已知此鎮十年前有 25 萬人，
現在有 30 萬人，那麼二十年後，此鎮人口應有
點後一位）
萬人。
（求到小數
【解答】43.2
【詳解】
設公比為 r，10 年前人口為 a1，則 a11  a1r10
 30  25 r10
∴
 r10 
6
5
6
216
a31  a1r30  25  ( )3 
 43.2
5
5
83-84學測
(40)255 除以 13 的餘數為
(A) 1 (B) 2 (C) 4
【解答】(A)
(D) 6
(E) 8
【詳解】
利用二項式定理
255
(40)255  (39  1)255  C 0255 39255  C 1255 39254  …  C 255
254 39  C 255
 39 k  1（其中 k 為一自然數）
故 40255 被 13 除之餘數為 1
85-86學測
設 f (x)為二次函數，且不等式 f (x)  0 之解為  2  x  4，則 f ( 2 x )  0 之解為
(A) 1  x  2 (B) x   1 或 x  2
4或 x8
【解答】(B)
【詳解】
令 f (x)  ax2  bx  c，a  0
 x2  2x  8  0 
∴
a b c
  且a0
1 2 8
(C) x   2 或 x  4
(D)  4  x  8
(E) x
 (x  2) (x  4)  0
 x2  2x + 8  0
 b   2a，c   8a
∴ f (2x)  0，即 4ax2  4ax  8a  0
 x2  x  2 > 0  x   1 或 x  2
85-86學測
8
3
有一個無窮等比級數，其和為 ，第四項為 ，已知公比為一有理數，則當公
9
32
比以最簡分數表示時，其分母為
(A) 2 (B) 3 (C) 4
【解答】(C)
【詳解】
令首項 a，公比 r 且 | r |  1

256
1

得

r 3 (1  r ) 27
(E) 8
(D) 6

 r
3
4
8
 a

1  r 9 ……

ar 3  3

32 ……
∴
分母為 4
85-86學測
坐標平面上兩直線之斜率分別為 3 及
(A) 30 (B) 36 (C) 45
【解答】(A)
【詳解】
(D) 60
3
其一交角，則 | tan  | 
1
，則下列何者為其一交角？
3
(E) 90
1
1
3

1
3
1 3 
3
   30或 150
85-86學測
坐標平面上點 A (1，2)到直線 L 的垂足是 D (3，2)。問 A 對於 L 的對稱點是下列
哪一點？
(A) ( 2，0)
【解答】(E)
【詳解】
(B) (1，2) (C) (2，0)
(D) (2，2) (E) (5，2)
設 A 對於直線 L 的對稱點為 B (x，y)，則 AB 的中點為 D
x 1
 2  3
解得 x  5，y  2，即 B 的坐標為 (5，2)
由中點坐標公式 
y  2 2
 2
85-86學測
設 f (x)為實係數三次多項式，且 f (i)  0（i   1 ）
，則函數 y  f (x)的圖形與 x
軸有幾個交點？
(A) 0 (B) 1 (C) 2
【解答】(B)
(D) 3
(E)因 f (x)的不同而異
【詳解】
利用複根定理：實係多項式方程式有一根 a  bi，則必有一根 a  bi（其中 a，b
為實數）
f (x)為三次多項式，f (i)  0
 f ( i)  0
f (x)  0 之第三個根必為實根，也是唯一的實根
∴ y  f (x)之圖形與 x 軸有一個交點
85-86學測
已知拋物線 的方程式為 y  (x  1)2  1，且直線 y  2x  2 與 相切。設 L 為斜
率等於 2 的直線，若 L 與 有兩個交點，則 L 上任一點 P 的坐標 (x，y) 滿
足下列哪個關係式？（參考下圖）
(A) y  (x  1)2  1 (B) y  (x  1)2  1
(E) y  2x + 2
(C) y  (x  1)2  1
(D) y  2x  2
【解答】(D)
【詳解】
依題意，直線 L 上之任一點 P (x，y)恆在
y  2x  2 的上方
故 y  2x  2
85-86學測
有一個 101 項的等差數列 a1，a2，a3，…，a101，其和為 0，且 a71  71。問下列
選項哪些正確？
(A) a1  a101  0
【解答】(C)(E)
【詳解】
(B) a2  a100 < 0
設公差為 d，則 S101 
(C) a3  a99  0
101
[2 a1  (101 1) d ]  0
2
∴
(D) a51  51
(E) a1 < 0
a1  50 d  0
而 a1  a101  a2  a100  a3  a99  …  2 a51  2a1 + 100 d  2 (a1  50 d)  0
又 a71  a1 + 70 d  (a1  50 d)  20d  20d  71 > 0 ∴ d > 0
因而 a1 < 0
選(C)(E)
85-86學測
3
設 f (x)   ( x  n)
n 1
2
10
  ( x  n) 2 ，若 f (x)在 x  a 處有最小值，則
n 8
(A) a 為整數 (B) a  5.1
【解答】(B)(C)
【詳解】
(C) a  5.9
(D) | a  4 |  0.5
(E) | a  6 |  0.5
f (x)  (x  1)2  (x  2 )2  (x  3)2  (x  8)2  (x  9)2  (x  10)2
 6x2  66x + 259  6 (x  5.5)2 
∴
∴
397
2
x  5.5  a 時，f (x)有最小值
正確為(B)(C)
85-86學測
設 y  f (x)的圖形是兩條半線，其原點附近的部分圖形如下圖。令 h (x)  f (x)  f (x
 6 )，則 h (x)有下列哪些性質？
(A)有最小值  6 (B)有最小值  3
最大值 6
(C)有最小值 0
(D)有最大值 3
(E)有
【解答】(A)(D)
【詳解】
y  f (x  6)的圖形係 y  f (x)圖形右移 6 單位而得，如上圖
h (x)  f (x)  f (x  6 )
由上圖可知 f (x)之最大值為 3，最小值為  6
85-86學測
設 f (x)  x5  6x4  4x3  25x2  30x  20，則 f ( 7) 
【解答】6
。
【詳解】
1  6  4  25  30  20  7
 7  7  21  28  14
1 1  3  4  2  6
∴
f ( 7)  6
85-86學測
設 1 i 為 x2  ax  3  i  0 的一根，則 a 的值為何？
(A)  3 (B)  2 (C) 1  i
【解答】(A)
(D) 2 (E) 3
【詳解】
《方法 1》
1  i 為 x2  ax  3  i  0 的一根，則
(1  i)2  a (1  i)  3  i  0（把 x 用 1  i 代入）
 a
 (3  3i )
 3
1 i
《方法 2》
設另一根為  ．(1  i)  3  i（根與係數關係）
3  i (3  i )(1  i )
 

