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659
Chapter 14 Integral Transform Method
Integral transform 可以表示成如下的積分式的 transform
F  s    K  s, t  f (t )dt
b
a
 kernel
Laplace transform is one of the integral transform

L  f (t )   e st f (t )dt
0
本章討論的 integral transform: Fourier transform

j t
1
 f (t ) 
e
f (t )dt
2 
660
Chapter 14 可看成是 Chapter 7 和 Chapter 11 的綜合
Fourier Transform:
(1) 可看成將 Laplace transform 的 s 換成 j
並且將


0
換成 1
2


(2) 或者可看成 Fourier series 當 p 為無限大的情形
叮嚀： Chapter 14 的公式定義眾多，且非常相近，要注意彼此之間
的差異以及適用情形，以免混淆
Section 14.3 Fourier Integral
14.3.1 綱要
(1) Fourier integral:

f  x  1
 0
(和 Fourier series 的定義比較)
 A  cos( x)  B   sin( x) d

A     f  x  cos( x)dx


B     f  x  sin( x)dx

(2) complex form 或 exponential form of Fourier integral

 j x
1
f  x 
C

e
d


2 

C     f  x  e j x dx

661
662
(3) Fourier cosine integral 或 cosine integral

2
f  x    A   cos( x)d

0

A     f  x  cos( x)dx
0
適用情形： (1) even 或 (2) interval: [0, )
(4) Fourier sine integral 或 sine integral

2
f  x    B   sin( x)d

0

B     f  x  sin( x)dx
0
適用情形： (1) odd 或 (2) interval: [0, )
(5) Others
名詞：absolutely integrable (page 666)
partial integral (page 678)
特殊公式：


0
sin  d  

2
663
14.3.2 From Fourier Series to Fourier Integral
複習：Section 11-2 的 Fourier series:
a0  
f  x      an cos n x  bn sin n
2 n1 
p
p
x 

p
1
an   f  t  cos n t dt
p p
p

p
1
a0   f  t  dt
p p
p
1
bn   f  t  sin n t dt
p p
p
p
p

n tdt  cos n x
1
1
f  x 
f
t
dt

f
t
cos







2 p  p
p n1   p
p
p


p

1
    f  t  sin n tdt  sin n x
p n1   p
p
p


p

n tdt  cos n x
1
1
f  x 
f
t
dt

f
t
cos







2 p  p
p n1   p
p
p

p
664

p

1
    f  t  sin n tdt  sin n x
p n1   p
p
p

1  
  
p 
p

p
p
f  x     f  t  dt     f  t  cos(n  t )dt cos(n  x)
2  p
 n1  p
令



  
 n1
 1
2
 1
2

p

p
p
p

p
p

f  t  sin(n  t )dt sin(n  x)

f  t  dt sin(0  x)  1   


f  t  dt cos(0  x)  1 
 n1
When p
(即 週期
p


)
p
p
n 1
,
p
0

f  t  sin(n  t )dt  sin( n  x)
f  t  cos(n  t )dt cos(n  x)
,
When p

665
0
 

 
lim S (0)   S (n )    S ( )d
 0 
2 n1

 0
(積分的定理)
0


f  x   1   
 

1
f  x  

0
p
p
2 3 4


1
f  t  cos( t )dt cos( x)d  


0



f  t  cos( t )dt cos( x)d 
0


p
p



f  t  sin( t )dt sin( x)d

f  t  sin( t )dt sin( x)d 

666
14.3.3 Fourier Integral
Fourier Integral:

