Slide 1

排容原理

機率概念與應用網路學習研究

「排容原理」是計數原理的第一步，通常我們會
直接去求我們所要得到的答案，但如果元素彼此
之間有關連的時候，那我們就還得再考慮它們之
間的關連有沒有影響到我們得到的答案。

排容原理

試問1至120中，4或6的倍數有幾個？








4的倍數個數共 120 4  30 個。
6的倍數個數共120 6  20 個。
將4的倍數個數和6的倍數個數加起來即30+20 = 50
個。
此時同時為4及6的倍數之個數算了兩次，因此必
須減掉，而在1至120中，同時為4跟6的倍數的數
即為12的倍數故共有 120 12  10 個。
因此，4或6的倍數之個數為30+20-10=40個。

排容原理

若令A為1至120中4的倍數之集合，B為1至
120中6的倍數之集合，則 A  B 是 12 倍數
之集合，A  B 為4或6的倍數之集合，因
此 | A  B | | A |  | B |  | A  B | 。也可用圖形
來說明，其中圓A表4的倍數的集合，圓B
表6的倍數的集合，而重疊的部分就是12的
倍數的集合。

排容原理

對任意有限集合 A 及 B，| A  B | | A |  | B |  | A  B |
仍成立，要計算屬於 A 或 B 的元素個數 | A  B ，我
|
們先將集合 A 及 B 的元素個數加起來 | A |  | B |，但
此時既是 A 也是 B 的元素 A  B ，算了兩次，所以
必須減掉，因此得到 | A  B | | A |  | B |  | A  B | 。

排容原理

對有限集合 A, B, C，我們可用下圖表示，其中
圓A、圓B、圓C分別表集合 A, B, C想求屬於集
合A, B, C的元素個數|A|+|B|+|C|，先求| A  B  C |
參考下圖紅色部分，加了兩次，而藍色部分加
了三次，須將重複部分減掉。
A
B

C

排容原理

我們將|A|+|B|+|C|減掉 (| A  B |  | B  C |  | C  A |)
紅色部分被減掉一次，藍色部分卻被減掉三次，
因此 | A |  | B |  | C |  (| A  B |  | B  C |  | C  A |)
沒有包含藍色部分的元素個數，必須再加上去，
才是整個圖形的元素個數，即：
| A  B  C | | A |  | B |  | C |  (| A  B |  | B  C |  | C  A |)  | A  B  C |
A
B

C

排容原理

對三個以上的元素，我們也有類似的結果，即
對任意有限集合 A1 , A2 ,  , An 屬於集合 A1或 A 2 或
或 A n的元素個數為：
| A1  A2    An |  | Ai |   | Ai 
i

Aj |
n 1

 A j  Ak |

| A1  A2    An |

此式可以用數學歸納法證得！
排容原理

i

i j k

i j

   (  1)

|A

另外，如果 A1 , A2 ,  , An 為有限集合A的子集
合我們亦常會遇到要計算屬於集合A但不屬
於集合 A1 , A2 ,  , An 的元素個數，
即| A |  | A1  A2    An | ，從| A1  A2    An |
的公式可知，等於：
| A |   | Ai | 
i

| A
i j

i

 Aj |

| A

i

 A j  Ak |

i j k

   (  1)

排容原理

n 1

| A1  A2    An |

排容原理

假設A為一元素個數的集合，
且 A1 , A2 ,  , An為A的n個子集合，則：
﹝1 屬於集合 A1 , A2 ,  , An 的元素個數為：
﹞
| A1  A2    An |  | A |   | A  A |   | A  A
i

i

i

排容原理

j

 Ak |

i j k

i j

   (  1)

i

j

n 1

| A1  A2    An |

排容原理

假設A為一元素個數的集合，
且 A1 , A2 ,  , An為A的n個子集合，則：
﹝2 屬於集合A但不屬於集合 A1 , A2 ,  , An
﹞
的元素個數為：
| A |   | Ai | 
i

| A
i j

i

 Aj |

| A

i

 A j  Ak |

i j k

   (  1)

n 1

排容原理

| A1  A2    An |

例題1.

求 1～120中，不為4或6的倍數有幾個？
解答：
我們先算出4或6的倍數個數，根據前面的
問題中，可以得知4或6倍數之個數是
30+20-10=40 (個)，所以算出不為4或6的倍
數個數就得120-(30+20-10)=80(個)。故得
知不為4或6倍數之個數為80(個)。

排容原理

例題2.

試求1至 1000中不被 2,3,5 整除的個數。
解答：
可以被2整除的個數為500個，可以被3整除的
個數為333個，可以被5整除的個數為200個，
同時可以被2、3整除的個數為166個，同時能
被2、5整除的個數為100個，能同時被3、5整
除的個數為66個，同時能被2、3、5整除的個
數為33個。所以得到算式為：
1000-(500+333+200)+(166+100+66)-33=266
排容原理

排容原理是由瑞士人─尤拉(Euler)推展
出來的，是一個十分重要的原理，在組
合數學領域中使用尤為廣泛、重要。

排容原理

更多的說明，就在

機率網路學習館…

排容原理


Slide 2

排容原理

機率概念與應用網路學習研究

「排容原理」是計數原理的第一步，通常我們會
直接去求我們所要得到的答案，但如果元素彼此
之間有關連的時候，那我們就還得再考慮它們之
間的關連有沒有影響到我們得到的答案。

排容原理

試問1至120中，4或6的倍數有幾個？








4的倍數個數共 120 4  30 個。
6的倍數個數共120 6  20 個。
將4的倍數個數和6的倍數個數加起來即30+20 = 50
個。
此時同時為4及6的倍數之個數算了兩次，因此必
須減掉，而在1至120中，同時為4跟6的倍數的數
即為12的倍數故共有 120 12  10 個。
因此，4或6的倍數之個數為30+20-10=40個。

排容原理

若令A為1至120中4的倍數之集合，B為1至
120中6的倍數之集合，則 A  B 是 12 倍數
之集合，A  B 為4或6的倍數之集合，因
此 | A  B | | A |  | B |  | A  B | 。也可用圖形
來說明，其中圓A表4的倍數的集合，圓B
表6的倍數的集合，而重疊的部分就是12的
倍數的集合。

排容原理

對任意有限集合 A 及 B，| A  B | | A |  | B |  | A  B |
仍成立，要計算屬於 A 或 B 的元素個數 | A  B ，我
|
們先將集合 A 及 B 的元素個數加起來 | A |  | B |，但
此時既是 A 也是 B 的元素 A  B ，算了兩次，所以
必須減掉，因此得到 | A  B | | A |  | B |  | A  B | 。

排容原理

對有限集合 A, B, C，我們可用下圖表示，其中
圓A、圓B、圓C分別表集合 A, B, C想求屬於集
合A, B, C的元素個數|A|+|B|+|C|，先求| A  B  C |
參考下圖紅色部分，加了兩次，而藍色部分加
了三次，須將重複部分減掉。
A
B

C

排容原理

我們將|A|+|B|+|C|減掉 (| A  B |  | B  C |  | C  A |)
紅色部分被減掉一次，藍色部分卻被減掉三次，
因此 | A |  | B |  | C |  (| A  B |  | B  C |  | C  A |)
沒有包含藍色部分的元素個數，必須再加上去，
才是整個圖形的元素個數，即：
| A  B  C | | A |  | B |  | C |  (| A  B |  | B  C |  | C  A |)  | A  B  C |
A
B

C

排容原理

對三個以上的元素，我們也有類似的結果，即
對任意有限集合 A1 , A2 ,  , An 屬於集合 A1或 A 2 或
或 A n的元素個數為：
| A1  A2    An |  | Ai |   | Ai 
i

Aj |
n 1

 A j  Ak |

| A1  A2    An |

此式可以用數學歸納法證得！
排容原理

i

i j k

i j

   (  1)

|A

另外，如果 A1 , A2 ,  , An 為有限集合A的子集
合我們亦常會遇到要計算屬於集合A但不屬
於集合 A1 , A2 ,  , An 的元素個數，
即| A |  | A1  A2    An | ，從| A1  A2    An |
的公式可知，等於：
| A |   | Ai | 
i

| A
i j

i

 Aj |

| A

i

 A j  Ak |

i j k

   (  1)

排容原理

n 1

| A1  A2    An |

排容原理

假設A為一元素個數的集合，
且 A1 , A2 ,  , An為A的n個子集合，則：
﹝1 屬於集合 A1 , A2 ,  , An 的元素個數為：
﹞
| A1  A2    An |  | A |   | A  A |   | A  A
i

i

i

排容原理

j

 Ak |

i j k

i j

   (  1)

i

j

n 1

| A1  A2    An |

排容原理

假設A為一元素個數的集合，
且 A1 , A2 ,  , An為A的n個子集合，則：
﹝2 屬於集合A但不屬於集合 A1 , A2 ,  , An
﹞
的元素個數為：
| A |   | Ai | 
i

| A
i j

i

 Aj |

| A

i

 A j  Ak |

i j k

   (  1)

n 1

排容原理

| A1  A2    An |

例題1.

求 1～120中，不為4或6的倍數有幾個？
解答：
我們先算出4或6的倍數個數，根據前面的
問題中，可以得知4或6倍數之個數是
30+20-10=40 (個)，所以算出不為4或6的倍
數個數就得120-(30+20-10)=80(個)。故得
知不為4或6倍數之個數為80(個)。

排容原理

例題2.