2i
1  i (1  i )(1  i )
∴
∴
(1  i)(2  i)   a
a3
 3a
87學測
已知「偶數的平方是 4 的倍數；奇數的平方除以 4 餘數為 1」
。考慮五個數：513，
226，216，154，145。試問下列何者可以和上述五數中的某一數相加成為完
全平方數？
(A) 513 (B) 226 (C) 216
【解答】(A)(C)(E)
(D) 154 (E) 145
【詳解】
完全平方數被 4 除之，餘數必為 0 或 1，但反之則不然
而 513，226，216，154，145 被 4 除之的餘數分別為 1，2，0，2，1
故若用 513 與上述五數相加，欲得完全平方數
可能數只有 216，而 513  216  729  (27)2
同理，226 只可能加 226 或 154，但皆不合
∴
513 合
216 只可能加 513 或 145，而 216  145  361  (19)2
∴ 216 及 145 皆合，154 經檢查亦不合
由上知可選(A)(C)(E)
87學測
ax  4 y  1

設不共點的三直線之方程式分別為 (a  1) x  3 y  2 ，其中 a 為實數。試問 a 為
x  2 y  3

何值時，上述三直線會圍出一個直角三角形？
(A)  8 (B)  4 (C) 1
【解答】(A)(B)(D)(E)
【詳解】
(D) 3
(E) 5
L1：ax  4y  1，L2：(a  1) x  3y  2，L3：x  2y  3
L1  L2 時，a (a  1)  ( 4)  3  0
 a2  a  12  0  a   4 或 3
L2  L3 時，(a  1)  3  ( 2)  0  a  5
L3  L1 時，a  ( 4)  ( 2)  0  a   8
a1 x  b1 y  c1 與 a2 x  b2 y  c2 垂直時，a1 a2  b1 b2  0
87學測
設 a 與 b 均為實數，且二次函數 f (x)  a (x 1)2  b 滿足 f (4) > 0，f (5) < 0。試問
下列何者為真？
(A) f (0) > 0 (B) f (1) > 0
【解答】(A)(B)(C)
(C) f ( 2) > 0
(D) f ( 3) > 0 (E) f ( 4) > 0
【詳解】
《方法 1》
f (x)  a (x 1)2  b 表示頂點為 (1，b)之拋物線，對稱軸為 x  1
又 f (4) > 0，f (5) < 0，可知其略圖如上
則 f (0)  f (2) > 0，f (1)  f (3) > 0，f ( 2)  f (4) > 0
f ( 3)  f (5) < 0，f ( 4)  f (6) < 0
《方法 2》
f (4)  2 a  b > 0……，f (5)  16 a  b < 0……
  得  7a > 0  a < 0  b > 0
f (0)  a  b > 9 a  b > 0，f (1)  4a  b > 9 a  b > 0
f ( 2)  9a  b > 0，f ( 3)  16 a  b < 0，f ( 4)  25a  b < 0
87學測
設 a 與 b 均為實數。若
則2ab
【解答】9
【詳解】
a
b
a
b
a
b
 2  3  4  …  2 n 1  2 n  …  3，
2
2
2
2
2
2
。
a
b
a
b
a
b
 2  3  4  …  2 n 1  2 n  …
2
2
2
2
2
2
 (2 a  b) (
1
1
1
1
)

(2
a

b)
(
)
(2
a

b)
(
)