A   cos( x)  B   sin( x) d



f  x  1
0

A     f  x  cos( x)dx


B     f  x  sin( x)dx

Fourier integral 存在的 sufficient condition:



f  x  dx
converges
若這個條件滿足，f(x) 為 absolutely integrable
667
嚴格來說，當

A     f  x  cos( x)dx


B     f  x  sin( x)dx


1
f1  x     A   cos( x)  B   sin( x) d

0
f1(x) 和 f(x) 未必相等

1
但一般還是寫成 f  x     A   cos( x)d  B   sin( x)d 

0
Theorem 14.3.1 Condition for convergence
When (1) f(x) 為 piecewise continuous
(2) f (x) 為 piecewise continuous
(3) f(x) 為 absolutely integrable
The Fourier integral of f(x) (即上一頁的 f1(x)) converges
to f(x) at a point of continuity.
At the point of discontinuity, f1(x) converges to
f  x   f  x 
2
668
669
Example 1 (text page 521)
Find the Fourier integral representation of f(x)
x0
0

f  x   1
0 x2
0
x2


2

0

2

0
A     f  x  cos( x)dx   cos( x)dx 
sin( x)
B     f  x  sin( x)dx   sin( x)dx  

2
sin(2 )
0
cos( x)


2

0
  sin(2 )
1  cos(2 )
1
f  x  
cos( x) 
sin( x)  d

 0  


1  cos(2 )

Example 1 的解的另一種表示法
  sin(2 )
1  cos(2 )
1
f  x  
cos( x) 
sin( x)  d

 0  

2


2sin

cos

2sin
 sin( x)  d
1
 
cos( x) 

 0 


  2sin  cos  cos( x)  sin  sin( x) 
1
  
d

0
 


  2sin  cos( x   ) 
1
 
d


0
 


(別忘了複習三角函數的公式)
670
14.3.4 Fourier Transform 意外的提供了一些方程式積分的
算法
由 Example 1
  sin(2 )
1  cos(2 )
1
f  x  
cos( x) 
sin( x)  d

 0  

  2sin  cos( x   ) 
1
 
d

 0 

When x = 1, since f(x) = 1

sin  d  1
 0 
2


0
sin  d  

2
671
672
補充： sinc function 的定義： sinc( x) 
sin( x)
x
常用在 sampling theory, filter design, 及通訊上
673
14.3.5 Fourier Cosine and Sine Integrals
(A) Fourier cosine integral 或 cosine integral

2
f  x    A   cos( x)d

0

A     f  x  cos( x)dx
0
類比於 cosine series
注意：有三個地方和
Fourier integral 不同
(1)
(2)
(3)
適用情形: (1) f(x) is even, f(x) = f(−x)
(2) 只知道 f(x) 當 x > 0 的時候的值
(類似於Section 11.3 的 half-range expansion,
而且假設 f(x) = f(−x) )
674
(B) Fourier sine integral 或 sine integral

2
f  x    B   sin( x)d

0

B     f  x  sin( x)dx
0
類比於 sine series
適用情形: (1) f(x) is odd, f(x) = −f(−x)
(2) 只知道 f(x) 當 x > 0 的時候的值
(類比於Section 11.3 的 half-range expansion,
而且假設 f(x) = −f(−x) )
675
Example 3 (text page 523)
Represent f  x   e  x ,
x0
(a) by a cosine integral (b) by a sine integral
Solution:

x
(a) A     e cos( x)dx
0
d b e x cos( x)  b e x sin( x)   e x cos( x)
2

dx  1
b1e  x cos( x)  b1 e  x sin( x)  b2e  x sin( x)  b2 e  x cos( x)  e  x cos( x)
Suppose that
 b1  b2  1

b1  b2  0
A    
b1  
1 , b  
2
1  2
1  2

1 e x cos( x)   e x sin( x)  1
1  2
1  2
1  2
0
(其實，有一個取巧的快速算法，用 Laplace transform)
676
cosine integral:

 cos( x)
2
2
f  x    A   cos( x)d  
d
 0
 0 1  2
x
(b) B    0 e sin( x)dx   2
1 


  sin( x)
2
2
f  x    B   sin( x)d  
d
2
0
0


1 
677
(a)
Fig. 14.3.4
(b)
678
14.3.6 Partial Integral
partial integral for Fourier integral
b
1
Fb  x     A   cos( x)  B   sin( x) d

