Transcript 20 鏈鎖律及隱函數微分求偏導數20.1 單變數函數之隱函數微分法

Y
I
py
y 
80
9
Px X+ PyY=I
Max U  U(

x 
20
9
20 鏈鎖律及隱函數
微分求偏導數
I
px
20 80
, )
9 9
X
20.1 單變數函數之隱函數微分法、鏈鎖律
及多變數函數之偏導數之回顧
20.2 多變數函數之鏈鎖律
20.3 多變數函數之隱函數微分法
20.4 應用
20.1 單變數函數之隱函數微分法、
鏈鎖律及多變數函數之偏導數
之回顧
單變數函數之鍊鎖律的回顧
令 函數 y  f(u)是 u的可微函數;
函數 u  g(x)是 x 的可微函數,
則 y  f(g(x))是 x 的可微函數,
並且
dy dy du

dx du dx
或者
d[f(g(x))]
 f(g(x))
g(x)
dx
例 1 f(x) ln(3x2  4x),試求 f(x)的一階導數
Sol : f(u)  ln(u);u  g(x) 3x2  4x ;
f(x)  [ln(g(x))
]g(x)
1
 2
 (2  3x  4)
3x  4x
6x  4
 2
3x  4x
單變數函數之隱函數微分法的回
顧
x2  y2  6xy 0
無法直接微
分求導數
sin(x) cos(y) y
例 2 下列為何種函數？
1.x2y y x21 0
隱函數
2
1
x
2. y 
x2  1
顯函數
3. x2  y2  6xy 0
隱函數
4. x y  x
隱函數
5.sin(x) cos(y) y
隱函數
6.xy  yx
隱函數
例3 隱函數的微分
ln y  3x2  4  0
3x2  4
y e
(化成顯函數)
dy
y 
dx
3x2  4
d[e ]

dx
3x2  4
 6x  e
為何要利用隱函數微分求導數?
由於於某些方程式而言，欲求其顯函數之形式
通常極為困難或無法求出。
如：ey  xy
y5  3x2y2  5x4  12
x3  y3  6xy  0
y  ??(x)
dy
例 4 F(x,y)  x  y  6 x y  0 試求 y 
dx
2
2
F(x,y)  0中，視 y 為 x 的可微函數，
2
x2  [y(x)]
 6x[y(x)]
0
F(x,y) x2  y2  6xy 0
F(x,y)  0中，視 y 為 x 的可微函數，
2
x2  [y(x)]
 6x[y(x)]
0
兩側對 x 微分，(配合鏈鎖律)
dy
可得到一個含
的方程式，
dx
dy
dy
2x 2y  (6y 6x )  0
dx
dx
dy
x  3y

dx
y  3x
dy
 由此解出
dx
偏導數的回顧
——定義及其計算
例 g(x) 2x2  5  x  32
d g(x)
g(x) 
dx
 4x  5  1  32
例 g(x) 2x2  5  x  72
d g(x)
g(x) 
dx
 4x  5  1  72
f(x,y)  g(x) 2x2  5  x  y2
f(x,y) 
d f(x,y) d g(x)

dx
x
f(x  h, y)  f(x,y)
 lim
h 0
h
g(x h)  g (x)
 lim
h 0
h
 4x  5  1  y2
例 5 f(x,y)  2x2  5 x y2
從單變數函數的一階導數
—— 到多變數函數的偏
 f(x,y)
fx(x,y) 
x
導數
f(x h,y) f(x,y)
 lim
h 0
h
 4x 51 y2
例 g(x) 2x  5  x  3
2
2
d g(x)
g(x) 
dx
 4x  5  1  32
例 g(x) 2x2  5  x  72
d g(x)
g(x) 
dx
 4x  5  1  72
z=f(x,y),
則函數 f 對 x 及 y 的偏導數定義如下：
z f
f(x  h, y)  f(x,y)

 lim
x x h 0
h
z f
f(x,y  h)  f(x,y)