…

(2
a

b)
(
) …
2
4
6
n
2
2
2
2
2a  b
4  2a  b  3  2 a  b  9
1
3
1
4
87學測
在等比數列<an>中，a1  1，a4  2  5 ，a n  2  a n 1  an，n  1。則<an>的公比

。
【解答】
1 5
2
【詳解】
<an>是等比數列，令公比為 r
 a n  2  a1 r n 1 ，a n 1  a1 r n，an  a1 r n 1
由 a n  2  a n 1  an 知 r n 1  r n  r n 1

r n 1 (r2  r 1)  0，但 r  0
 r
∴
r

r2  r 1  0
1 5
及 a4  a1 r3  r3  2  5 < 0
2
 r<0
1 5
2
87學測
設 f (x) 為一多項式。若 (x  1) f (x) 除以 x2  x  1 的餘式為 5x  3，則 f (x)除以 x2  x  1 的餘式為
。
【解答】2 x  5
【詳解】
《方法 1》
由 (x  1) f (x) 除以 x2  x  1 的餘式為
5x  3 知
(x  1) f (x)  ( x2  x  1) Q (x)  5x  3……（除法原理）
令 x  1 代入式得 0  Q (1)  2  Q (1)  2
由餘式定理知 Q (x)被 x  1 除之餘式為 2
∴ Q (x)  (x  1) Q (x)  2 代回得
(x  1) f (x)  ( x2  x  1) [(x  1) Q (x)  2 ] 5x  3
 ( x2  x  1) (x  1) Q (x)  2 x2 7x  5
 (x + 1) [(x2  x  1) Q (x)  (2 x  5)]
 f (x)  (x2  x  1) Q (x)  2 x  5，故餘式為 2x  5
《方法 2》
設 f (x)被 x2  x  1 除之餘式為 ax  b，由除法原理知
f (x)  (x2  x  1) Q (x)  ax  b
 (x  1) f (x)  (x + 1) (x2  x  1) Q (x)  (ax  b) (x 1)
 (x + 1) (x2  x  1) Q (x)  a (x2  x  1)  b x  (b  a)
 (x2  x  1) [(x + 1) Q (x)  a ]  b x  (b  a)
此式表 (x  1) f (x) 除以 x2  x  1 的餘式為 5x  3
∴ b x  (b  a)  5x  3 ∴ b  5，a  2
則所求之餘式為 2x  5
《方法 3》
(x  1) f (x)  (x2  x  1) Q (x)  5x  3
令 為 x2  x  1  0 之一根  (  1) f ()  5  3
 f () 
5ω  3 (5ω  3)ω 5ω 2  3ω


ω 1
1
(ω  1)ω
  5 2 3
 f ()   5 (1 )  3  2  5
∴ f (x) 除以 x2  x  1 的餘式為 2x  5
87學測
在三位數中，百位數與個位數之差的絕對值為 2 的數，共有
【解答】150
【詳解】
百位、個位各為 2，0 的 2 □0 有 10 個
而 1 □ 3 及 3 □ 1 亦各有 10 個
同理百位、個位由 (2，4)，(3，5)，(4，6)
(5，7)，(6，8)，(7，9)組成的各有 20 個
個。
∴ 共有 10  7  20  150
87學測
下列何者是 2100 除以 10 的餘數？
(A) 0 (B) 2 (C) 4
【解答】(D)
(D) 6
(E) 8
【詳解】
n
1
2
3
4
5
6

2n 除以 10 的餘數
2
4
8
6
2
4

由上表知 2n 餘以 10 的餘數為 2，4，8，6，2，4，8，6，…
週期為 4，而 100  4  25……0 ∴ 其餘數為 6
88-89學測
三次方程式 x3  x2  2x 1  0 在下列哪些連續整數之間有根？
(A)  2 與 1 之間 (B) 1 與 0 之間
與 3 之間
(C) 0 與 1 之間
(D) 1 與 2 之間
(E)2
【解答】(A)(B)(D)
【詳解】
x  2 1 0 1 2
f (x)  x  x  2x 1 f (x) 1 1 1 1 7
3
2
∵
f ( 2) f (1)  0，f (1) f (0) < 0，f (1) f (2) < 0
∴
f (x)  0 在  2 與 1 之間，1 與 0 之間，1 與 2 之間各有一個實根
88-89學測
試選出正確的選項：
(A) 0.3 43不是有理數
(B) 0. 34 >
1
3
(C) 0. 34 > 0.343
(D) 0. 34 < 0.35
(E)
0. 34  0.3 43
【解答】(B)(C)(D)(E)
【詳解】
0.3 43 0.343434…  0.34  0.0034  0.000034  … 
∴
0.3 43是有理數，
0.34
34
  0. 34
1  0.01 99
34 33 1
>  ，0.3 43 0. 34 > 0.343，0. 34 < 0.35
99 99 3
88-89學測
一位海盜欲將三件珠寶埋藏在一個島上的三個地方，海盜就以島上的一棵大王椰
子樹為中心，由大王椰子樹向東走 12 步埋他的第一件珠寶；由大王椰子樹向
東走 4 步，再往北走 a 步埋他的第二件珠寶；最後由大王椰子樹向東走 a 步，
再往南走 8 步埋他的第三件珠寶。事隔多年之後，海盜僅記得及埋藏珠寶的
三個地方在同一直線上。那麼 a 
【解答】16
。
【詳解】
以大王椰子樹為原點，向東為 x 軸正向，向北為 y 軸正向，每一步為一單位，建
立一直角坐標系，得知
第一件珠寶在 A (12，0)，第二件珠寶在 B (4，a)
第三件珠寶在 C (a， 8)
三點共線
∴
0  a 0  (  8)