0
partial integral for cosine integral
b
2
F  x 
A   cos( x)d
b
 0
partial integral for sine integral
b
2
Fb  x    A   sin( x)d

0
(用 b 取代 )
679
For Example 3
(a) F5(x)
(b) F20(x)
(b = 5)
(b = 20)
Fig. 14.3.5
680
14.3.7 Complex Form
complex form or exponential form of Fourier integral

 j x
1
f  x 
C

e
d


2 

C     f  x  e j x d

remember:
e j x  cos x  j sin  x
681
Proof:
由講義 page 666 Fourier integral 的定義








1
f  x     f  t  cos( t )dt cos( x)   f  t  sin( t )dt sin( x)  d


 0  
 
1

f  t   cos( t )cos( x)  sin( t )sin( x)  dtd
 0


 
1
   f  t  cos( (t  x))dtd

 1
2
0


 

 
f  t  cos( (t  x))dtd
注意： f t  cos( (t  x)) 對  而言是 even function
682
 
1
f  x 
f  t  cos( (t  x))dtd




2
From



f  t  sin( (t  x))d  0
(因為 f  t  sin( (t  x)) 對  而言是 odd function)
f  x  1
2
 1
2
 1
2




  f  t [cos( (t  x))  j sin( (t  x))]dtd
 
f  t  e j (t  x ) dtd

  f  t  e j t dt  e  j x d
  


 j x
1
f  x 
C

e
d




2
C    


f  x  e j x dx
683
14.3.8 Section 14.3 需要注意的地方
1
(1) 公式積分的外面，要乘 
1
或 2
或 2

(Fourier integral)
(Complex form of Fourier integral)
(cosine integral, sine integral)
(2) 一些積分的計算會常常用到
 x cos( x)dx
 x sin( x)dx
e
x
e
 sin( x)dx
x
cos( x)dx
算法： uv  uv  uv


x
x
算法：假設解為 b1e cos( x)  b2e sin( x)
或者用 Laplace transform 的公式, s = 1
Section 14.4 Fourier Transforms
14.4.1 綱要
Fourier transform，其實就是 complex form of Fourier integral
公式：  f  x  



f  x  e j x dx  F  
 代表 Fourier transform

 j x
1
  F   
F

e
d  f  x 




2
1
本節著重於 (1) 定義
(2) 性質
學習方式：多和 Laplace transform 比較
(3) Solving the boundary value problem (pages 698-708)
有一點複雜，且常考，要勤於練習
684
685
(A) 六大定義
(1) Fourier transform

 f  x    f  x  e j x dx  F  


 j x
1
F

e
d  f  x 


(2) inverse Fourier transform   F   
2 

(3) Fourier sine transform
s  f  x   f  x  sin( x)dx  F  
1

0
(4) inverse Fourier
sine transform

2
  F     F   sin( x)d  f  x 
1
s

0

(5) Fourier cosine transform
(6) inverse Fourier
cosine transform
c  f  x    f  x  cos( x)dx  F  
0

2
  F     F   cos( x)d  f  x 
1
c

0
注意：除了 ejx 變成 cos(x) 以外
還有三個地方和 Fourier transform 不同
686
(B) 微分性質
(7) for Fourier transform
 f   x    j F  
(8)
  f ( n)  x   ( j )( n) F  
(9) for Fourier sine transform
s  f   x    c  f  x 
(10)
不同
s  f   x    2 s  f  x    f  0 
(11) for Fourier cosine transform c  f   x    s  f  x   f  0 
不同
(12)
c  f   x    2 c  f  x   f   0 
(C) Problems with boundary conditions (多練習)
(13) 可考慮用 Fourier
transform 的情形
  x  
(14) 可考慮用 Fourier
sine transform 的情形
0 x
(15) 可考慮用 Fourier
0 x
cosine transform 的情形
U  x, y   0
when x = 0
 U  x, y   0
x
x 0
另外，要熟悉 page 699 的計算流程
(D) 名詞
transform pair (page 688)
heat equation
2

u
k 2  u (page 700)
t
x
687
688
14.4.2 Transform Pair
Transform pair 的定義：
若
甲
A
乙
乙
則 A 和 B 形成一個 transform pair
B
甲
689
14.4.3 Fourier Transform
Fourier transform pair

 f  x    f  x  e j x dx  F  


 j x
1
  F   
F

e
d  f  x 


2 
1
和之前 complex form of Fourier integral 相比較
只不過把 C() 換成 F()
為何要取兩個名字???
Fourier transform 存在的條件