試求1至 1000中不被 2,3,5 整除的個數。
解答：
可以被2整除的個數為500個，可以被3整除的
個數為333個，可以被5整除的個數為200個，
同時可以被2、3整除的個數為166個，同時能
被2、5整除的個數為100個，能同時被3、5整
除的個數為66個，同時能被2、3、5整除的個
數為33個。所以得到算式為：
1000-(500+333+200)+(166+100+66)-33=266
排容原理

排容原理是由瑞士人─尤拉(Euler)推展
出來的，是一個十分重要的原理，在組
合數學領域中使用尤為廣泛、重要。

排容原理

更多的說明，就在

機率網路學習館…

排容原理


Slide 3

排容原理

機率概念與應用網路學習研究

「排容原理」是計數原理的第一步，通常我們會
直接去求我們所要得到的答案，但如果元素彼此
之間有關連的時候，那我們就還得再考慮它們之
間的關連有沒有影響到我們得到的答案。

排容原理

試問1至120中，4或6的倍數有幾個？








4的倍數個數共 120 4  30 個。
6的倍數個數共120 6  20 個。
將4的倍數個數和6的倍數個數加起來即30+20 = 50
個。
此時同時為4及6的倍數之個數算了兩次，因此必
須減掉，而在1至120中，同時為4跟6的倍數的數
即為12的倍數故共有 120 12  10 個。
因此，4或6的倍數之個數為30+20-10=40個。

排容原理

若令A為1至120中4的倍數之集合，B為1至
120中6的倍數之集合，則 A  B 是 12 倍數
之集合，A  B 為4或6的倍數之集合，因
此 | A  B | | A |  | B |  | A  B | 。也可用圖形
來說明，其中圓A表4的倍數的集合，圓B
表6的倍數的集合，而重疊的部分就是12的
倍數的集合。

排容原理

對任意有限集合 A 及 B，| A  B | | A |  | B |  | A  B |
仍成立，要計算屬於 A 或 B 的元素個數 | A  B ，我
|
們先將集合 A 及 B 的元素個數加起來 | A |  | B |，但
此時既是 A 也是 B 的元素 A  B ，算了兩次，所以
必須減掉，因此得到 | A  B | | A |  | B |  | A  B | 。

排容原理

對有限集合 A, B, C，我們可用下圖表示，其中
圓A、圓B、圓C分別表集合 A, B, C想求屬於集
合A, B, C的元素個數|A|+|B|+|C|，先求| A  B  C |
參考下圖紅色部分，加了兩次，而藍色部分加
了三次，須將重複部分減掉。
A
B

C

排容原理

我們將|A|+|B|+|C|減掉 (| A  B |  | B  C |  | C  A |)
紅色部分被減掉一次，藍色部分卻被減掉三次，
因此 | A |  | B |  | C |  (| A  B |  | B  C |  | C  A |)
沒有包含藍色部分的元素個數，必須再加上去，
才是整個圖形的元素個數，即：
| A  B  C | | A |  | B |  | C |  (| A  B |  | B  C |  | C  A |)  | A  B  C |
A
B

C

排容原理

對三個以上的元素，我們也有類似的結果，即
對任意有限集合 A1 , A2 ,  , An 屬於集合 A1或 A 2 或
或 A n的元素個數為：
| A1  A2    An |  | Ai |   | Ai 
i

Aj |
n 1

 A j  Ak |

| A1  A2    An |

此式可以用數學歸納法證得！
排容原理

i

i j k

i j

   (  1)

|A

另外，如果 A1 , A2 ,  , An 為有限集合A的子集
合我們亦常會遇到要計算屬於集合A但不屬
於集合 A1 , A2 ,  , An 的元素個數，
即| A |  | A1  A2    An | ，從| A1  A2    An |
的公式可知，等於：
| A |   | Ai | 
i

| A
i j

i

 Aj |

| A

i

 A j  Ak |

i j k

   (  1)

排容原理

n 1

| A1  A2    An |

排容原理

假設A為一元素個數的集合，
且 A1 , A2 ,  , An為A的n個子集合，則：
﹝1 屬於集合 A1 , A2 ,  , An 的元素個數為：
﹞
| A1  A2    An |  | A |   | A  A |   | A  A
i

i

i

排容原理

j

 Ak |

i j k

i j

   (  1)

i

j

n 1

| A1  A2    An |

排容原理

假設A為一元素個數的集合，
且 A1 , A2 ,  , An為A的n個子集合，則：
﹝2 屬於集合A但不屬於集合 A1 , A2 ,  , An
﹞
的元素個數為：
| A |   | Ai | 
i

| A
i j

i

 Aj |

| A

i

 A j  Ak |

i j k

   (  1)

n 1

排容原理

| A1  A2    An |

例題1.

求 1～120中，不為4或6的倍數有幾個？
解答：
我們先算出4或6的倍數個數，根據前面的
問題中，可以得知4或6倍數之個數是
30+20-10=40 (個)，所以算出不為4或6的倍
數個數就得120-(30+20-10)=80(個)。故得
知不為4或6倍數之個數為80(個)。

排容原理

例題2.

試求1至 1000中不被 2,3,5 整除的個數。
解答：
可以被2整除的個數為500個，可以被3整除的
個數為333個，可以被5整除的個數為200個，
同時可以被2、3整除的個數為166個，同時能
被2、5整除的個數為100個，能同時被3、5整
除的個數為66個，同時能被2、3、5整除的個
數為33個。所以得到算式為：
1000-(500+333+200)+(166+100+66)-33=266
排容原理

排容原理是由瑞士人─尤拉(Euler)推展
出來的，是一個十分重要的原理，在組
合數學領域中使用尤為廣泛、重要。

排容原理

更多的說明，就在

機率網路學習館…

排容原理


Slide 4

排容原理

機率概念與應用網路學習研究

「排容原理」是計數原理的第一步，通常我們會
直接去求我們所要得到的答案，但如果元素彼此
之間有關連的時候，那我們就還得再考慮它們之
間的關連有沒有影響到我們得到的答案。

排容原理

試問1至120中，4或6的倍數有幾個？








4的倍數個數共 120 4  30 個。
6的倍數個數共120 6  20 個。
將4的倍數個數和6的倍數個數加起來即30+20 = 50
個。
此時同時為4及6的倍數之個數算了兩次，因此必
須減掉，而在1至120中，同時為4跟6的倍數的數
即為12的倍數故共有 120 12  10 個。
因此，4或6的倍數之個數為30+20-10=40個。

排容原理

若令A為1至120中4的倍數之集合，B為1至
120中6的倍數之集合，則 A  B 是 12 倍數
之集合，A  B 為4或6的倍數之集合，因
此 | A  B | | A |  | B |  | A  B | 。也可用圖形
來說明，其中圓A表4的倍數的集合，圓B
表6的倍數的集合，而重疊的部分就是12的
倍數的集合。

排容原理

對任意有限集合 A 及 B，| A  B | | A |  | B |  | A  B |
仍成立，要計算屬於 A 或 B 的元素個數 | A  B ，我
|
們先將集合 A 及 B 的元素個數加起來 | A |  | B |，但
此時既是 A 也是 B 的元素 A  B ，算了兩次，所以
必須減掉，因此得到 | A  B | | A |  | B |  | A  B | 。

排容原理

對有限集合 A, B, C，我們可用下圖表示，其中
圓A、圓B、圓C分別表集合 A, B, C想求屬於集
合A, B, C的元素個數|A|+|B|+|C|，先求| A  B  C |
參考下圖紅色部分，加了兩次，而藍色部分加
了三次，須將重複部分減掉。
A
B

C

排容原理

我們將|A|+|B|+|C|減掉 (| A  B |  | B  C |  | C  A |)
紅色部分被減掉一次，藍色部分卻被減掉三次，
因此 | A |  | B |  | C |  (| A  B |  | B  C |  | C  A |)
沒有包含藍色部分的元素個數，必須再加上去，
才是整個圖形的元素個數，即：
| A  B  C | | A |  | B |  | C |  (| A  B |  | B  C |  | C  A |)  | A  B  C |
A
B

C

排容原理

對三個以上的元素，我們也有類似的結果，即
對任意有限集合 A1 , A2 ,  , An 屬於集合 A1或 A 2 或
或 A n的元素個數為：
| A1  A2    An |  | Ai |   | Ai 
i

Aj |
n 1

 A j  Ak |

| A1  A2    An |

此式可以用數學歸納法證得！
排容原理

i

i j k

i j

   (  1)

|A

另外，如果 A1 , A2 ,  , An 為有限集合A的子集
合我們亦常會遇到要計算屬於集合A但不屬
於集合 A1 , A2 ,  , An 的元素個數，
即| A |  | A1  A2    An | ，從| A1  A2    An |
的公式可知，等於：
| A |   | Ai | 
i

| A
i j

i

 Aj |

| A

i

 A j  Ak |

i j k

   (  1)

排容原理

n 1

| A1  A2    An |

排容原理

假設A為一元素個數的集合，
且 A1 , A2 ,  , An為A的n個子集合，則：
﹝1 屬於集合 A1 , A2 ,  , An 的元素個數為：
﹞
| A1  A2    An |  | A |   | A  A |   | A  A
i

i

i

排容原理

j

 Ak |

i j k

i j

   (  1)

i

j

n 1

| A1  A2    An |

排容原理

假設A為一元素個數的集合，
且 A1 , A2 ,  , An為A的n個子集合，則：
﹝2 屬於集合A但不屬於集合 A1 , A2 ,  , An
﹞
的元素個數為：
| A |   | Ai | 
i

| A
i j

i

 Aj |

| A

i

 A j  Ak |

i j k

   (  1)

n 1

排容原理

| A1  A2    An |

例題1.