12  4 12  a

a
8

8 12  a
∴ a2  12 a  64  0  (a 16) (a  4)  0，但 a > 0 ∴ a  16
88-89學測
今年（公元 2000 年是閏年）的 1 月 1 日是星期六。試問下一個 1 月 1 日也是星
期六，發生在公元哪一年？答：
【解答】2005
。
【詳解】
2000 年有 366 天除以 7 餘 2，2001 年有 365 天除以 7 餘 1
2002 年有 365 天除以 7 餘 1，2003 年有 365 天除以 7 餘 1
2004 年有 366 天除以 7 餘 2
2  1  1  1  2  7 為 7 的倍數
∴ 2000 年元旦與 2005 年元旦同為星期六
88-89學測
將自然數按下列規律排列，每一列比前一列多一個數，如下表所示：
第1列
第2列
第3列
第4列
第5列
……
1
2，3
4，5，6
7，8，9，10
11，12，13，14，15
……
試問第 100 列第 3 個數是多少？答：
【解答】4953
。
【詳解】
這是一個階差數列的問題
先將每一列的第一個數列出來得一數列
1，2，4，7，11，16，…
1 2
3 4 5
這個數列的第 n 項 an 即為第 n 列的第一項
∴ an  1  1  2  3  …  (n 1)  1 
∴ a100  1
99．100
 4951
2
( n  1) n
2
∴ 第 100 列第 3 個數是 4953
88-89學測
設三次方程式 x3  17x2  32x  30  0 有兩複數根 a  i，1  bi，其中 a，b 是不為
0 的實數。試求它的實根。答：
。
【解答】15
【詳解】
《方法 1》
實係數方程式如果有虛根，則必有共軛虛根
即三次方程式只可能有兩個虛根
∴
a  i 與 1  bi 為共軛虛根
∴
a  1，b  1
因而可得一個二次方程式 x2  2x  2  0
∴ x3  17x2  32x  30  (x2  2x  2)( x  15)  0
∴ 實根為 15
《方法 2》
根據實係數方程式，如果有虛根，則必有共軛虛根
得知二虛根為 1  i，1  i
再利用根與係數關係，設實根為

  (1  i)  (1  i)  17    15
88-89學測
設 P(x，y)為坐標平面上一點，且滿足
( x  1) 2  ( y  2) 2  ( x  3) 2  ( y  4) 2  (3  1) 2  (4  2) 2 ，那麼 P 點的位
置在哪裡？
(1)第一象限
(2)第二象限
(3)第三象限
(4)第四象限
(5) x 軸或 y 軸上
【解答】(1)
【詳解】
令 A(1，2)，B(3，4)，按題意 PA  PB  AB ，知表線段 AB
又 A、B 均在第一象限
∴
P 在第一象限
90-91學測
一機器狗每秒鐘前進或者後退一步，程式設計師讓機器狗以前進 3 步，然後再後
退 2 步的規律移動。如果將此機器狗放在數線的原點，面向正的方向，以 1
步的距離為 1 單位長。令 P(n)表示第 n 秒時機器狗所在位置的坐標，且 P(0) 
0。那麼下列選項何者為真？
(1) P(3) = 3 (2) P(5)  1
【解答】(1)(2)(3)(4)
(3) P(10)  2
(4) P(101)  21
(5) P(103)  P(104)
【詳解】
P(0)  0，P(1)  1，P(6)  2，P(101)  21（101  5  20 餘 1
 21）
P(2)  2，P(7)  3，P(3)  3，P(8)  4，P(103)  23
（103  5  20 餘 3  23）
P(4)  2，P(9)  3，P(104)  22（104  5  20 餘 4
 22）
P(5)  1，P(10)  2
90-91學測
某甲自 89 年 7 月起，每月 1 日均存入銀行 1000 元，言明以月利率 0.5％按月複
利計息，到 90 年 7 月 1 日提出。某乙則於 89 年 7 月起，每單月（一月、三
月、五月…）1 日均存入銀行 2000 元，亦以月利率 0.5％按月複利計息，到
90 年 7 月 1 日提出。一整年中，兩人都存入本金 12000 元。提出時，甲得本
利和 A 元，乙得本利和 B 元。問下列選項何者為真？
 12 1005 k 
 6 1005 2 k 
(1) B  A (2) A  1000  (
)  (3) B  2000  (
) 
1000
1000
 k 1