 lim
y y h 0
h
例6
2
2
令 f(x,y)  4  x  2y , 試計算出 f x(1,1) and f y(1,1)
並說明其幾何意義
例6
2
2
令 f(x,y)  4  x  2y , 試計算出 f x(1,1) and f y (1,1)
並說明其幾何意義
sol
f x(x,y)  2x
f x(1,1) 2
例6
2
2
令 f(x,y)  4  x  2y , 試計算出 f x(1,1) and f y (1,1)
並說明其幾何意義
sol
f y (x,y)  4y
f y (1,1) 4
注意事項
1. 當我在針對 f 函數中
的 x 變數進行偏微分時,
事實上我們是把另一個變
數 y 視為固定常數,因此
偏微分的計算與單變數函
數的微分原理相同
注意事項
2. 偏導數只能告訴我們
當 f 中的一個變數 x 微
量變化而另一個變數固
定不動時, 函數值 f 的
變化率,它並不能告訴
我們兩個變數 x 及 y
同時微量變化時,函數
值 f 因而產生的的變化
注意事項
3. 當我們正在針對某個變數 x 進行偏
微分時,只是暫時地將另一個變數 y 視
為常數,然而偏導數 fx(x,y) 及 fy(x,y)
依舊仍為 x 及 y 的函數
例
f(x,y)  2x2  5  x  y2
fx (x,y) 
 f(x,y)
x
 lim
h 0
f(x  h, y)  f(x,y)
h
 4x  5  1  y2
高階偏導數: 若 f(x,y)為二變元函數,則其
偏導數 f1, f2 仍為二變函數,由此可進而求
f1, f2 之偏導數,得 出 f 之高階偏導數。

 
 2f
f21  fyx 
(fy ) 
( f) 
x
x y
xy

  2f
 3f
f121 
(f12) 
(
)
x
x yx
xyx
(Leibnitz符
號由右而左,La gra nge符號
由左而右)
【注意事項】
高階偏導數之符號表法有很多種,常令人混淆,應加小心。
下列舉例說明之 :
若 z  f(x,y)
則

 
 2f
f11  fxx  (f1)  ( f)  2
x
x x
x

 
 2f
f12  fxy  (f1)  ( f) 
y
y x
yx
【例7】設f(x,y)  x6y5, 求f11, f12, f21, f22。
sol:
f1  6x5y5 ; f2  5x6y4
 f11  30x4y5
f12  30x5y4
f21  30x5y4
f22  20x6y3
2 y ax
【例8】若F(x,y)  (y  a x)e
, 試證
proof:
F
y ax
 2a (y a x)e
 a (y a x)2 ey ax
x


 a (y a x)2  2a y 2a2x ey ax
F
y ax
 2(y a x)e
 (y  a x)2 ey ax
y


 (y  a x)2  2y  2a xey ax
2
 2F
2  F
a
0
2
2
x
y


Fx  a(y ax)2  2ay 2a2x eyax




 2F
y ax
2
2
2 y ax
2
e
x
2a

y
2a

x)
a

(y
a
a

e
2a

x)
a

(y
2a

x2


 a2 (y  a x)2  2a2 (y  a x) 2a2y  2a3x  2a2 ey ax


 2F
y ax
2
y ax


e
x
2a

2y

x)
a

(y

e
2

x)
a

2(y

y2


 (y  a x)2  2(y  a x) 2y  2a x 2 ey ax


2
Fy  (y  ax)
 2y  2axeyax


2

F
2
2
2
2
2
3
2 y ax
a

a
(y

a
x)

2a
(y

a
x)

2a
y

2a
x

2a
e
2
y
 2F 2  2F
 2 a
0
2
x
y


 2F
2
2
2
2
3
2 y ax

a
(y

a
x)

2a
(y

a
x)

2a
y

2a
x

2a
e
2
x
【注意事項】
1. 若函數 f 係定義在 D 且 fxy 及 fyx 皆為連續函數
則 對任意 (a ,b) D, 我們有 fxy(a ,b)  fyx(a ,b)
(Cla ira ut'
s 定理)
【注意事項】
2. 上述結果可以推廣至多變元及更高階偏導數的情形,例如,
若 f 是三變元的函數,則 :
f123  f132  f213  f231 f312  f321