求 1～120中，不為4或6的倍數有幾個？
解答：
我們先算出4或6的倍數個數，根據前面的
問題中，可以得知4或6倍數之個數是
30+20-10=40 (個)，所以算出不為4或6的倍
數個數就得120-(30+20-10)=80(個)。故得
知不為4或6倍數之個數為80(個)。

排容原理

例題2.

試求1至 1000中不被 2,3,5 整除的個數。
解答：
可以被2整除的個數為500個，可以被3整除的
個數為333個，可以被5整除的個數為200個，
同時可以被2、3整除的個數為166個，同時能
被2、5整除的個數為100個，能同時被3、5整
除的個數為66個，同時能被2、3、5整除的個
數為33個。所以得到算式為：
1000-(500+333+200)+(166+100+66)-33=266
排容原理

排容原理是由瑞士人─尤拉(Euler)推展
出來的，是一個十分重要的原理，在組
合數學領域中使用尤為廣泛、重要。

排容原理

更多的說明，就在

機率網路學習館…

排容原理


Slide 5

排容原理

機率概念與應用網路學習研究

「排容原理」是計數原理的第一步，通常我們會
直接去求我們所要得到的答案，但如果元素彼此
之間有關連的時候，那我們就還得再考慮它們之
間的關連有沒有影響到我們得到的答案。

排容原理

試問1至120中，4或6的倍數有幾個？








4的倍數個數共 120 4  30 個。
6的倍數個數共120 6  20 個。
將4的倍數個數和6的倍數個數加起來即30+20 = 50
個。
此時同時為4及6的倍數之個數算了兩次，因此必
須減掉，而在1至120中，同時為4跟6的倍數的數
即為12的倍數故共有 120 12  10 個。
因此，4或6的倍數之個數為30+20-10=40個。

排容原理

若令A為1至120中4的倍數之集合，B為1至
120中6的倍數之集合，則 A  B 是 12 倍數
之集合，A  B 為4或6的倍數之集合，因
此 | A  B | | A |  | B |  | A  B | 。也可用圖形
來說明，其中圓A表4的倍數的集合，圓B
表6的倍數的集合，而重疊的部分就是12的
倍數的集合。

排容原理

對任意有限集合 A 及 B，| A  B | | A |  | B |  | A  B |
仍成立，要計算屬於 A 或 B 的元素個數 | A  B ，我
|
們先將集合 A 及 B 的元素個數加起來 | A |  | B |，但
此時既是 A 也是 B 的元素 A  B ，算了兩次，所以
必須減掉，因此得到 | A  B | | A |  | B |  | A  B | 。

排容原理

對有限集合 A, B, C，我們可用下圖表示，其中
圓A、圓B、圓C分別表集合 A, B, C想求屬於集
合A, B, C的元素個數|A|+|B|+|C|，先求| A  B  C |
參考下圖紅色部分，加了兩次，而藍色部分加
了三次，須將重複部分減掉。
A
B

C

排容原理

我們將|A|+|B|+|C|減掉 (| A  B |  | B  C |  | C  A |)
紅色部分被減掉一次，藍色部分卻被減掉三次，
因此 | A |  | B |  | C |  (| A  B |  | B  C |  | C  A |)
沒有包含藍色部分的元素個數，必須再加上去，
才是整個圖形的元素個數，即：
| A  B  C | | A |  | B |  | C |  (| A  B |  | B  C |  | C  A |)  | A  B  C |
A
B

C

排容原理

對三個以上的元素，我們也有類似的結果，即
對任意有限集合 A1 , A2 ,  , An 屬於集合 A1或 A 2 或
或 A n的元素個數為：
| A1  A2    An |  | Ai |   | Ai 
i

Aj |
n 1

 A j  Ak |

| A1  A2    An |

此式可以用數學歸納法證得！
排容原理

i

i j k

i j

   (  1)

|A

另外，如果 A1 , A2 ,  , An 為有限集合A的子集
合我們亦常會遇到要計算屬於集合A但不屬
於集合 A1 , A2 ,  , An 的元素個數，
即| A |  | A1  A2    An | ，從| A1  A2    An |
的公式可知，等於：
| A |   | Ai | 
i

| A
i j

i

 Aj |

| A

i

 A j  Ak |

i j k

   (  1)

排容原理

n 1

| A1  A2    An |

排容原理

假設A為一元素個數的集合，
且 A1 , A2 ,  , An為A的n個子集合，則：
﹝1 屬於集合 A1 , A2 ,  , An 的元素個數為：
﹞
| A1  A2    An |  | A |   | A  A |   | A  A
i

i

i

排容原理

j

 Ak |

i j k

i j

   (  1)

i

j

n 1

| A1  A2    An |

排容原理

假設A為一元素個數的集合，
且 A1 , A2 ,  , An為A的n個子集合，則：
﹝2 屬於集合A但不屬於集合 A1 , A2 ,  , An
﹞
的元素個數為：
| A |   | Ai | 
i

| A
i j

i

 Aj |

| A

i

 A j  Ak |

i j k

   (  1)

n 1

排容原理

| A1  A2    An |

例題1.

求 1～120中，不為4或6的倍數有幾個？
解答：
我們先算出4或6的倍數個數，根據前面的
問題中，可以得知4或6倍數之個數是
30+20-10=40 (個)，所以算出不為4或6的倍
數個數就得120-(30+20-10)=80(個)。故得
知不為4或6倍數之個數為80(個)。

排容原理

例題2.

試求1至 1000中不被 2,3,5 整除的個數。
解答：
可以被2整除的個數為500個，可以被3整除的
個數為333個，可以被5整除的個數為200個，
同時可以被2、3整除的個數為166個，同時能
被2、5整除的個數為100個，能同時被3、5整
除的個數為66個，同時能被2、3、5整除的個
數為33個。所以得到算式為：
1000-(500+333+200)+(166+100+66)-33=266
排容原理

排容原理是由瑞士人─尤拉(Euler)推展
出來的，是一個十分重要的原理，在組
合數學領域中使用尤為廣泛、重要。

排容原理

更多的說明，就在

機率網路學習館…

排容原理


Slide 6

排容原理

機率概念與應用網路學習研究

「排容原理」是計數原理的第一步，通常我們會
直接去求我們所要得到的答案，但如果元素彼此
之間有關連的時候，那我們就還得再考慮它們之
間的關連有沒有影響到我們得到的答案。

排容原理

試問1至120中，4或6的倍數有幾個？








4的倍數個數共 120 4  30 個。
6的倍數個數共120 6  20 個。
將4的倍數個數和6的倍數個數加起來即30+20 = 50
個。
此時同時為4及6的倍數之個數算了兩次，因此必
須減掉，而在1至120中，同時為4跟6的倍數的數
即為12的倍數故共有 120 12  10 個。
因此，4或6的倍數之個數為30+20-10=40個。

排容原理

若令A為1至120中4的倍數之集合，B為1至
120中6的倍數之集合，則 A  B 是 12 倍數
之集合，A  B 為4或6的倍數之集合，因
此 | A  B | | A |  | B |  | A  B | 。也可用圖形
來說明，其中圓A表4的倍數的集合，圓B
表6的倍數的集合，而重疊的部分就是12的
倍數的集合。

排容原理

對任意有限集合 A 及 B，| A  B | | A |  | B |  | A  B |
仍成立，要計算屬於 A 或 B 的元素個數 | A  B ，我
|
們先將集合 A 及 B 的元素個數加起來 | A |  | B |，但
此時既是 A 也是 B 的元素 A  B ，算了兩次，所以
必須減掉，因此得到 | A  B | | A |  | B |  | A  B | 。

排容原理

對有限集合 A, B, C，我們可用下圖表示，其中
圓A、圓B、圓C分別表集合 A, B, C想求屬於集
合A, B, C的元素個數|A|+|B|+|C|，先求| A  B  C |
參考下圖紅色部分，加了兩次，而藍色部分加
了三次，須將重複部分減掉。
A
B

C

排容原理

我們將|A|+|B|+|C|減掉 (| A  B |  | B  C |  | C  A |)
紅色部分被減掉一次，藍色部分卻被減掉三次，
因此 | A |  | B |  | C |  (| A  B |  | B  C |  | C  A |)
沒有包含藍色部分的元素個數，必須再加上去，
才是整個圖形的元素個數，即：
| A  B  C | | A |  | B |  | C |  (| A  B |  | B  C |  | C  A |)  | A  B  C |
A
B

C

排容原理

對三個以上的元素，我們也有類似的結果，即
對任意有限集合 A1 , A2 ,  , An 屬於集合 A1或 A 2 或
或 A n的元素個數為：
| A1  A2    An |  | Ai |   | Ai 
i

Aj |
n 1

 A j  Ak |

| A1  A2    An |

此式可以用數學歸納法證得！
排容原理

i

i j k

i j

   (  1)

|A

另外，如果 A1 , A2 ,  , An 為有限集合A的子集
合我們亦常會遇到要計算屬於集合A但不屬
於集合 A1 , A2 ,  , An 的元素個數，
即| A |  | A1  A2    An | ，從| A1  A2    An |
的公式可知，等於：
| A |   | Ai | 
i

| A
i j

i

 Aj |

| A

i

 A j  Ak |

i j k

   (  1)

排容原理

n 1

| A1  A2    An |

排容原理

假設A為一元素個數的集合，
且 A1 , A2 ,  , An為A的n個子集合，則：
﹝1 屬於集合 A1 , A2 ,  , An 的元素個數為：
﹞
| A1  A2    An |  | A |   | A  A |   | A  A
i

i

i

排容原理

j

 Ak |

i j k

i j

   (  1)

i

j

n 1

| A1  A2    An |

排容原理

假設A為一元素個數的集合，
且 A1 , A2 ,  , An為A的n個子集合，則：
﹝2 屬於集合A但不屬於集合 A1 , A2 ,  , An
﹞
的元素個數為：
| A |   | Ai | 
i

| A
i j

i

 Aj |

| A

i

 A j  Ak |

i j k

   (  1)

n 1

排容原理

| A1  A2    An |

例題1.