(1)  f  x  d   (absolutely integrable)

(2) f(x) and f (x) 為 piecewise continuous
690
 Fourier transform 和 Laplace transform 之間的關係：
把 s 換成 −j

 st
Laplace: F  s   0 e f (t )dt
14.4.4 Fourier Sine Transform and Fourier Cosine Transform
Fourier sine transform pair

s  f  x    f  x  sin( x)dx  Fs  
0

2
  F     F   sin( x)d  f  x 
1
s

0
Fourier cosine transform pair

c  f  x    f  x  cos( x)dx  Fc  
0

2
  F     F   cos( x)d  f  x 
1
c

0
Fourier sine
/ cosine transform 存在的條件

(1)
f  x  d   (absolutely integrable)

0
(2) f(x) and f (x) 為 piecewise continuous
691
Fourier sine / cosine transform 的意義：
(1)當 f(x) 為 even
Fourier transform


f  x  e j x dx  F  



f  xe





Fourier cosine transform


j x
dx  


f  x  (cos  x  j sin  x )dx
f  x  cos  xdx  j 


f  x  cos  xdx

 2  f  x  cos  xdx
0
for Fourier cosine transform
Fc    F   / 2
f  x  sin  xdx
等於 0
692
693
(2) Inverse Fourier transform
inverse Fourier cosine transform
1  F   e j x d  f  x 
2 

1


Fc   e j x d  f  x 
(由前頁)
由於對 Fourier cosine transform 而言
Fc    Fc    (even function )
1




Fc   e

 
1

 0
2
 j x

j 
1
d   Fc   cos( x)d   Fc   sin( x)d  f ( x)


Fc   cos( x)d  f  x 
Fc   cos( x)d  f  x 


等於 0
Fourier cosine transform 等同於 Fourier transform 當 input f(x)
為 even 的情形。當 f(x) 為 even，
Fc    F   / 2
Fourier sine transform 等同於 Fourier transform 當 input f(x) 為
odd 的情形。當 f(x) 為 odd，
Fs    F   / j 2
 然而，若 f(x) 只有在 x  [0, ) 之間有定義，也可以用
Fourier cosine / sine transform
(類似於Section 11.3 的 half-range expansion)
694
695
14.4.5 微分性質
(1) Fourier transform 的微分性質
 f   x   


f  x e
j x
dx  f  x  e
  j  f  x 
j x 

 j 

f  x  e j x dx

微分性質做了一些假設： f(x) = 0 when x   and x  
( n)
( n)
以此類推   f  x   ( j ) F  
比較：對 Laplace transform
L f ( x)  sL f ( x)  f (0)
對 Fourier transform
s  −j, without initial conditions