 k 1

1005 12
1005 12
12000(
)
(5) B  12000(
)
1000
1000
(4) A 
【解答】(1)(2)(3)(4)(5)
【詳解】
∵ 1.005  1 ∴ 1.005m  1.005n，m，nN，m  n
A  1000(1.005  1.0052  1.0053  …  1.00512)
B  2000(1.0052  1.0054  1.0056  …  1.00512)
 1000(1.0052  1.0052  1.0054  1.0054  …  1.00512)
 1000(1.005  1.0052  1.0053  …  1.00512)  A
又 A  1000(1.00512  1.00512  …  1.00512)  12000(1.005)12
B  2000(1.00512  1.00512  …  1.00512)  12000(1.005)12
90-91學測
古代的足球運動，有一種計分法，規定踢進一球得 16 分，犯規後的罰踢，進一
球得 6 分。請問下列哪些得分數有可能在計分板上出現？
(A) 26 (B) 28 (C) 82
【解答】(B)(C)(E)
【詳解】
(D) 103
(E) 284
假設踢進 x 次，犯規後罰踢，踢進 y 次
其得分為 n  16x  6y  2(8x  3y)（x，yN  {0}）
(B)取 x  1，y  2 得 n  28
(C)取 x  4，y  3 得 n  82
(E)取 x  17，y  2 得 n  284
∴ (B)(C)(E)成立
90-91學測
若正整數 a，b，q，r 滿足 a  bq  r，且令(a，b)表示 a 與 b 的最大公因數，則
下列選項何者為真？
(A) (a，b)  (b，r) (B) (a，b)  (q，r) (C) (a，q)  (b，r)
r) (E) (a，r)  (b，q)
【解答】(A)(D)
【詳解】
(D) (a，q)  (q，
∵ a  bq  r，根據輾轉相除法原理
得(a，b)  (b，r)，(a，q)  (q，r) ∴ (A)(D)成立
90-91學測
設 a，b，c 為實數。若二次函數 f (x)  ax2  bx  c 的圖形通過(0， 1)且與 x 軸
相切，則下列選項何者為真？
(A) a  0 (B) b  0
【解答】(A)(C)(E)
【詳解】
(C) c   1
(1) y  ax2  bx  c 通過(0， 1)
(2) 又因與 x 軸相切
∴
 ax2  bx  1  0
(D) b2  4ac  0
(E) a  b  c  0
c1
 b2  4a  0
∴
令y0
∵
∴
a  0   4a  b2  0  a  0 ∴
f (1)  a  b  c  0 ∴ (A)(C)(E)成立
拋物線開口向下
90-91學測
若實數 a，b，c 滿足 abc  0，ab  bc  ca  0，a  b  c  0，a  b  c，則下列
選項何者為真？
(1) a  0 (2) b  0 (3) c  0 (4) | a |  | b | (5) a2  c2
【解答】(1)(4)(5)
【詳解】
abc  0  a，b，c 為三正數或一正數二負數
(i) a  0，b  0，c  0  ab  0，bc  0，ca  0
 ab  bc  ca  0 不合
(ii) a  b  c  a  0，b  0，c  0。由 a  b  c  0
 a|b||c| 

a  b


a  c
 a2  c2
故選(1)(4)(5)
90-91學測
設多項式 f (x)除以 x2  5x  4，餘式為 x  2；除以 x2  5x  6，餘式為 3x  4。則
多項式 f (x)除以 x2  4x  3，餘式為
。
【解答】5x  2
【詳解】
f (x)  (x  1)(x  4)q1x  x  2，f (x)  (x  2)(x  3)q2(x)  3x  4
 f (1)  a  b  3
設 f (x)  (x  1)(x  3)q3(x)  ax  b  
 f (3)  3a  b  13
 a  5，b   2 ∴ 所求餘式為 5x  2
90-91學測
220  1 與 219  1 的最大公因數為
【解答】3
。
【詳解】
220  1  2(219  1)  3
 220  1 與 219  1 的最大公因數  219  1 與 3 的最大公因數
又 219  1  (2  1)(218  217  216  215  …  2  1)
 3 是 219  1 之因數，故所求最大公因數  3
90-91學測
在一個圓的圓周上，平均分布了 60 個洞，兩洞間稱為一間隔。在 A 洞打上一支
樁並綁上線，然後依逆時針方向前進每隔 9 個間隔就再打一支木樁，並綁上
線，依此繼續操作，如下圖所示。試問輪回到 A 洞需再打樁前，總共己經打
了幾支木樁？答：
支。
【解答】20
【詳解】
定義 A 洞為 1  第 k 個木樁為 9k  1，k  0，1，2，…
按題意：9k  1  60n  1，n  0，1，2，…  3k  20n
取n3
 k  20，此即第 20 個木樁在第 3 輪的 A 點
90-91學測
若 f (x)  x3  2x2  x  5，則多項式 g(x)  f ( f (x))除以(x  2)所得的餘式為
(1) 3 (2) 5
【解答】(5)
(3) 7
(4) 9
(5) 11
【詳解】
f (2)  23  2．22  2  5  3
 g(x)  f ( f (x))除以(x  2)之餘式為
g(2)  f (f (2))  f (3)  33  2．32  3  5  11
92-93學測
1 2
10
試問有多少個正整數 n 使得   …  為整數？
n n
n
(1) 1 個 (2) 2 個 (3) 3 個 (4) 4 個 (5) 5 個
【解答】(4)
【詳解】
1 2
10 55
  …   為整數
n n
n n
 n | 55 且 nZ   n  1，5，11，55，共 4 個
92-93學測
已知一等差數列共有十項，且知其奇數項之和為 15，偶數項之和為 30，則下列
哪一選項為此數列之公差？
(1) 1 (2) 2 (3) 3 (4) 4
【解答】(3)
【詳解】
設首項 a1，公差為 d
(5) 5
奇數項和  a1  a3  …  a9 
5( a1  a9 ) 5 [a1  (a1  8d )]