f1132 f1312 f2113
 3f
 3f
 3f
因此,Leibnitz符號可以簡化
等為 2 (或
)。
2
xyx
x y
yx
【例9】設f(x,y,z) x3y2  3x2y2  4y,證明 fxxy  fyxx
。
proof:
fx  3x2y2  6xy2
;
fy  2x3y  6x2y  4
fxx  6xy2  6y2
;
fyx  6x2y  12xy
fxxy  12xy 12y
 fxxy  fyxx
;
fyxx  12xy 12y
20.2
多變數函數的鏈鎖律
- - - - - 偏導數之計算
定理 19.1：　若 z  f(x,y)為可微,且 x  x(t)
y  y(t),皆為可微及連續,則
z 可以表為 t 的函數,並且
dz z dx z dy


dt x dt y dt
dx
dy
 fx  fy
dt
dt
定理 19.1 ：　若 w  f(x,y,z)為可微,且x  x(t)
y  y(t),z  z(t)皆為可微及連續,則
w 可以表為 t 的函數,並且
dw w dx w dy w dz



dt x dt y dt z dt
dx
dy
dz
 fx  fy  fz
dt
dt
dt
定理 19.2：　若 f(x,y)為可微, 且 x  x(r,s)
y  y(r,s),皆為可微及連續,則
z 可以表為 r及 s 的函數,並且
z z x z y


r x r y r
x
y
 fx  fy
r
r
z z x z y


s x s y s
x
y
 fx
 fy
s
s
z
z
x
x
r
r
z
y
y
x
x
s
y
r
s r
y
s
s
定理 19.2：　若 w  f(x,y,z)為可微,且 x  x(r,s,t)
y  y(r,s,t),z  z(r,s,t)皆為可微及連
續, 則 w 可以表為 r,s 及 t 的函數,並且
w w x w y w z



r x r y r z r
x
y
z
 fx
 fy
 fz
r
r
r
w
x
y
z
r s t r st rs t
定理 19.2：　若 w  f(x,y,z)為可微,且 x  x(r,s,t)
y  y(r,s,t),z  z(r,s,t)皆為可微及連
續, 則 w 可以表為 r,s 及 t 的函數,並且
w w x w y w z



r x r y r z r
x
y
z
 fx
 fy
 fz
r
r
r
w w x w y w z



s x s y s z s
x
y
z
 fx
 fy
 fz
s
s
s
w w x w y w z



t x t y t z t
x
y
z
 fx
 fy
 fz
t
t
t
z
π
【例10】設z  e , x  t cost,y  t sint,求 在 t  值。
t
2
x y2
z
z  e , x  t cost,y  t sint,
t tπ
x y2
2
sol:
z z dx z dy


t x dt y dt
2 x y2
x y2
 y e (cost  t sint) 2 x y e (sint  t cost)
x y2
z  e , x  t cost,y  t sint,
z
t tπ
2
sol:
z z dx z dy


t x dt y dt
2 x y2
x y2
 y e (cost  t sint) 2 x y e (sint  t cost)
t 

2
, x  0, y 

2
z

t
2
π
t
2
π3

8
π
π 
   (0 )  0(1 0)
2
 2
【例 11】設u sin-1(3x y),x  r2  es, y  sin(r s),
u u
求 ,
r s
z
z x z y


r
x r
y r
x
y
 fx
 fy
r
r
z
z
x
z
z x z y


s
x s y s
x
r
x
y
 fx
 fy
s
s
r
z
y
y
x
x
s
y
r
s r
y
s
s
u  sin-1(3x y),x  r2  es, y  sin(r s),
欲求
u u
, 。
r s
sol:
d sin 1 x

dx
u u x u y


r
x r y r


3
2 re 
s
1  (3x y)
2
1
1  (3x y)2
1
1 x
2
1
1  (3x y)
[6 res  s cos(r s)]
2
( 1  x  1)
s cos(r s)
u u x u y


s x s y s


3
r e 
2
1  (3x y)
2
1
1  (3x y)2
s
1
1  (3x y)
2
r  cos(r  s)
[3r2es  r  cos(rs)]
u  sin-1(3x y), x  r2  es, y  sin(r s),
例 12
函數 w(x,y)  2 x y, 其中 x  s2  t2
並且 y  s t , 試求 w s 以及 w t
Sol
先不利用鏈鎖律
直接將 x  s2  t2 及 y  s t 代入 w
w  2xy