求 1～120中，不為4或6的倍數有幾個？
解答：
我們先算出4或6的倍數個數，根據前面的
問題中，可以得知4或6倍數之個數是
30+20-10=40 (個)，所以算出不為4或6的倍
數個數就得120-(30+20-10)=80(個)。故得
知不為4或6倍數之個數為80(個)。

排容原理

例題2.

試求1至 1000中不被 2,3,5 整除的個數。
解答：
可以被2整除的個數為500個，可以被3整除的
個數為333個，可以被5整除的個數為200個，
同時可以被2、3整除的個數為166個，同時能
被2、5整除的個數為100個，能同時被3、5整
除的個數為66個，同時能被2、3、5整除的個
數為33個。所以得到算式為：
1000-(500+333+200)+(166+100+66)-33=266
排容原理

排容原理是由瑞士人─尤拉(Euler)推展
出來的，是一個十分重要的原理，在組
合數學領域中使用尤為廣泛、重要。

排容原理

更多的說明，就在

機率網路學習館…

排容原理


Slide 7

排容原理

機率概念與應用網路學習研究

「排容原理」是計數原理的第一步，通常我們會
直接去求我們所要得到的答案，但如果元素彼此
之間有關連的時候，那我們就還得再考慮它們之
間的關連有沒有影響到我們得到的答案。

排容原理

試問1至120中，4或6的倍數有幾個？








4的倍數個數共 120 4  30 個。
6的倍數個數共120 6  20 個。
將4的倍數個數和6的倍數個數加起來即30+20 = 50
個。
此時同時為4及6的倍數之個數算了兩次，因此必
須減掉，而在1至120中，同時為4跟6的倍數的數
即為12的倍數故共有 120 12  10 個。
因此，4或6的倍數之個數為30+20-10=40個。

排容原理

若令A為1至120中4的倍數之集合，B為1至
120中6的倍數之集合，則 A  B 是 12 倍數
之集合，A  B 為4或6的倍數之集合，因
此 | A  B | | A |  | B |  | A  B | 。也可用圖形
來說明，其中圓A表4的倍數的集合，圓B
表6的倍數的集合，而重疊的部分就是12的
倍數的集合。

排容原理

對任意有限集合 A 及 B，| A  B | | A |  | B |  | A  B |
仍成立，要計算屬於 A 或 B 的元素個數 | A  B ，我
|
們先將集合 A 及 B 的元素個數加起來 | A |  | B |，但
此時既是 A 也是 B 的元素 A  B ，算了兩次，所以
必須減掉，因此得到 | A  B | | A |  | B |  | A  B | 。

排容原理

對有限集合 A, B, C，我們可用下圖表示，其中
圓A、圓B、圓C分別表集合 A, B, C想求屬於集
合A, B, C的元素個數|A|+|B|+|C|，先求| A  B  C |
參考下圖紅色部分，加了兩次，而藍色部分加
了三次，須將重複部分減掉。
A
B

C

排容原理

我們將|A|+|B|+|C|減掉 (| A  B |  | B  C |  | C  A |)
紅色部分被減掉一次，藍色部分卻被減掉三次，
因此 | A |  | B |  | C |  (| A  B |  | B  C |  | C  A |)
沒有包含藍色部分的元素個數，必須再加上去，
才是整個圖形的元素個數，即：
| A  B  C | | A |  | B |  | C |  (| A  B |  | B  C |  | C  A |)  | A  B  C |
A
B

C

排容原理

對三個以上的元素，我們也有類似的結果，即
對任意有限集合 A1 , A2 ,  , An 屬於集合 A1或 A 2 或
或 A n的元素個數為：
| A1  A2    An |  | Ai |   | Ai 
i

Aj |
n 1

 A j  Ak |

| A1  A2    An |

此式可以用數學歸納法證得！
排容原理

i

i j k

i j

   (  1)

|A

另外，如果 A1 , A2 ,  , An 為有限集合A的子集
合我們亦常會遇到要計算屬於集合A但不屬
於集合 A1 , A2 ,  , An 的元素個數，
即| A |  | A1  A2    An | ，從| A1  A2    An |
的公式可知，等於：
| A |   | Ai | 
i

| A
i j

i

 Aj |

| A

i

 A j  Ak |

i j k

   (  1)

排容原理

n 1

| A1  A2    An |

排容原理

假設A為一元素個數的集合，
且 A1 , A2 ,  , An為A的n個子集合，則：
﹝1 屬於集合 A1 , A2 ,  , An 的元素個數為：
﹞
| A1  A2    An |  | A |   | A  A |   | A  A
i

i

i

排容原理

j

 Ak |

i j k

i j

   (  1)

i

j

n 1

| A1  A2    An |

排容原理

假設A為一元素個數的集合，
且 A1 , A2 ,  , An為A的n個子集合，則：
﹝2 屬於集合A但不屬於集合 A1 , A2 ,  , An
﹞
的元素個數為：
| A |   | Ai | 
i

| A
i j

i

 Aj |

| A

i

 A j  Ak |

i j k

   (  1)

n 1

排容原理

| A1  A2    An |

例題1.

求 1～120中，不為4或6的倍數有幾個？
解答：
我們先算出4或6的倍數個數，根據前面的
問題中，可以得知4或6倍數之個數是
30+20-10=40 (個)，所以算出不為4或6的倍
數個數就得120-(30+20-10)=80(個)。故得
知不為4或6倍數之個數為80(個)。

排容原理

例題2.

試求1至 1000中不被 2,3,5 整除的個數。
解答：
可以被2整除的個數為500個，可以被3整除的
個數為333個，可以被5整除的個數為200個，
同時可以被2、3整除的個數為166個，同時能
被2、5整除的個數為100個，能同時被3、5整
除的個數為66個，同時能被2、3、5整除的個
數為33個。所以得到算式為：
1000-(500+333+200)+(166+100+66)-33=266
排容原理

排容原理是由瑞士人─尤拉(Euler)推展
出來的，是一個十分重要的原理，在組
合數學領域中使用尤為廣泛、重要。

排容原理

更多的說明，就在

機率網路學習館…

排容原理


Slide 8

排容原理

機率概念與應用網路學習研究

「排容原理」是計數原理的第一步，通常我們會
直接去求我們所要得到的答案，但如果元素彼此
之間有關連的時候，那我們就還得再考慮它們之
間的關連有沒有影響到我們得到的答案。

排容原理

試問1至120中，4或6的倍數有幾個？








4的倍數個數共 120 4  30 個。
6的倍數個數共120 6  20 個。
將4的倍數個數和6的倍數個數加起來即30+20 = 50
個。
此時同時為4及6的倍數之個數算了兩次，因此必
須減掉，而在1至120中，同時為4跟6的倍數的數
即為12的倍數故共有 120 12  10 個。
因此，4或6的倍數之個數為30+20-10=40個。

排容原理

若令A為1至120中4的倍數之集合，B為1至
120中6的倍數之集合，則 A  B 是 12 倍數
之集合，A  B 為4或6的倍數之集合，因
此 | A  B | | A |  | B |  | A  B | 。也可用圖形
來說明，其中圓A表4的倍數的集合，圓B
表6的倍數的集合，而重疊的部分就是12的
倍數的集合。

排容原理

對任意有限集合 A 及 B，| A  B | | A |  | B |  | A  B |
仍成立，要計算屬於 A 或 B 的元素個數 | A  B ，我
|
們先將集合 A 及 B 的元素個數加起來 | A |  | B |，但
此時既是 A 也是 B 的元素 A  B ，算了兩次，所以
必須減掉，因此得到 | A  B | | A |  | B |  | A  B | 。

排容原理

對有限集合 A, B, C，我們可用下圖表示，其中
圓A、圓B、圓C分別表集合 A, B, C想求屬於集
合A, B, C的元素個數|A|+|B|+|C|，先求| A  B  C |
參考下圖紅色部分，加了兩次，而藍色部分加
了三次，須將重複部分減掉。
A
B

C

排容原理

我們將|A|+|B|+|C|減掉 (| A  B |  | B  C |  | C  A |)
紅色部分被減掉一次，藍色部分卻被減掉三次，
因此 | A |  | B |  | C |  (| A  B |  | B  C |  | C  A |)
沒有包含藍色部分的元素個數，必須再加上去，
才是整個圖形的元素個數，即：
| A  B  C | | A |  | B |  | C |  (| A  B |  | B  C |  | C  A |)  | A  B  C |
A
B

C

排容原理

對三個以上的元素，我們也有類似的結果，即
對任意有限集合 A1 , A2 ,  , An 屬於集合 A1或 A 2 或
或 A n的元素個數為：
| A1  A2    An |  | Ai |   | Ai 
i