 5(a1  4d)  15
2
2
偶數項和 a2  a4  …  a10 
5(a2  a10 ) 5 [( a1  d )  (a1  9d )]

 5(a1  5d)  30
2
2

a1  4d  3
，解得 d  3，故選(3)

a

5
d

6
 1
92-93學測
假設坐標平面上一非空集合 S 內的點(x，y)具有以下性質：
「若 x  0，則 y  0」。
試問下列哪些敘述對 S 內的點(x，y)必定成立？
(1)若 x  0，則 y  0 (2)若 y  0，則 x  0 (3)若 y  0，則 x  0 (4)若 x  1，
則 y  0 (5)若 y  0，則 x  0
【解答】(2)(4)(5)
【詳解】
「若 x  0，則 y  0」「若 y  0，則 x  0」
「若 p，則 q」「若～q，則～p」
92-93學測
設 f (x)為三次實係數多項式，且知複數 1  i 為 f (x)  0 之一解。試問下列哪些敘述是
正確的？
(1) f (1  i)  0
(2) f (2  i)  0
(3)沒有實數 x 滿足 f (x)  x (4)沒有實數 x 滿足 f (x3)
 0 (5)若 f (0)  0 且 f (2)  0，則 f (4)  0
【解答】(1)(2)(5)
【詳解】
由虛根成雙定理可知：1  i 亦為 f (x)  0 之一根
[ x  (1  i) ] [ x  (1  i) ]  x2  2x  2 為 f (x)之一因式，設 f (x)  (ax  b)(x2  2x  2)
(1) f (1  i)  0 成立（實係數虛根成雙）
(2) f (2  i)  0（f (x)  0 除 1  i 外，無其他虛根）
(3)令 F(x)  f (x)  x  0，deg(F(x))  3
∴ F(x)  0 有三個根，由虛根成雙定理可知：虛根必成對出現，故三根中必至少有一
實根
(4) f (x3)  (ax3  b)(x6  2x3  2)  0，deg(f (x3))  9。同上，f (x3)  0 的九根中至少有一
實根
(5)因 f (0) f (2)  0，由勘根定理可知在 0 與 2 間有一實根
又已知有二虛根 1  i，故不可能再有其他實根 ∴ f (4)與 f (2)同號
故選(1)(2)(5)
 f (4)  0
92-93學測
如下圖，兩直線 L1，L2 之方程式分別為 L1：x  ay  b  0，L2：x  cy  d  0；
試問下列哪些選項是正確的？
(1) a  0 (2) b  0
【解答】(4)(5)
【詳解】
(3) c  0
(1) L1：y  
1
b
1
x  ，m1    0
a
a
a
(2) y 截距 
b
0
a
d
0
c
(5)又 m1  m2
(5) a  c
 a0
 b0
1
1
d
(3) L2：y   x  ，m2    0
c
c
c
(4) y 截距 
(4) d  0
 c0
 d0
 
1
1

c
a

1 1

a c
 ac
92-93學測
中山高速公路重慶北路交流道南下入口匝道分成內、外兩線車道，路旁立有標誌
「外側車道，大客車專用」。請選出不違反此規定的選項：
(1)小型車行駛內側車道 (2)小型車行駛外側車道 (3)大客車行駛內側車道
(4)大客車行駛外側車道
【解答】(1)(3)(4)
(5)大貨車行駛外側車道
【詳解】
設 P：外側車道，Q：大客車專用
∵ 「若 P 則 Q」與「～Q 則～P」同義 ∴
非大客車則不得行駛外側車道
選項(2)小型車與(5)大貨車皆非大客車，均違反此規定，故選(1)(3)(4)
92-93學測
設 a1，a2，…，a50 是從  1，0，1 這三個整數中取值的數列。若 a1  a2  … 
a50  9 且(a1  1)2  (a2  1)2  …  (a50  1)2  107，則 a1，a2，…，a50 當中
有幾項是 0？答：
項。
【解答】11
【詳解】
設 1 有 x 個， 1 有 y 個，0 有 50  x  y 個
1．x  (1)．y  0．(50  x  y)  9
則
4．x  0．y  1．(50  x  y)  107
 x  24
x  y  9
 
 
 0 有 50  24  15  11 個
 y  15
3x  y  57
92-93學測
設 k 為一整數。若方程式 kx2  7x  1  0 有兩個相異實根，且兩根的乘積介於
與
6
之間，則 k 
71
5
71
。
【解答】12
【詳解】
設 kx2  7x  1  0 之兩相異實根為，
1
49
則．  且 72  4k  0  k 
……
k
4
5 1 6
 