 2(s2  t2 ) st
s3
 2(  st)
t
等式兩側對 s 微分 :
w
3s2
6s2  2t2
 2(  t) 
s
t
t
先不利用鏈鎖律
等式兩側對 t 微分 :
w
s3
 s3  st2
2st2  2s3
 2( 2  s)  2(
)
2
t
t
t
t2
函數 w(x,y)  2 x y, 其中 x  s2  t2
並且 y  s t , 試求 w s 以及 w t
w w x w y


利用鏈鎖律
s x s y s
1
 2y(2s) 2x( )
w w x w y
t


2
2
2
2
2
t x t y t
s
2s  2t 6s  2t
 4( ) 

t
t
t
-s
x  s2  t2; y  s t
 2y(2t) 2x( 2 )
t
s
2
2 s
 2( )(2t) 2(s  t ) 2
t
t
2 s t2 -2s3

t2
例 13 三個變數的鎖鏈律舉隅
函數 w(x,y,z) xy yz xz
其中 x  scost,y  ssint,a nd z  t.
試計算出 w s 及 w t (s 1; t  2π)
Sol
利用定理 19.2' 我們有
w w x w y w z



s x s y s z s
 (y z)(cost) (x z)(sint) (y x)(0)
 (y z)(cost) (x z)(sint)
w w x w y w z



s x s y s z s
 (y z)(cost) (x z)(sint) (y x)(0)
 (y z)(cost) (x z)(sint)
x  scost,y  ssint,and z  t
s  1; t  2π,  x  1, y  0, 以及 z  2π.
 w s  2π(1)  (1 2π)(0)  0  2π.
另一方面
w w x w y w z



t x t y t z t
 (y z)(ssint) (x z)(scost) (y x)(1)
x  scost,y  ssint,and z  t
s  1; t  2π,  x  1, y  0, 以及 z  2π
w
 (0 2π)(0)  (1 2π)(1)  (0 1)(1)
t
 2  2π
【例14】設f 為一單變函數,函數 u 定義如下 :
x y
u  x y  f(
)
xy
試證 u 滿足下列形式之偏微分方程式 :
u 2 u
x
y
 G (x,y)u,
x
y
2
並求出 G (x,y)。
x y
u  xy f(
)
xy
欲證 u 滿足下列形式之偏微分方程式 :
x2
u 2 u
y
 G (x,y)u, 並求出 G (x,y)。
x
y
sol:
u
x y
' x  y xy-y(x y)
 yf(
)  xyf (
)
x
xy
xy
(xy)2
x y y ' x y
 yf(
)- f (
)
xy x
xy
u
x y
' x  y xy-x(x y)
 xf(
)  xyf (
)
y
xy
xy
(xy)2
x y
u  xy f(
)
xy
x y x ' x y
 xf(
)- f (
)
xy y
xy
u 2 u
x y
x y
2
' x y
2
' x y
x
y
 x yf(
) -xyf (
) -y xf(
)  xyf (
)
x
y
xy
xy
xy
xy
2
x y 2 x y
 x yf(
) -y xf(
)
xy
xy
2
x y
 (y -x) x y f(
)
xy
 (y -x)u
令 y -x  G(x,y)
u
2 u
則 x
y
 G(x,y)u
x
y
2
廣義形式的鏈鎖律
若 u 為 x1, x2 , , xn 的可微函數,而 xi , i  1,2, , n
, 皆為 t1, t2 , , tm 的可微函數,則 u 為 t1, t2 , , tm
的可微函數,並且對任意 i  1,2, , n
u u x1 u x2
u xn