Aj |
n 1

 A j  Ak |

| A1  A2    An |

此式可以用數學歸納法證得！
排容原理

i

i j k

i j

   (  1)

|A

另外，如果 A1 , A2 ,  , An 為有限集合A的子集
合我們亦常會遇到要計算屬於集合A但不屬
於集合 A1 , A2 ,  , An 的元素個數，
即| A |  | A1  A2    An | ，從| A1  A2    An |
的公式可知，等於：
| A |   | Ai | 
i

| A
i j

i

 Aj |

| A

i

 A j  Ak |

i j k

   (  1)

排容原理

n 1

| A1  A2    An |

排容原理

假設A為一元素個數的集合，
且 A1 , A2 ,  , An為A的n個子集合，則：
﹝1 屬於集合 A1 , A2 ,  , An 的元素個數為：
﹞
| A1  A2    An |  | A |   | A  A |   | A  A
i

i

i

排容原理

j

 Ak |

i j k

i j

   (  1)

i

j

n 1

| A1  A2    An |

排容原理

假設A為一元素個數的集合，
且 A1 , A2 ,  , An為A的n個子集合，則：
﹝2 屬於集合A但不屬於集合 A1 , A2 ,  , An
﹞
的元素個數為：
| A |   | Ai | 
i

| A
i j

i

 Aj |

| A

i

 A j  Ak |

i j k

   (  1)

n 1

排容原理

| A1  A2    An |

例題1.

求 1～120中，不為4或6的倍數有幾個？
解答：
我們先算出4或6的倍數個數，根據前面的
問題中，可以得知4或6倍數之個數是
30+20-10=40 (個)，所以算出不為4或6的倍
數個數就得120-(30+20-10)=80(個)。故得
知不為4或6倍數之個數為80(個)。

排容原理

例題2.

試求1至 1000中不被 2,3,5 整除的個數。
解答：
可以被2整除的個數為500個，可以被3整除的
個數為333個，可以被5整除的個數為200個，
同時可以被2、3整除的個數為166個，同時能
被2、5整除的個數為100個，能同時被3、5整
除的個數為66個，同時能被2、3、5整除的個
數為33個。所以得到算式為：
1000-(500+333+200)+(166+100+66)-33=266
排容原理

排容原理是由瑞士人─尤拉(Euler)推展
出來的，是一個十分重要的原理，在組
合數學領域中使用尤為廣泛、重要。

排容原理

更多的說明，就在

機率網路學習館…

排容原理


Slide 9

排容原理

機率概念與應用網路學習研究

「排容原理」是計數原理的第一步，通常我們會
直接去求我們所要得到的答案，但如果元素彼此
之間有關連的時候，那我們就還得再考慮它們之
間的關連有沒有影響到我們得到的答案。

排容原理

試問1至120中，4或6的倍數有幾個？








4的倍數個數共 120 4  30 個。
6的倍數個數共120 6  20 個。
將4的倍數個數和6的倍數個數加起來即30+20 = 50
個。
此時同時為4及6的倍數之個數算了兩次，因此必
須減掉，而在1至120中，同時為4跟6的倍數的數
即為12的倍數故共有 120 12  10 個。
因此，4或6的倍數之個數為30+20-10=40個。

排容原理

若令A為1至120中4的倍數之集合，B為1至
120中6的倍數之集合，則 A  B 是 12 倍數
之集合，A  B 為4或6的倍數之集合，因
此 | A  B | | A |  | B |  | A  B | 。也可用圖形
來說明，其中圓A表4的倍數的集合，圓B
表6的倍數的集合，而重疊的部分就是12的
倍數的集合。

排容原理

對任意有限集合 A 及 B，| A  B | | A |  | B |  | A  B |
仍成立，要計算屬於 A 或 B 的元素個數 | A  B ，我
|
們先將集合 A 及 B 的元素個數加起來 | A |  | B |，但
此時既是 A 也是 B 的元素 A  B ，算了兩次，所以
必須減掉，因此得到 | A  B | | A |  | B |  | A  B | 。

排容原理

對有限集合 A, B, C，我們可用下圖表示，其中
圓A、圓B、圓C分別表集合 A, B, C想求屬於集
合A, B, C的元素個數|A|+|B|+|C|，先求| A  B  C |
參考下圖紅色部分，加了兩次，而藍色部分加
了三次，須將重複部分減掉。
A
B

C

排容原理

我們將|A|+|B|+|C|減掉 (| A  B |  | B  C |  | C  A |)
紅色部分被減掉一次，藍色部分卻被減掉三次，
因此 | A |  | B |  | C |  (| A  B |  | B  C |  | C  A |)
沒有包含藍色部分的元素個數，必須再加上去，
才是整個圖形的元素個數，即：
| A  B  C | | A |  | B |  | C |  (| A  B |  | B  C |  | C  A |)  | A  B  C |
A
B

C

排容原理

對三個以上的元素，我們也有類似的結果，即
對任意有限集合 A1 , A2 ,  , An 屬於集合 A1或 A 2 或
或 A n的元素個數為：
| A1  A2    An |  | Ai |   | Ai 
i

Aj |
n 1

 A j  Ak |

| A1  A2    An |

此式可以用數學歸納法證得！
排容原理

i

i j k

i j

   (  1)

|A

另外，如果 A1 , A2 ,  , An 為有限集合A的子集
合我們亦常會遇到要計算屬於集合A但不屬
於集合 A1 , A2 ,  , An 的元素個數，
即| A |  | A1  A2    An | ，從| A1  A2    An |
的公式可知，等於：
| A |   | Ai | 
i

| A
i j

i

 Aj |

| A

i

 A j  Ak |

i j k

   (  1)

排容原理

n 1

| A1  A2    An |

排容原理

假設A為一元素個數的集合，
且 A1 , A2 ,  , An為A的n個子集合，則：
﹝1 屬於集合 A1 , A2 ,  , An 的元素個數為：
﹞
| A1  A2    An |  | A |   | A  A |   | A  A
i

i

i

排容原理

j

 Ak |

i j k

i j

   (  1)

i

j

n 1

| A1  A2    An |

排容原理

假設A為一元素個數的集合，
且 A1 , A2 ,  , An為A的n個子集合，則：
﹝2 屬於集合A但不屬於集合 A1 , A2 ,  , An
﹞
的元素個數為：
| A |   | Ai | 
i

| A
i j

i

 Aj |

| A

i

 A j  Ak |

i j k

   (  1)

n 1

排容原理

| A1  A2    An |

例題1.

求 1～120中，不為4或6的倍數有幾個？
解答：
我們先算出4或6的倍數個數，根據前面的
問題中，可以得知4或6倍數之個數是
30+20-10=40 (個)，所以算出不為4或6的倍
數個數就得120-(30+20-10)=80(個)。故得
知不為4或6倍數之個數為80(個)。

排容原理

例題2.

試求1至 1000中不被 2,3,5 整除的個數。
解答：
可以被2整除的個數為500個，可以被3整除的
個數為333個，可以被5整除的個數為200個，
同時可以被2、3整除的個數為166個，同時能
被2、5整除的個數為100個，能同時被3、5整
除的個數為66個，同時能被2、3、5整除的個
數為33個。所以得到算式為：
1000-(500+333+200)+(166+100+66)-33=266
排容原理

排容原理是由瑞士人─尤拉(Euler)推展
出來的，是一個十分重要的原理，在組
合數學領域中使用尤為廣泛、重要。

排容原理

更多的說明，就在

機率網路學習館…

排容原理


Slide 10

排容原理

機率概念與應用網路學習研究

「排容原理」是計數原理的第一步，通常我們會
直接去求我們所要得到的答案，但如果元素彼此
之間有關連的時候，那我們就還得再考慮它們之
間的關連有沒有影響到我們得到的答案。

排容原理

試問1至120中，4或6的倍數有幾個？








4的倍數個數共 120 4  30 個。
6的倍數個數共120 6  20 個。
將4的倍數個數和6的倍數個數加起來即30+20 = 50
個。
此時同時為4及6的倍數之個數算了兩次，因此必
須減掉，而在1至120中，同時為4跟6的倍數的數
即為12的倍數故共有 120 12  10 個。
因此，4或6的倍數之個數為30+20-10=40個。

排容原理

若令A為1至120中4的倍數之集合，B為1至
120中6的倍數之集合，則 A  B 是 12 倍數
之集合，A  B 為4或6的倍數之集合，因
此 | A  B | | A |  | B |  | A  B | 。也可用圖形
來說明，其中圓A表4的倍數的集合，圓B
表6的倍數的集合，而重疊的部分就是12的
倍數的集合。

排容原理

對任意有限集合 A 及 B，| A  B | | A |  | B |  | A  B |
仍成立，要計算屬於 A 或 B 的元素個數 | A  B ，我
|
們先將集合 A 及 B 的元素個數加起來 | A |  | B |，但
此時既是 A 也是 B 的元素 A  B ，算了兩次，所以
必須減掉，因此得到 | A  B | | A |  | B |  | A  B | 。

排容原理

對有限集合 A, B, C，我們可用下圖表示，其中
圓A、圓B、圓C分別表集合 A, B, C想求屬於集
合A, B, C的元素個數|A|+|B|+|C|，先求| A  B  C |
參考下圖紅色部分，加了兩次，而藍色部分加
了三次，須將重複部分減掉。
A
B