71 k 71

由且 kZ

又
71
71
 k  ……
6
5
k  12
92-93學測
設△ABC 為一等腰直角三角形，BAC  90。若 P，Q 為斜邊 BC 的三等分，則
tanPAQ 
【解答】
。（化成最簡分數）
3
4
【詳解】
如圖，假設 A(0，0)，B(0，3)，C(3，0) ∵
P，Q 為 BC 之三等分點
∴
P(1，
2)，Q(2，1)
直線 AP 及 AQ 之斜率分別為 m AP  2，m AQ 
∴
tanPAQ 
mAP  mAQ
1  mAP ． mAQ
1
2 3

1 4
1  2．
2
1
2
2
92-93學測
某高中招收高一新生共有男生 1008 人、女生 924 人報到。學校想將他們依男女
合班的原則平均分班，且要求各班有同樣多的男生，也有同樣多的女生；考
量教學效益，並限制各班總人數在 40 與 50 人之間，則共分成
【解答】42
班。
【詳解】
設班級數為 n，新生總人數為 1008  924  1932 人
∵
∴
各班人數在 40 與 50 人間
1932
1932
n
50
40
 38.64  n  48.3……

又每班男、女生人數皆相同
 班級數 n 必為 1008 與 924 之公因數
最大公因數(1008，924)  84
∴
由可得 n  42 ∴
n | 84……
分成 42 班
92-93學測
利用公式 13  23  …  n3  [
n(n  1) 2
] ，可計算出(11)3  (12)3  …  (20)3 之值為
2
(1) 41075 (2) 41095 (3) 41115
(4) 41135 (5) 41155
【解答】(1)
【詳解】
113  123  …  203
 (13  23  …  203)  (13  23  …  103)
(
10  11 2
20  21 2
)
) (
2
2
 44100  3025
 41075
故選(1)
94學測
試問整數 43659 共有多少個不同的質因數？
(1) 1 個 (2) 2 個 (3) 3 個
(4) 4 個 (5) 5 個
【解答】(3)
【詳解】
∵
4  3  6  5  9  27
∴
43659 為 9 的倍數
 43659  9  4851  9  9  539  34  72  11
∴ 43659 有三個質因數
故選(3)
94學測
如下圖所示，坐標平面上一鳶形 ABCD，其中 A，C 在 y 軸上，B，D 在 x 軸上，且
AB  AD  2 ， BC  CD  4 ， AC  5。令 mAB 、 mBC 、 mCD 、 mDA 分別表直線 AB、
BC、CD、DA 之斜率。試問以下哪些敘述成立？
(1)此四數值中以 mAB 為最大
(4) mAB  mBC   1
(2)此四數值中以 mBC 為最小
(3) mBC   mCD
(5) mCD  mDA  0
【解答】(2)(3)(5)
【詳解】
(1)(2)(3)由圖知，mAD   mAB，mBC   mCD，且 mCD  mAB  0

∴
mCD  mAB  0  mAD  mBC
最大為 mCD，最小為 mBC
(4)∵
AB 與 BC 並不垂直
∴
(5) mCD  mAD  mCD  mBC  0
故選(2)(3)(5)
mAB  mBC   1
94學測
若多項式 x2  x  2 能整除 x5  x4  x3  px2  2x  q，則 p 