ti x1 ti x2 ti
xn ti
m 階齊次(homoge
neousof degree
m)函數的實例
1. f(x,y)  x3  3xy2  y3
(m  3)
fx  x  fy  y  (3x2 -3y2 )  x  (-6xy 3y2 )  y
 3x3  3xy2  (6xy2  3y3 )
 3x3  9xy2  3y2  3 f(x,y)
f(λx,λy)  λ f(x,y)
3
m 階齊次(homoge
neousof degree
m)函數的實例
(m  0  ex/y  0ex/y)
2. f(x,y)  ex/y
1
x/y  x
fxx  fyy  (e  )  x  (e  2 )  y
y
y
x/y
x -x x/y
(
)e  0  ex/y
y
f(λx,λy)  λ f(x,y)  f(x,y)
0
m 階齊次(homoge
neousof degree
m)函數的實例
3
2
3. f(x,y)  x y
5
2
(m  4)
1
5
3
3
3 2 2
5 2 2
fx  x  fy  y  ( )x y  x  ( )x y  y
2
2
3
2
5
2
 4 x y  4  f(x,y)
f(λx,λy)  λ f(x,y)
4
尤拉(Euler)定
理
若 Y  f(X1, X 2 ,, X n ) 為連續且可微之函數,且具有
m 階齊次特性,( homogeneou
s of degree
m 亦即
f(λX 1,λX 2,,λX n )
λ m f(X1, X 2,, X n ), λ  0 )
則
f1X1  f2X 2   fnX n  m  f(X1, X 2 ,, X n )
f(X1, X 2 ,, X n )
其中 fi 
X i
關於此一函數的其他重
要特性, 請參閱張守鈞個
體濟理論與應用,全英出
版社
證明
由於
f(λX 1,λX 2,,λX n ) λ m f(X1, X2,, X n )
利用鏈鎖律,兩側對 λ 做偏微分,可得
(λX 1)
(λX 1)
(λX n )
f
f
f





(λX 1)
λ
(λX 1)
λ
(λX n )
λ
 mλ m1f(X1X 2 ,, X n )
只要λ 為正, 則上式恆成立,因此只要取 λ  1,可得
f1X1  f2X 2   fnX n  m  f(X1, X 2 ,, X n )
證明
由於
f(λX 1,λX 2,,λX n ) λ m f(X1, X2,, X n )
利用鏈鎖律,兩側對 λ 做偏微分,可得
(λX 1)
(λX 1)
(λX n )
f
f
f





(λX 1)
λ
(λX 1)
λ
(λX n )
λ
 mλ m1f(X1X 2 , , X n )
只要λ 為正, 則上式恆成立,因此只要取 λ  1,可得
f1X1  f2X 2   fnX n  m  f(X1, X 2 , , X n )
20.3 隱函數微分法求偏導數
- - - - - - - 偏導數之計算
隱函數微導 (1)
若在方程式 F(x,y)  0 中, y 為 x 之可微函數,
dy
則
可以推導如下:
dx
y  y(x)
令 w  F(x,y)  0,利用鏈鎖律,兩側對 x 微分
w F dx F dy
dy
0


 Fx (x,y) Fy (x,y)
x x dx y dx
dx
dz dz dx dz dy


Fx (x,y)
dy
dt dx dt dy dt

dx
Fy (x,y)
dx
dy
 fx  fy
dt
dt
隱函數微導 (2)
若在方程式 F(x,y,z) 0 中,可視 z 為 x,y 二獨立變元之可微函數,
z z
則
,
可以使用下列兩種方式來計算。
x y
【法 1】由 F(x,y,z) 0 兩邊分別對 x 及 y 微導,
可得下列兩式:
F
F F z
z
F

 0,    x (若
 0)
F
x z x
x
z
z
F
F F z
z
F
y

 0,   
(若
 0)

F
y z y
y
z
z
z  z(x,y)
獨立變元
【例 15】設y2  xz z2 -ez -c  0,其中 z 為 x,y 之函數,
假定 z  f(x,y)
(1)若以知 f(0,e) 2, 試決定常數 c 之值。
f
(2)求
x
(0,e)
f
與
y
(0,e)
y2  xz z2 -ez -c  0, 其中 z  f(x,y)
(1)若以知 f(0,e) 2, 試決定常數 c 之值。
f
(2)求
x
sol:
(0,e)
f
與
y
(0,e)
(1) 令 y2  xz z2 -ez -c  0 ----(*)
以 x  0, y  e,z  f(0,e) 2 帶入(*)得
e2  22  e2  c  0
c  4
y2  xz z2 -ez -4  0
(2)(*)兩邊對x 微分得
z
z z z
z  x  2z  e
0
x
x
x
z
z
 
x x  2z ez
z
2
2

 2
(0,e) 
2
x
4 e e  4
y2  xz z2 -ez -4  0
(*)兩邊對 y 微分得
z
z
z z
2y x  2z  e
0
y
y
y
z
 2y


y x  2z ez
z
 2e
2e

 2
(0,e) 
2
y
4 e
e 4
20.4 應用
U ( x, y)
Y
Max U(x,y)
{X, Y}
s.t. Px X  Py Y  I

I
py
U1
px X+ pyY=I


U0

U2
I
px
例18 以鏈鎖律求偏導數在經濟學的應用
X
U  U0
U  U1
以鏈鎖律求偏導數在經濟學的應用
U ( x, y)
Y
Max U(x,y)
{X, Y}
s.t. Px X  Py Y  I