C

排容原理

我們將|A|+|B|+|C|減掉 (| A  B |  | B  C |  | C  A |)
紅色部分被減掉一次，藍色部分卻被減掉三次，
因此 | A |  | B |  | C |  (| A  B |  | B  C |  | C  A |)
沒有包含藍色部分的元素個數，必須再加上去，
才是整個圖形的元素個數，即：
| A  B  C | | A |  | B |  | C |  (| A  B |  | B  C |  | C  A |)  | A  B  C |
A
B

C

排容原理

對三個以上的元素，我們也有類似的結果，即
對任意有限集合 A1 , A2 ,  , An 屬於集合 A1或 A 2 或
或 A n的元素個數為：
| A1  A2    An |  | Ai |   | Ai 
i

Aj |
n 1

 A j  Ak |

| A1  A2    An |

此式可以用數學歸納法證得！
排容原理

i

i j k

i j

   (  1)

|A

另外，如果 A1 , A2 ,  , An 為有限集合A的子集
合我們亦常會遇到要計算屬於集合A但不屬
於集合 A1 , A2 ,  , An 的元素個數，
即| A |  | A1  A2    An | ，從| A1  A2    An |
的公式可知，等於：
| A |   | Ai | 
i

| A
i j

i

 Aj |

| A

i

 A j  Ak |

i j k

   (  1)

排容原理

n 1

| A1  A2    An |

排容原理

假設A為一元素個數的集合，
且 A1 , A2 ,  , An為A的n個子集合，則：
﹝1 屬於集合 A1 , A2 ,  , An 的元素個數為：
﹞
| A1  A2    An |  | A |   | A  A |   | A  A
i

i

i

排容原理

j

 Ak |

i j k

i j

   (  1)

i

j

n 1

| A1  A2    An |

排容原理

假設A為一元素個數的集合，
且 A1 , A2 ,  , An為A的n個子集合，則：
﹝2 屬於集合A但不屬於集合 A1 , A2 ,  , An
﹞
的元素個數為：
| A |   | Ai | 
i

| A
i j

i

 Aj |

| A

i

 A j  Ak |

i j k

   (  1)

n 1

排容原理

| A1  A2    An |

例題1.

求 1～120中，不為4或6的倍數有幾個？
解答：
我們先算出4或6的倍數個數，根據前面的
問題中，可以得知4或6倍數之個數是
30+20-10=40 (個)，所以算出不為4或6的倍
數個數就得120-(30+20-10)=80(個)。故得
知不為4或6倍數之個數為80(個)。

排容原理

例題2.

試求1至 1000中不被 2,3,5 整除的個數。
解答：
可以被2整除的個數為500個，可以被3整除的
個數為333個，可以被5整除的個數為200個，
同時可以被2、3整除的個數為166個，同時能
被2、5整除的個數為100個，能同時被3、5整
除的個數為66個，同時能被2、3、5整除的個
數為33個。所以得到算式為：
1000-(500+333+200)+(166+100+66)-33=266
排容原理

排容原理是由瑞士人─尤拉(Euler)推展
出來的，是一個十分重要的原理，在組
合數學領域中使用尤為廣泛、重要。

排容原理

更多的說明，就在

機率網路學習館…

排容原理


Slide 11

排容原理

機率概念與應用網路學習研究

「排容原理」是計數原理的第一步，通常我們會
直接去求我們所要得到的答案，但如果元素彼此
之間有關連的時候，那我們就還得再考慮它們之
間的關連有沒有影響到我們得到的答案。

排容原理

試問1至120中，4或6的倍數有幾個？








4的倍數個數共 120 4  30 個。
6的倍數個數共120 6  20 個。
將4的倍數個數和6的倍數個數加起來即30+20 = 50
個。
此時同時為4及6的倍數之個數算了兩次，因此必
須減掉，而在1至120中，同時為4跟6的倍數的數
即為12的倍數故共有 120 12  10 個。
因此，4或6的倍數之個數為30+20-10=40個。

排容原理

若令A為1至120中4的倍數之集合，B為1至
120中6的倍數之集合，則 A  B 是 12 倍數
之集合，A  B 為4或6的倍數之集合，因
此 | A  B | | A |  | B |  | A  B | 。也可用圖形
來說明，其中圓A表4的倍數的集合，圓B
表6的倍數的集合，而重疊的部分就是12的
倍數的集合。

排容原理

對任意有限集合 A 及 B，| A  B | | A |  | B |  | A  B |
仍成立，要計算屬於 A 或 B 的元素個數 | A  B ，我
|
們先將集合 A 及 B 的元素個數加起來 | A |  | B |，但
此時既是 A 也是 B 的元素 A  B ，算了兩次，所以
必須減掉，因此得到 | A  B | | A |  | B |  | A  B | 。

排容原理

對有限集合 A, B, C，我們可用下圖表示，其中
圓A、圓B、圓C分別表集合 A, B, C想求屬於集
合A, B, C的元素個數|A|+|B|+|C|，先求| A  B  C |
參考下圖紅色部分，加了兩次，而藍色部分加
了三次，須將重複部分減掉。
A
B

C

排容原理

我們將|A|+|B|+|C|減掉 (| A  B |  | B  C |  | C  A |)
紅色部分被減掉一次，藍色部分卻被減掉三次，
因此 | A |  | B |  | C |  (| A  B |  | B  C |  | C  A |)
沒有包含藍色部分的元素個數，必須再加上去，
才是整個圖形的元素個數，即：
| A  B  C | | A |  | B |  | C |  (| A  B |  | B  C |  | C  A |)  | A  B  C |
A
B

C

排容原理

對三個以上的元素，我們也有類似的結果，即
對任意有限集合 A1 , A2 ,  , An 屬於集合 A1或 A 2 或
或 A n的元素個數為：
| A1  A2    An |  | Ai |   | Ai 
i

Aj |
n 1

 A j  Ak |

| A1  A2    An |

此式可以用數學歸納法證得！
排容原理

i

i j k

i j

   (  1)

|A

另外，如果 A1 , A2 ,  , An 為有限集合A的子集
合我們亦常會遇到要計算屬於集合A但不屬
於集合 A1 , A2 ,  , An 的元素個數，
即| A |  | A1  A2    An | ，從| A1  A2    An |
的公式可知，等於：
| A |   | Ai | 
i

| A
i j

i

 Aj |

| A

i

 A j  Ak |

i j k

   (  1)

排容原理

n 1

| A1  A2    An |

排容原理

假設A為一元素個數的集合，
且 A1 , A2 ,  , An為A的n個子集合，則：
﹝1 屬於集合 A1 , A2 ,  , An 的元素個數為：
﹞
| A1  A2    An |  | A |   | A  A |   | A  A
i

i

i

排容原理

j

 Ak |

i j k

i j

   (  1)

i

j

n 1

| A1  A2    An |

排容原理

假設A為一元素個數的集合，
且 A1 , A2 ,  , An為A的n個子集合，則：
﹝2 屬於集合A但不屬於集合 A1 , A2 ,  , An
﹞
的元素個數為：
| A |   | Ai | 
i

| A
i j

i

 Aj |

| A

i

 A j  Ak |

i j k

   (  1)

n 1

排容原理

| A1  A2    An |

例題1.

求 1～120中，不為4或6的倍數有幾個？
解答：
我們先算出4或6的倍數個數，根據前面的
問題中，可以得知4或6倍數之個數是
30+20-10=40 (個)，所以算出不為4或6的倍
數個數就得120-(30+20-10)=80(個)。故得
知不為4或6倍數之個數為80(個)。

排容原理

例題2.

試求1至 1000中不被 2,3,5 整除的個數。
解答：
可以被2整除的個數為500個，可以被3整除的
個數為333個，可以被5整除的個數為200個，
同時可以被2、3整除的個數為166個，同時能
被2、5整除的個數為100個，能同時被3、5整
除的個數為66個，同時能被2、3、5整除的個
數為33個。所以得到算式為：
1000-(500+333+200)+(166+100+66)-33=266
排容原理

排容原理是由瑞士人─尤拉(Euler)推展
出來的，是一個十分重要的原理，在組
合數學領域中使用尤為廣泛、重要。

排容原理

更多的說明，就在

機率網路學習館…

排容原理


Slide 12

排容原理

機率概念與應用網路學習研究

「排容原理」是計數原理的第一步，通常我們會
直接去求我們所要得到的答案，但如果元素彼此
之間有關連的時候，那我們就還得再考慮它們之
間的關連有沒有影響到我們得到的答案。

排容原理

試問1至120中，4或6的倍數有幾個？








4的倍數個數共 120 4  30 個。
6的倍數個數共120 6  20 個。
將4的倍數個數和6的倍數個數加起來即30+20 = 50
個。
此時同時為4及6的倍數之個數算了兩次，因此必
須減掉，而在1至120中，同時為4跟6的倍數的數
即為12的倍數故共有 120 12  10 個。
因此，4或6的倍數之個數為30+20-10=40個。

排容原理

若令A為1至120中4的倍數之集合，B為1至
120中6的倍數之集合，則 A  B 是 12 倍數
之集合，A  B 為4或6的倍數之集合，因
此 | A  B | | A |  | B |  | A  B | 。也可用圖形
來說明，其中圓A表4的倍數的集合，圓B
表6的倍數的集合，而重疊的部分就是12的
倍數的集合。