0
f  x  e sx dx
696
(2) Fourier sine transform 的微分性質


s  f   x    f   x  sin  x  dx  f  x  sin  x  0    f  x  cos  x  dx

0
0
  c  f  x 
(3) Fourier cosine transform 的微分性質


c  f   x    f   x  cos  x  dx  f  x  cos  x  0    f  x  sin  x  dx

0
  s  f  x    f  0 
0
注意： (1) Fourier sine, cosine transforms 互換
(2)  正負號不同
(3) Fourier cosine transform 要考慮 initial condition
697
s  f   x    c  f   x    2 s  f  x    f  0 
c  f   x    s  f   x   f   0    2 c  f  x   f   0 
698
14.4.6 Solving the Boundary Value Problem (BVP)
※ 概念複雜，要特別加強練習
(Condition 1) interval 為  < v <  時:
用 Fourier transform
(Condition 2) interval 為 0 < v < ，
有 “u(v, …..) = 0 or a constant when v = 0” 的 boundary condition 時:
用 Fourier sine transform
(Condition 3) interval 為 0 < v < ，
有 “  u  v,
時: v
  0 or a constant when v = 0” 的 boundary condition
用 Fourier cosine transform
使 用 Fourier transform, Fourier cosine transform, Fourier sine
transform 來解 partial differential equation (PDE) 的 BVP 或IVP
的解法流程
(Step 1) 以 page 698 的規則，來決定要針對 哪一個 independent
variable ，做什麼 transform (Fourier, Fourier cosine, 或Fourier sine
transform)
(Step 2) 對 PDE 做 Step 1 所決定的 transform, 則原本的 PDE 變成
針對另外一個 independent variable 的 ordinary differential equation
(ODE)
(Step 3) 將 Step 2 所得出的 ODE 的解算出來
(Step 4) Step 3 所得出來的解會有一些 constants，可以對 initial
conditions (或 boundary conditions) 做 transform 將 constants 解出
(※ 和 Step 1 所做的 transform 一樣，只是 transform 的對象變成
是 initial 或 boundary conditions，見 pages 700, 703 的例子)
(Step 5) 最後，別忘了做 inverse transform (畫龍點睛）
699
700
Example 1 (text page 528)
2

k u2  u
t
x
heat equation:
  x  
subject to u  x,0  f  x  where
t 0
u0 , | x | 1
f  x  
 0, | x | 1
Step 1 決定針對 x 做 Fourier transform

x u  x, t    u  x, t  ei x dx  U  , t 

Step 2
 
 
原本對 x, t 兩個變數做偏微分
U  , t 
k U  , t  
t
經過 Fourier transform 之後，
只剩下對 t 做偏微分
x
2

k u2  x u
t
x
2
dU  , t 
 k 2U  , t   0
dt
Step 3 U  , t   c e
 k 2t
701
對於 t 而言，是 1st order ODE
這邊的 c 值，對 t 而言是 constant ，
但是可能會 dependent on  (特別注意)
Step 4
根據 u(x, 0) = f(x) 將 c 解出
和 Step 1 一樣，也是針對 x 做 Fourier transform
只是對象改成 initial condition
x u  x, 0   


f  x  e dx   u0ei x dx
i x
1
1
i
 i
e

e
 u0
 2u0 sin 
i

因為 x u  x,0   U  ,0 
U  ,0   2u0 sin 

比較係數
U  , t   c e k t
sin 
解出 c  2u0 
2
U  ,0   2u0 sin 

 k 2t
sin

U  , t   2u0
e

Step 5 未完待續，別忘了最後要做 inverse Fourier transform
u  x, t   
1
 x

 k 2t  j x
sin

1
U  , t   2  2u0  e e d
不易化簡，課本僅依據
sin  e k 2t 對  而言是 even

function 將 u(x, t) 化簡為
u  x, t  
u0

u0








sin  e k 2t (cos  x  j sin  x)d

sin  cos  x e k 2t d

702
703
Example 2 Laplace’s equation
 2u   2u  0
x 2 y 2
u  0, y   0
u
y
0
y 0
0 x 
u  , y   e  y
y0
y0
0 x 
Step 1 決定針對 y 做 Fourier cosine transform

c , y u ( x, y)   u ( x, y)cos  ydy  U  x, 
0
 
  2u 
 2u  
Step 2 
 c , y 0
c , y 
c , y  
2
2
x
 y 
from
c  f   y    2 c  f  y   f   0 
d 2U  x, 
2