。
，q
【解答】p  3，q  8
【詳解】
由 x5  x4  x3  px2  2x  q 中 x5 項，x4 項，x3 項，x 項的係數
可得 x5  x4  x3  px2  2x  q  (x2  x  2) (x3  x  4)
∴
p  4  1  3，q  2  4  8
94學測
設一元二次整係數方程式 ax2  bx  c  0 有一根為 4  3i。若將此方程式的兩根
與原點在複數平面上標出，則此三點所圍成的三角形面積為
(1) 5 (2) 6 (3) 12 (4) 16 (5) 24
【解答】(3)
【詳解】∵ 實係數多項方程式的虛根共軛
∴
ax2  bx  c  0 的兩根為 4 3 i
 所求三角形面積
1
 4  6  12
2
故選(3)
95學測
假設 a，b，c 是三個正整數。若 25 是 a，b 的最大公因數，且 3，4，14 都是 b，
c 的公因數，則下列何者正確？
(1) c 一定可以被 56 整除 (2) b  2100 (3)若 a  100，則 a  25 (4) a，b，
c 三個數的最大公因數是 25 的因數 (5) a，b，c 三個數的最小公倍數大於
或等於 25  3  4  14
【解答】(2)(3)(4)
【詳解】(1)╳。∵ [4，14]  28 ∴ c 一定可被 28 整除，但不保證可被 56
整除
(2)○。∵
(3)○。∵
[25，3，4，14]  2100 ∴ b  2100
25 是 a 與 b 的最大公因數，且 3，4 皆為 b 的因數
∴ 3 a 且 2 a  a  25
(4)○。∵ [a，b，c]為[a，b]的因數
(5)╳。∵ [25，3，4，14]  2100
故選(2)(3)(4)
∴
[a，b，c]  2100
95學測
假設實數 a1，a2，a3，a4 是一個等差數列，且滿足 0  a1  2 及 a3  4。若定義 bn
a
 2 n ，則以下哪些選項是對的？
(1) b1，b2，b3，b4 是一個等比數列
(2) b1  b2 (3) b2  4
(4) b4  32
(5) b2
 b4  256
【解答】(1)(2)(3)(4)(5)
【詳解】設<an>的公差為 d
a
bn1 2 n 1
(1)○。
 an  2 an 1 an  2d
bn
2
(2)○。∵ 0  a1  2 ∴ 0  4  2d  2
 1  d  2 ∴ 公比：2  2d  4  b1  b2
(3)○。∵ a2  a3  d ∴ 2  a2  3
(4)○。∵ a4  a3  d ∴ 5  a4  6
(5)○。b2  b4  b32  (24)2  256
故選(1)(2)(3)(4)(5)
 4  2 a 2  8 ∴ 4  b2  8
 32  2 a 4  64 ∴ 32  b4  64
95學測
學生練習計算三次多項式 f (x)除以一次多項式 g (x)的餘式。已知 f (x)的三次項係
數為 3，一次項係數為 2。甲生在計算時把 f (x)的三次項係數錯看成 2（其它
係數沒看錯），乙生在計算時把 f (x)的一次項係數錯看成 2（其它係數沒看
錯）。而甲生和乙生算出來的餘式剛好一樣。試問 g (x)可能等於以下哪些一
次式？
(1) x (2) x  1 (3) x  2 (4) x  1 (5) x  2
【解答】(1)(3)(5)
【詳解】設 g (x)  x  a，且 f (x)  3x3  bx2  2x  d
甲生：餘式 2a3  ba2  2a  d
乙生：餘式 3a3  ba2  2a  d
 2a3  ba2  2a  d  3a3  ba2  2a  d
∴ a3  4a  0，a (a2  4)  0，a (a  2)(a  2)  0
∴ a  0，2， 2
故選(1)(3)(5)
95學測
將正整數 18 分解成兩個正整數的乘積有 1  18，2  9，3  6 三種，又 3  6 是
這三種分解中，兩數的差最小的，我們稱 3  6 為 18 的最佳分解。當 p  q
p
（p  q）是正整數 n 的最佳分解時，我們規定函數 F (n)  ，例如 F (18)
q
3 1
  。下列有關函數 F (n)的敘述，何者正確？
6 2
3
1
1
(1) F (4)  1 (2) F (24) 
(3) F (27) 
(4)若 n 是一個質數，則 F (n) 
8
3
n
(5)若 n 是一個完全平方數，則 F (n)  1
【解答】(1)(3)(4)(5)
2
【詳解】(1)○。4 的最佳分解為 2  2  F (4)   1
2
4 2
(2)╳。24 的最佳分解為 4  6  F (24)  
6 3
3 1
(3)○。27 的最佳分解為 3  9  F (27)  
9 3
1
(4)○。質數 n 的最佳分解為 1  n  F (n) 
n
n
(5)○。完全平方數 n 的最佳分解為 n  n  F (n) 
1
n
故選(1)(3)(4)(5)
95學測
用黑、白兩種顏色的正方形地磚依照如下的規律拼成若干圖形：
拼第 95 個圖需用到
塊白色地磚。
【解答】478
【詳解】設 an 表第 n 個圖所需的白色地磚個數
 a1  8，a2  13  a1  5，a3  18  a2  5  a1  2  5，…
∴ < an 為一等差數列
∴ a95  8  94  5  478
95學測
設 A (0，0)，B (10，0)，C (10，6)，D (0，6)為坐標平面上的四個點。如果直線
y  m (x  7)  4 將四邊形 ABCD 分成面積相等的兩塊，那麼 m 
（化成最簡分數）。
1
【解答】
2
【詳解】
如圖，若直線將 ABCD 分成等面積的兩塊
則直線必通過四邊形的中心(
0  10
06
，
)  (5，3)
2
2
 3  m．(5  7)  4
∴
m
1
2
95學測
在坐標平面上，根據方程式 x  5y  7  0，2x  y  4  0，x  y 1  0 畫出三條
直線 L1，L2，L3，如圖所示。試選出方程式與直線間正確的配置？
(A) L1：x  5y  7  0；L2：2x  y  4  0；L3：x  y  1  0 (B) L1：x  y 1 
0；L2：x  5y  7  0；L3：2x  y  4  0 (C) L1：2x  y + 4  0；L2：x  5 y 
7  0；L3：x  y  1  0 (D) L1：x  y 1  0；L2：2x  y  4  0；L3：x  5y 
7  0 (E) L1：2x  y  4  0；L2：x  y 1  0；L3：x  5 y  7  0
【解答】(D)
【詳解】
由圖形可以看出 L1 的斜率為正（直線向右上升）
∴ 得知 L1：x  y 1  0
L2，L3 二直線斜率均為負（向右下降）
但 L2 的截距為負，L3 的截距為正
∴ L2：2x  y  4  0，L3：x  5y  7  0
88-89學測