I
py
U1
px X+ pyY=I


U0

U2
I
px
X
Max U(x,y)
{X, Y}
s.t. Px X  Py Y  I
Sol:
由限制式 Px X  PyY  I 可得知 Y 滿足
I Px
Y
 X
Py Py
代入效用函數得
I Px
Ma xU(X,Y)  U(X,  X)
Py Py
因此一階條件為:
dU U U dY
0


dx x y dx
Px
I
Y 

X
Py
Py
dU
0
dX

U U d Y

X Y d x
Px
dY

 
dx
Py
Py
U U Py


(- )  Ux  Uy (- )
X Y Px
Px
 一階條件為:
Py
0  Ux  Uy (- )
Px
Ux Py

Uy Px
Ux Uy

Px
Py
亦即
或者
最後一元花在x或y所
能獲得的邊際效用皆
相等
以鏈鎖律求偏導數在經濟學的應用
U ( x, y)
Y
Max U(x,y)

I
py
{X, Y}
s.t. Px X  Py Y  I
y
Px X+ PyY=I



U0


x



Ux(x , y ) Uy (x , y )

Px
Py
U1
由此求出 X*, Y*
U2
I
px
X
可以證明此一階條件下的 X*,Y*
滿足效用最大的二階條件
 
U
(x
Ux(x , y ) y , y )

Px
Py


例18 實例舉隅
1
3
Ma x U  U(X,Y)  X Y
s.t. 5 X  10 Y  100
Px  5;
Py  10;
I  100;
2
3
1
2
1
2
U  X (20 X)
 效用極大化之一階條件
0
dU
dX
U U d Y


X Y d x
Py
U U Py


(- )  Ux  Uy (- )
X Y Px
Px
2
3
2
3
1
3
1
2
 X Y  X Y
3
3

1
3
10
( )
5
2
3
2
3
1
X Y
10 3

1
1

5
2 3 3
X Y
3


Y  4X
Y
Px X+ PyY=I
I
py
y 
80
9

x 
100 5X  10Y  5X  10(4X)
X 
100 20
400 80

; Y 

45
9
45
9
Max U  U(
20
9
I
px
20 80
, )
9 9
X
可以證明此一階條件下的 X*,Y*
滿足效用最大的二階條件
 
U
(x
Ux(x , y ) y , y )

Px
Py


例19 統計學上的的應用----迴歸線之推導
 i  yi  (a  bxi )
0.8
53.9
8.7
67.4
1.6
53.3
10.9
69.7
1.8
54.4
11.8
73.5
2.2
59.4
12.1
78.9
3.6
51.5
12.9
75.1
4.4
57.5
14.4
77.0
5.7
67.6
15.4
79.4
6.5
63.8
16.9
84.3
7.2
58.3
19.2
91.9
7.2
64.4
19.4
91.5
(xi , yi )
 i  yi  (a  bxi )
Y  a  bX
Y  a  bX
 i  yi  (a  bxi )
n
2
Min S(a,b)  yi  (a bxi )
a, b
i1
因此一階條件為:
n
 S(a b)
,

0  a  (1) 2  yi  (a bxi )

i 1

n

S(a
b)
,
0 
 ( b) 2  yi  (a bxi )

b
i 1
鏈鎖律
n
2
Min S(a,b)  yi  (a bxi )
a, b
i1
因此一階條件為:
n
 S(a b)
,

0  a  (1) 2  yi  (a bxi )

i 1
鏈鎖律

n
,
0   S(a b)
 2  xi  yi  (a bxi )