U  x,   0 對於 x 的 2nd order ODE
2
dx
Step 3
704
d U  x,  
2


U  x,    0
2
dx
2
U  x,   c1 cosh  x  c2 sinh  x
注意：雖然也可將解表示成
U  x,   c3e x  c4e  x
c3  c4
c3  c4
c1 
c2 
2
2
但是表示成 U  x,   c1 cosh  x  c2 sinh  x
較容易處理 boundary value condition
x
x
e

e
sinh x 
2
x
x
e

e
cosh x 
2
sinh 0  0
d cosh x  sinh x
dx
d cosh x  0
dx
x 0
705
U  x,   c1 cosh  x  c2 sinh  x
Step 4 由 u  0, y   0
u  , y   e  y 來解 c1, c2
和 Step 1 一樣，也是針對 y 做 Fourier cosine transform
只是對象改成 boundary conditions

(1) U (0, )  c , y u(0, y)  0 0  cos  ydy  0
(2) U ( , )  c , y u ( , y ) 


0
e  y  cos  ydy 
1
1  2
(可以用Laplace transform 的「取巧法」)
分別代入 U  x,   c1 cosh  x  c2 sinh  x
(1) c1  0
(2) c1 cosh   c2 sinh  
c1  0
1
1  2
c2 
1
(1   2 )sinh 
U  x,   
706
sinh  x
(1   2 )sinh 
Step 5 inverse cosine transform
u  x, y   
1
c ,  y

2
U  x,   

0
sinh  x
cos  y d
2
(1   )sinh 
(算到這裡即可，難以繼續化簡)
14.4.7 Section 14.4 需要注意的地方
707
(1) 微分公式當中，Fourier cosine transform 和 Fourier sine transform 會
有互換的情形。(See pages 696, 697)
(2) 公式會有很多小地方會背錯 (特別注意綱要的公式中紅色的地方)
(3) 在解 boundary value problem 時，要了解
何時用 Fourier transform，
何時用Fourier cosine transform,
何時用 Fourier sine transform
(see page 698)
(4) 解 boundary value problem 流程雖複雜，但只要記住，
方法的精神，在於：
運用 transform，
將原本針對兩個以上 independent variables 做微分的 PDE，
變成只有針對一個 independent variable 做微分的 ODE
(5) 在解 partial differential equation 時，往往只針對一個
independent variable 做 Fourier transform, 另一個 independent
variable 不受影響，如 Examples 1 and 2, pages 700 and 703 的例子
708
計算過程中，自己要清楚是對哪一個 independent variable 做Fourier
transform
※ 本人習慣用下標做記號 x u  x, t  (建議同學們使用)
(6) Step 4 和 Step 1 必需是針對同一個 independent variable 來做
同一種 transform，只是處理的對象改成了 initial (or boundary)
conditions (see pages 701, 705)
(7) 注意 page 704, 有時我們會用 c1 cosh  x  c2 sinh  x
x
 x
c
e

c
e
來取代 3
，以方便計算
4
709
附錄八：其他書籍常見的 Fourier Transform 的定義
在其他書上，常常把 Fourier transform 的定義寫成

 g  x    g  x  e j x dx  G  


j x
1
 G   
G

e
d  g  x 




2
1
或者

 j x
1
 g  x   
g
x
e
dx  G  


2 

j x
1
 G   
G

e
d  g  x 




2
1
或者

 g  x    g  x  e j 2 fx dx  G  f 

1


G  f    G  f  e j 2 fxd  g  x 
考試時還是用課本上的定義 (見 page 689)
期末考
(1) 由於內容眾多，各位對於所學的東西，一定要有系統化
的整理與比較。
(2) 公式、定理、名詞、解法甚多，若要背公式就早一點背
公式
(3) 保持最佳狀態，腦筋多轉彎
祝同學們期末考順利！
710
711
Exercise for Practice
Section 14-3 2, 3, 7, 10, 14, 15, 17, 19, 20
Section 14-4 1, 2, 3, 9, 12, 15, 16, 18, 19, 20, 21, 26
Review 14
2, 7, 8, 11, 15, 16