排容原理

對任意有限集合 A 及 B，| A  B | | A |  | B |  | A  B |
仍成立，要計算屬於 A 或 B 的元素個數 | A  B ，我
|
們先將集合 A 及 B 的元素個數加起來 | A |  | B |，但
此時既是 A 也是 B 的元素 A  B ，算了兩次，所以
必須減掉，因此得到 | A  B | | A |  | B |  | A  B | 。

排容原理

對有限集合 A, B, C，我們可用下圖表示，其中
圓A、圓B、圓C分別表集合 A, B, C想求屬於集
合A, B, C的元素個數|A|+|B|+|C|，先求| A  B  C |
參考下圖紅色部分，加了兩次，而藍色部分加
了三次，須將重複部分減掉。
A
B

C

排容原理

我們將|A|+|B|+|C|減掉 (| A  B |  | B  C |  | C  A |)
紅色部分被減掉一次，藍色部分卻被減掉三次，
因此 | A |  | B |  | C |  (| A  B |  | B  C |  | C  A |)
沒有包含藍色部分的元素個數，必須再加上去，
才是整個圖形的元素個數，即：
| A  B  C | | A |  | B |  | C |  (| A  B |  | B  C |  | C  A |)  | A  B  C |
A
B

C

排容原理

對三個以上的元素，我們也有類似的結果，即
對任意有限集合 A1 , A2 ,  , An 屬於集合 A1或 A 2 或
或 A n的元素個數為：
| A1  A2    An |  | Ai |   | Ai 
i

Aj |
n 1

 A j  Ak |

| A1  A2    An |

此式可以用數學歸納法證得！
排容原理

i

i j k

i j

   (  1)

|A

另外，如果 A1 , A2 ,  , An 為有限集合A的子集
合我們亦常會遇到要計算屬於集合A但不屬
於集合 A1 , A2 ,  , An 的元素個數，
即| A |  | A1  A2    An | ，從| A1  A2    An |
的公式可知，等於：
| A |   | Ai | 
i

| A
i j

i

 Aj |

| A

i

 A j  Ak |

i j k

   (  1)

排容原理

n 1

| A1  A2    An |

排容原理

假設A為一元素個數的集合，
且 A1 , A2 ,  , An為A的n個子集合，則：
﹝1 屬於集合 A1 , A2 ,  , An 的元素個數為：
﹞
| A1  A2    An |  | A |   | A  A |   | A  A
i

i

i

排容原理

j

 Ak |

i j k

i j

   (  1)

i

j

n 1

| A1  A2    An |

排容原理

假設A為一元素個數的集合，
且 A1 , A2 ,  , An為A的n個子集合，則：
﹝2 屬於集合A但不屬於集合 A1 , A2 ,  , An
﹞
的元素個數為：
| A |   | Ai | 
i

| A
i j

i

 Aj |

| A

i

 A j  Ak |

i j k

   (  1)

n 1

排容原理

| A1  A2    An |

例題1.

求 1～120中，不為4或6的倍數有幾個？
解答：
我們先算出4或6的倍數個數，根據前面的
問題中，可以得知4或6倍數之個數是
30+20-10=40 (個)，所以算出不為4或6的倍
數個數就得120-(30+20-10)=80(個)。故得
知不為4或6倍數之個數為80(個)。

排容原理

例題2.

試求1至 1000中不被 2,3,5 整除的個數。
解答：
可以被2整除的個數為500個，可以被3整除的
個數為333個，可以被5整除的個數為200個，
同時可以被2、3整除的個數為166個，同時能
被2、5整除的個數為100個，能同時被3、5整
除的個數為66個，同時能被2、3、5整除的個
數為33個。所以得到算式為：
1000-(500+333+200)+(166+100+66)-33=266
排容原理

排容原理是由瑞士人─尤拉(Euler)推展
出來的，是一個十分重要的原理，在組
合數學領域中使用尤為廣泛、重要。

排容原理

更多的說明，就在

機率網路學習館…

排容原理


Slide 13

排容原理

機率概念與應用網路學習研究

「排容原理」是計數原理的第一步，通常我們會
直接去求我們所要得到的答案，但如果元素彼此
之間有關連的時候，那我們就還得再考慮它們之
間的關連有沒有影響到我們得到的答案。

排容原理

試問1至120中，4或6的倍數有幾個？








4的倍數個數共 120 4  30 個。
6的倍數個數共120 6  20 個。
將4的倍數個數和6的倍數個數加起來即30+20 = 50
個。
此時同時為4及6的倍數之個數算了兩次，因此必
須減掉，而在1至120中，同時為4跟6的倍數的數
即為12的倍數故共有 120 12  10 個。
因此，4或6的倍數之個數為30+20-10=40個。

排容原理

若令A為1至120中4的倍數之集合，B為1至
120中6的倍數之集合，則 A  B 是 12 倍數
之集合，A  B 為4或6的倍數之集合，因
此 | A  B | | A |  | B |  | A  B | 。也可用圖形
來說明，其中圓A表4的倍數的集合，圓B
表6的倍數的集合，而重疊的部分就是12的
倍數的集合。

排容原理

對任意有限集合 A 及 B，| A  B | | A |  | B |  | A  B |
仍成立，要計算屬於 A 或 B 的元素個數 | A  B ，我
|
們先將集合 A 及 B 的元素個數加起來 | A |  | B |，但
此時既是 A 也是 B 的元素 A  B ，算了兩次，所以
必須減掉，因此得到 | A  B | | A |  | B |  | A  B | 。

排容原理

對有限集合 A, B, C，我們可用下圖表示，其中
圓A、圓B、圓C分別表集合 A, B, C想求屬於集
合A, B, C的元素個數|A|+|B|+|C|，先求| A  B  C |
參考下圖紅色部分，加了兩次，而藍色部分加
了三次，須將重複部分減掉。
A
B

C

排容原理

我們將|A|+|B|+|C|減掉 (| A  B |  | B  C |  | C  A |)
紅色部分被減掉一次，藍色部分卻被減掉三次，
因此 | A |  | B |  | C |  (| A  B |  | B  C |  | C  A |)
沒有包含藍色部分的元素個數，必須再加上去，
才是整個圖形的元素個數，即：
| A  B  C | | A |  | B |  | C |  (| A  B |  | B  C |  | C  A |)  | A  B  C |
A
B

C

排容原理

對三個以上的元素，我們也有類似的結果，即
對任意有限集合 A1 , A2 ,  , An 屬於集合 A1或 A 2 或
或 A n的元素個數為：
| A1  A2    An |  | Ai |   | Ai 
i

Aj |
n 1

 A j  Ak |

| A1  A2    An |

此式可以用數學歸納法證得！
排容原理

i

i j k

i j

   (  1)

|A

另外，如果 A1 , A2 ,  , An 為有限集合A的子集
合我們亦常會遇到要計算屬於集合A但不屬
於集合 A1 , A2 ,  , An 的元素個數，
即| A |  | A1  A2    An | ，從| A1  A2    An |
的公式可知，等於：
| A |   | Ai | 
i

| A
i j

i

 Aj |

| A

i

 A j  Ak |

i j k

   (  1)

排容原理

n 1

| A1  A2    An |

排容原理

假設A為一元素個數的集合，
且 A1 , A2 ,  , An為A的n個子集合，則：
﹝1 屬於集合 A1 , A2 ,  , An 的元素個數為：
﹞
| A1  A2    An |  | A |   | A  A |   | A  A
i

i

i

排容原理

j

 Ak |

i j k

i j

   (  1)

i

j

n 1

| A1  A2    An |

排容原理

假設A為一元素個數的集合，
且 A1 , A2 ,  , An為A的n個子集合，則：
﹝2 屬於集合A但不屬於集合 A1 , A2 ,  , An
﹞
的元素個數為：
| A |   | Ai | 
i

| A
i j

i

 Aj |

| A

i

 A j  Ak |

i j k

   (  1)

n 1

排容原理

| A1  A2    An |

例題1.

求 1～120中，不為4或6的倍數有幾個？
解答：
我們先算出4或6的倍數個數，根據前面的
問題中，可以得知4或6倍數之個數是
30+20-10=40 (個)，所以算出不為4或6的倍
數個數就得120-(30+20-10)=80(個)。故得
知不為4或6倍數之個數為80(個)。

排容原理

例題2.