b
i 1
n
n
 yi  n  a  b  xi
 i1
i 1
n
n
n
 x y  n  a x  b x 2


i i
i
i

i 1
i 1
i 1
n
n
 yi  n  a  b  xi
 i1
i 1
n
n
n
 x y  n  a x  b x 2


i i
i
i

i 1
i 1
i 1
ˆ
b
可以證明此一階條件下的
aˆ, bˆ 達到二階條件下的最
n
n
n
i 1
i 1
n
i 1
n xi yi   xi  yi
n
n x2i  ( xi )2
i 1
n
小平方
y
i
aˆ 
i 1
n
i 1
n
ˆ
b
x
i
i 1
n
極值的判定別 :
設f(x,y)的二階偏導數都連續,且
f
f
(x0 , y0 )  (x0 , y0 )  0令
x
y
 2f
 2f
 2f
 2f
A  2 (x0 , y0 ),B 
(x0 , y0 ) 
(x0 , y0 ),C  2 (x0 , y0 ),
x
xy
yx
y
D  A C B2
則
(1)若 A  0且D  0 則 f 在 (x0 , y0 ) 有相對極小值(rela ve
ti minimum)。
(2)若 A  0且D  0 則 f 在 (x0 , y0 ) 有相對極大值(rela ve
ti ma ximum)
(3)若 D  0 則(x0 , y0 ) 為馬鞍點(sa ddle
point)。
(4)若 D  0 則無法判定是否有極值。
ˆX
ˆb
Ya
ˆX
ˆb
Ya
單變數函數之鍊鎖律的回顧
令 函數 y  f(u)是 u的可微函數;
函數 u  g(x)是 x 的可微函數,
則 y  f(g(x))是 x 的可微函數,
並且
dy dy du

dx du dx
或者
d[f(g(x))]
 f(g(x))
g(x)
dx
例 1 f(x) ln(3x2  4x),試求 f(x)的一階導數
Sol : f(u)  ln(u);u  g(x) 3x2  4x ;
f(x)  [ln(g(x))
]g(x)
1
 2
 (2  3x  4)
3x  4x
6x  4
 2
3x  4x
F(x,y) x2  y2  6xy 0
F(x,y)  0中，視 y 為 x 的可微函數，
2
x2  [y(x)]
 6x[y(x)]
0
兩側對 x 微分，(配合鏈鎖律)
dy
可得到一個含
的方程式，
dx
dy
dy
2x  2y  (6y 6x )  0
dx
dx
dy
2x  3y

dx
y  3x
dy
 由此解出
dx
z=f(x,y),
則函數 f 對 x 及 y 的偏導數定義如下：
z f
f(x  h, y)  f(x,y)

 lim
x x h 0
h
z f
f(x,y  h)  f(x,y)

 lim
y y h 0
h
例6
2
2
令 f(x,y)  4  x  2y , 試計算出 f x(1,1) and f y (1,1)
並說明其幾何意義
sol
f x(x,y)  2x
f x(1,1) 2
例6
2
2
令 f(x,y)  4  x  2y , 試計算出 f x(1,1) and f y (1,1)
並說明其幾何意義
sol
f y (x,y)  4y
f y (1,1) 4
定理 19.1：　若 z  f(x,y)為可微,且 x  x(t)
y  y(t),皆為可微及連續,則
z 可以表為 t 的函數,並且
dz dz dx dz dy


dt dx dt dy dt
dx
dy
 fx  fy
dt
dt
定理 19.1 ：　若 w  f(x,y,z)為可微,且x  x(t)
y  y(t),z  z(t)皆為可微及連續, 則
w 可以表為 t 的函數,並且
dw dwdx dwdy dwdz



dt dx dt dy dt dz dt
dx
dy
dz
 fx  fy  fz
dt
dt
dt
定理 19.2：　若 f(x,y)為可微, 且 x  x(r,s)
y  y(r,s),皆為可微及連續,則
z 可以表為 r及 s 的函數,並且
z z x z y


r x r y r
x
y
 fx  fy
r
r
z z x z y


s x s y s
x
y
 fx
 fy
s
s
z
z
x
x
r
r
z
y
y
x
x
s
y
r
s r
y
s
s
定理 19.2：　若 w  f(x,y,z)為可微,且 x  x(r,s,t)
y  y(r,s,t),z  z(r,s,t)皆為可微及連
續, 則 w 可以表為 r,s 及 t 的函數,並且
w w x w y w z



r x r y r z r
x
y
z
 fx  fy  f z
r
r
r
w
x
y
z
r s t r st rs t
定理 19.2：　若 w  f(x,y,z)為可微,且 x  x(r,s,t)
y  y(r,s,t),z  z(r,s,t)皆為可微及連
續, 則 w 可以表為 r,s 及 t 的函數,並且
w w x w y w z



r x r y r z r
x
y
z
 fx  fy  fz
r
r
r
w w x w y w z



s x s y s z s
x
y
z
 fx  fy  fz
s
s
s
w w x w y w z



t x t y t z t
x
y
z
 fx  fy  fz
t
t
t
隱函數微導 (1)
若在方程式 F(x,y)  0 中, y 為 x 之可微函數,
dy
則
可以推導如下:
dx
令 w  F(x,y)  0,利用鏈鎖律,兩側對 x 微分
w F dx F dy
dy
0


 Fx (x,y) Fy (x,y)
x x dx y dx
dx
Fx (x,y)
dy

dz dz dx dz dy


dx
Fy (x,y)
dt dx dt dy dt
dx
dy
 fx  fy
dt
dt
隱函數微導 (2)
若在方程式 F(x,y,z) 0 中,可視 z 為 x,y 二獨立變元之可微函數,
z z
則
,
可以使用下列兩種方式來計算。
x y
【法 1】由 F(x,y,z) 0 兩邊分別對 x 及 y 微導,
可得下列兩式:
F
F F z
z
F

 0,    x (若
 0)
F
x z x
x
z
z
F
F F z
z
F
y

 0,   
(若
 0)

F
y z y
y
z
z
z  z(x,y)
獨立變元
【法2】令u F(x,y, z),則 du  F1dx F2dy F3dz   (1)
又 dz  zxdx zydy   (2)
(2)帶入(1)得
(F1  F3zx )dx (F2  F3zy )dy 0
F1  F3zx  0
故得 
F2  F3zy  0
F1

zx   F
3


z   F2
 y
F3
F
z
  x
F
x
z
(若 F3  0)
F
z
y

F
y
z
Px
I
Y 

X
Py
Py
dU
0
dX

U U d Y

X Y d x
Px
dY

 
dx
Py
Py
U U Py


(- )  Ux  Uy (- )
X Y Px
Px
 一階條件為:
Py
0  Ux  Uy (- )
Px
Ux Py

Uy Px
Ux Uy

Px
Py
亦即
或者
最後一元花在x或y所
能獲得的邊際效用皆
相等
以鏈鎖律求偏導數在經濟學的應用
U ( x, y)
Y
Max U(x,y)

I
py
{X, Y}
s.t. Px X  Py Y  I
y
Px X+ PyY=I



U0


x



Ux(x , y ) Uy (x , y )

Px
Py
U1
由此求出 X*, Y*
U2
I
px
X
0.8
53.9
8.7
67.4
1.6
53.3
10.9
69.7
1.8
54.4
11.8
73.5
2.2
59.4
12.1
78.9
3.6
51.5
12.9
75.1
4.4
57.5
14.4
77.0
5.7
67.6
15.4
79.4
6.5
63.8
16.9
84.3
7.2
58.3
19.2
91.9
7.2
64.4
19.4
91.5
 i  yi  (a  bxi )
Y  a  bX
n
2
Min S(a,b)  yi  (a bxi )
a, b
i1
因此一階條件為:
n
 S(a b)
,

0  a  (1) 2  yi  (a bxi )

i 1
鏈鎖律

n
,
0   S(a b)
 2  xi  yi  (a bxi )

b
i 1
n
n
 yi  n  a  b  xi
 i1
i 1
n
n
n
 x y  n  a x  b x 2


i i
i
i

i 1
i 1
i 1
n
n
 yi  n  a  b  xi
 i1
i 1
n
n
n
 x y  n  a x  b x 2


i i
i
i

i 1
i 1
i 1
ˆ
b
可以證明此一階條件下的
aˆ, bˆ 達到二階條件下的最
n
n
n
i 1
i 1
n
i 1
n xi yi   xi  yi
n
n x2i  ( xi )2
i 1
n
小平方
y
i
aˆ 
i 1
n
i 1
n
ˆ
b
x
i
i 1
n