試求1至 1000中不被 2,3,5 整除的個數。
解答：
可以被2整除的個數為500個，可以被3整除的
個數為333個，可以被5整除的個數為200個，
同時可以被2、3整除的個數為166個，同時能
被2、5整除的個數為100個，能同時被3、5整
除的個數為66個，同時能被2、3、5整除的個
數為33個。所以得到算式為：
1000-(500+333+200)+(166+100+66)-33=266
排容原理

排容原理是由瑞士人─尤拉(Euler)推展
出來的，是一個十分重要的原理，在組
合數學領域中使用尤為廣泛、重要。

排容原理

更多的說明，就在

機率網路學習館…

排容原理


Slide 14

排容原理

機率概念與應用網路學習研究

「排容原理」是計數原理的第一步，通常我們會
直接去求我們所要得到的答案，但如果元素彼此
之間有關連的時候，那我們就還得再考慮它們之
間的關連有沒有影響到我們得到的答案。

排容原理

試問1至120中，4或6的倍數有幾個？








4的倍數個數共 120 4  30 個。
6的倍數個數共120 6  20 個。
將4的倍數個數和6的倍數個數加起來即30+20 = 50
個。
此時同時為4及6的倍數之個數算了兩次，因此必
須減掉，而在1至120中，同時為4跟6的倍數的數
即為12的倍數故共有 120 12  10 個。
因此，4或6的倍數之個數為30+20-10=40個。

排容原理

若令A為1至120中4的倍數之集合，B為1至
120中6的倍數之集合，則 A  B 是 12 倍數
之集合，A  B 為4或6的倍數之集合，因
此 | A  B | | A |  | B |  | A  B | 。也可用圖形
來說明，其中圓A表4的倍數的集合，圓B
表6的倍數的集合，而重疊的部分就是12的
倍數的集合。

排容原理

對任意有限集合 A 及 B，| A  B | | A |  | B |  | A  B |
仍成立，要計算屬於 A 或 B 的元素個數 | A  B ，我
|
們先將集合 A 及 B 的元素個數加起來 | A |  | B |，但
此時既是 A 也是 B 的元素 A  B ，算了兩次，所以
必須減掉，因此得到 | A  B | | A |  | B |  | A  B | 。

排容原理

對有限集合 A, B, C，我們可用下圖表示，其中
圓A、圓B、圓C分別表集合 A, B, C想求屬於集
合A, B, C的元素個數|A|+|B|+|C|，先求| A  B  C |
參考下圖紅色部分，加了兩次，而藍色部分加
了三次，須將重複部分減掉。
A
B

C

排容原理

我們將|A|+|B|+|C|減掉 (| A  B |  | B  C |  | C  A |)
紅色部分被減掉一次，藍色部分卻被減掉三次，
因此 | A |  | B |  | C |  (| A  B |  | B  C |  | C  A |)
沒有包含藍色部分的元素個數，必須再加上去，
才是整個圖形的元素個數，即：
| A  B  C | | A |  | B |  | C |  (| A  B |  | B  C |  | C  A |)  | A  B  C |
A
B

C

排容原理

對三個以上的元素，我們也有類似的結果，即
對任意有限集合 A1 , A2 ,  , An 屬於集合 A1或 A 2 或
或 A n的元素個數為：
| A1  A2    An |  | Ai |   | Ai 
i

Aj |
n 1

 A j  Ak |

| A1  A2    An |

此式可以用數學歸納法證得！
排容原理

i

i j k

i j

   (  1)

|A

另外，如果 A1 , A2 ,  , An 為有限集合A的子集
合我們亦常會遇到要計算屬於集合A但不屬
於集合 A1 , A2 ,  , An 的元素個數，
即| A |  | A1  A2    An | ，從| A1  A2    An |
的公式可知，等於：
| A |   | Ai | 
i

| A
i j

i

 Aj |

| A

i

 A j  Ak |

i j k

   (  1)

排容原理

n 1

| A1  A2    An |

排容原理

假設A為一元素個數的集合，
且 A1 , A2 ,  , An為A的n個子集合，則：
﹝1 屬於集合 A1 , A2 ,  , An 的元素個數為：
﹞
| A1  A2    An |  | A |   | A  A |   | A  A
i

i

i

排容原理

j

 Ak |

i j k

i j

   (  1)

i

j

n 1

| A1  A2    An |

排容原理

假設A為一元素個數的集合，
且 A1 , A2 ,  , An為A的n個子集合，則：
﹝2 屬於集合A但不屬於集合 A1 , A2 ,  , An
﹞
的元素個數為：
| A |   | Ai | 
i

| A
i j

i

 Aj |

| A

i

 A j  Ak |

i j k

   (  1)

n 1

排容原理

| A1  A2    An |

例題1.

求 1～120中，不為4或6的倍數有幾個？
解答：
我們先算出4或6的倍數個數，根據前面的
問題中，可以得知4或6倍數之個數是
30+20-10=40 (個)，所以算出不為4或6的倍
數個數就得120-(30+20-10)=80(個)。故得
知不為4或6倍數之個數為80(個)。

排容原理

例題2.

試求1至 1000中不被 2,3,5 整除的個數。
解答：
可以被2整除的個數為500個，可以被3整除的
個數為333個，可以被5整除的個數為200個，
同時可以被2、3整除的個數為166個，同時能
被2、5整除的個數為100個，能同時被3、5整
除的個數為66個，同時能被2、3、5整除的個
數為33個。所以得到算式為：
1000-(500+333+200)+(166+100+66)-33=266
排容原理

排容原理是由瑞士人─尤拉(Euler)推展
出來的，是一個十分重要的原理，在組
合數學領域中使用尤為廣泛、重要。

排容原理

更多的說明，就在

機率網路學習館…

排容原理


Slide 15

排容原理

機率概念與應用網路學習研究

「排容原理」是計數原理的第一步，通常我們會
直接去求我們所要得到的答案，但如果元素彼此
之間有關連的時候，那我們就還得再考慮它們之
間的關連有沒有影響到我們得到的答案。

排容原理

試問1至120中，4或6的倍數有幾個？








4的倍數個數共 120 4  30 個。
6的倍數個數共120 6  20 個。
將4的倍數個數和6的倍數個數加起來即30+20 = 50
個。
此時同時為4及6的倍數之個數算了兩次，因此必
須減掉，而在1至120中，同時為4跟6的倍數的數
即為12的倍數故共有 120 12  10 個。
因此，4或6的倍數之個數為30+20-10=40個。

排容原理

若令A為1至120中4的倍數之集合，B為1至
120中6的倍數之集合，則 A  B 是 12 倍數
之集合，A  B 為4或6的倍數之集合，因
此 | A  B | | A |  | B |  | A  B | 。也可用圖形
來說明，其中圓A表4的倍數的集合，圓B
表6的倍數的集合，而重疊的部分就是12的
倍數的集合。

排容原理

對任意有限集合 A 及 B，| A  B | | A |  | B |  | A  B |
仍成立，要計算屬於 A 或 B 的元素個數 | A  B ，我
|
們先將集合 A 及 B 的元素個數加起來 | A |  | B |，但
此時既是 A 也是 B 的元素 A  B ，算了兩次，所以
必須減掉，因此得到 | A  B | | A |  | B |  | A  B | 。

排容原理

對有限集合 A, B, C，我們可用下圖表示，其中
圓A、圓B、圓C分別表集合 A, B, C想求屬於集
合A, B, C的元素個數|A|+|B|+|C|，先求| A  B  C |
參考下圖紅色部分，加了兩次，而藍色部分加
了三次，須將重複部分減掉。
A
B

C

排容原理

我們將|A|+|B|+|C|減掉 (| A  B |  | B  C |  | C  A |)
紅色部分被減掉一次，藍色部分卻被減掉三次，
因此 | A |  | B |  | C |  (| A  B |  | B  C |  | C  A |)
沒有包含藍色部分的元素個數，必須再加上去，
才是整個圖形的元素個數，即：
| A  B  C | | A |  | B |  | C |  (| A  B |  | B  C |  | C  A |)  | A  B  C |
A
B

C

排容原理

對三個以上的元素，我們也有類似的結果，即
對任意有限集合 A1 , A2 ,  , An 屬於集合 A1或 A 2 或
或 A n的元素個數為：
| A1  A2    An |  | Ai |   | Ai 
i

Aj |
n 1

 A j  Ak |

| A1  A2    An |

此式可以用數學歸納法證得！
排容原理

i

i j k

i j

   (  1)

|A

另外，如果 A1 , A2 ,  , An 為有限集合A的子集
合我們亦常會遇到要計算屬於集合A但不屬
於集合 A1 , A2 ,  , An 的元素個數，
即| A |  | A1  A2    An | ，從| A1  A2    An |
的公式可知，等於：
| A |   | Ai | 
i

| A
i j

i

 Aj |

| A

i

 A j  Ak |

i j k

   (  1)

排容原理

n 1

| A1  A2    An |

排容原理

假設A為一元素個數的集合，
且 A1 , A2 ,  , An為A的n個子集合，則：
﹝1 屬於集合 A1 , A2 ,  , An 的元素個數為：
﹞
| A1  A2    An |  | A |   | A  A |   | A  A
i

i

i

排容原理

j

 Ak |

i j k

i j

   (  1)

i

j

n 1

| A1  A2    An |

排容原理

假設A為一元素個數的集合，
且 A1 , A2 ,  , An為A的n個子集合，則：
﹝2 屬於集合A但不屬於集合 A1 , A2 ,  , An
﹞
的元素個數為：
| A |   | Ai | 
i

| A
i j

i

 Aj |

| A

i

 A j  Ak |

i j k

   (  1)

n 1

排容原理

| A1  A2    An |

例題1.

求 1～120中，不為4或6的倍數有幾個？
解答：
我們先算出4或6的倍數個數，根據前面的
問題中，可以得知4或6倍數之個數是
30+20-10=40 (個)，所以算出不為4或6的倍
數個數就得120-(30+20-10)=80(個)。故得
知不為4或6倍數之個數為80(個)。

排容原理

例題2.

試求1至 1000中不被 2,3,5 整除的個數。
解答：
可以被2整除的個數為500個，可以被3整除的
個數為333個，可以被5整除的個數為200個，
同時可以被2、3整除的個數為166個，同時能
被2、5整除的個數為100個，能同時被3、5整
除的個數為66個，同時能被2、3、5整除的個
數為33個。所以得到算式為：
1000-(500+333+200)+(166+100+66)-33=266
排容原理

排容原理是由瑞士人─尤拉(Euler)推展
出來的，是一個十分重要的原理，在組
合數學領域中使用尤為廣泛、重要。

排容原理

更多的說明，就在

機率網路學習館…

排容原理