(aD 2 +bD+c)y=0 之解
Download
Report
Transcript (aD 2 +bD+c)y=0 之解
工程數學
第二章
高階常微分方程式
工程數學
微分運算子
D
d
y y'
dx
d2
2
D y 2 y y' '
dx
D n y y (n)
Dy
線性n階微分運算子
L( D) an ( x) D n an 1 ( x) D n 1 an 2 ( x) D n 2 .....a1 ( x) D a0 ( x)
線性n階微分方程式_可表為
L( D) y r ( x)
齊次&非齊次, 線性&非線性
C1 y ' 'C2 y 'C3 y r ( x)(常係數常微an ( x), an 1 ( x),.....a1 ( x), a0 ( x) 為常係數)
C1 y ' 'C2 y 'C3 y 0(常係數線性齊次L( D) y 0)
C1 y ' 'C2 y 'C3 y 3x 2 x (常係數線性非齊次L
1
( D) y 0)
x 2 y ' ' xy'2 y 3x 2 ( 尤拉_科西an ( x) an x n , an 1 ( x) an x n 1.....)線性非齊次
y ' ' yy'2 y x(非線性非齊次)
工程數學
高階線性常微
1. y ' '3 y '2 y e x
( D 2 3 D 2) y e x
2. y ' '3 y '2 y 0
( D 2 3 D 2) y 0
y1 e x
y2 e 2 x
y3 C1e x C2 e 2 x
若y1為其解,y 2 為其解,則y 3 C1 y1 C2 y2 為其解
y1 / y2 常數,則 y,y
1
2 為線性獨立
若y,y
1
2 為線性獨立解,即為其 通解之基底
......y3 C1 y1 C2 y2 為其通解
y1 / y2=常數,則 y,y
1
2 為線性相依
工程數學
線性獨立
P.68 :
定義:
y1 , y2 , y3 ........,yn
C1 y1 C2 y2 ........ Cn yn 0
只有在..C1 C2 ........ Cn 0.才才成立.
線性獨立
若存在..一組不全為0之C1 , C2 ........Cn ..線性相依
exp5
工程數學
判斷線性獨立
P.69 :
1. y1 x, y2 x 2
y1 / y2 1 / x 常數.....線性獨立
2. y1 x, y2 2 x
y1 / y2 1 / 2 常數.....線性相依
Wronskian Deter min ant朗斯基行列式
W ( y,y
1 ,y
2
3 ......y n )=
y1
y1 '
y1
( n 1)
y2 .....
y2 '
yn
y 'n
yn
( n 1)
W ( y,y
1 ,y
2
3 ......y n ) 0則y,y
1 ,y
2
3 ......y n 為線性獨立
W ( y,y
1 ,y
2
3 ......y n ) 0則y,y
1 ,y
2
3 ......y n 為線性相依
exp7
工程數學
L(D)y=0 & L(D)y=r(x)之解
p.70
1. y ' '3 y '2 y 0
yh C1e x C2 e 2 x 為其通解
2. y ' '3 y '2 y e3 x
1 3x
y p e 為其一特解
2
3. y ' '3 y '2 y e3 x
之通解:y yh y p
工程數學
(aD2+bD+c)y=0 之解(一)
p.73
1.ay' 'by' cy ( aD2 bD c) y 0
化為a ( D 1 )(D 2 ) 0
設新參數z ( D 2 ) y
則( D 1 ) z 0
此為線性一階
e 1 x z e 1x 0dx K1..........z K1e 1x 為其解
帶入z ( D 2 ) y K1e 1x
解:e 2 x y e 2 x K1e 1x dx K 2
y K1e 2 x e ( 1 2 ) x dx K 2 e 2 x
工程數學
(aD2+bD+c)y=0 之解(二)
p.73
ay' 'by'cy (aD2 bD c) y 0
y K1e 2 x e ( 1 2 ) x dx K 2 e 2 x
1 , 2 為(aD2 bD c) 0之解
I、 1 2 ...
y
K1
K1
e 2 x e ( 1 2 ) x K 2 e 2 x
e 1x K 2 e 2 x C1 e 1x C2 e 2 x
(1 2 )
(1 2 )
II、 1 2 ..y K1 xe2 x K 2 e 2 x C1 e x C2 xex
III、 1 p iq, 2 p iq
下頁
工程數學
(aD2+bD+c)y=0 之解(三)
p.74
ay' 'by'cy (aD2 bD c) y 0
III、 1 p iq, 2 p iq
尤拉公式 ( Euler' s Form ula)...ei cos i sin
y C1 e 1x C2 e 2 x e px [C1 eiqx C2 e iqx ]
e px [C1 (cosqx i sin qx) C2 (cosqx i sin qx)]
e px [(C1 C2 ) cos qx i (C1 C2 ) sin qx]
e px [ A cos qx B sin qx]
A, B任意常數, , e px cos qx, e px sin qx通解之(基底)
(aD2+bD+c)y=0 之解(四)
P76-78….Exp-3~10
工程數學
(aD2+bD+c)y=r(x) 之解(一)
yh 為aD2 bD c 0之之通解
y p 為aD2 bD c r ( x )一特解
aD2 bD c r ( x )之通解y yh y p
y p 之求法
1.分解降階,2.待定係數 3.參數變換 4.逆運算子
待定係數
I .. y ' '3 y '2 y e 3 x
....令yp Ae3 x ...則y' p 3 Ae3 x , y ' ' p 9 Ae3 x
....帶入上式 ....9 Ae3 x 9 Ae3 x 2 Ae3 x e 3 x
....2 A 1.....A 1 / 2
yh C1e x C2 e 2 x 為y ' '3 y '2 y 0通解
yh C1e x C2 e 2 x 1/2e 3 x 為y ' '3 y '2 y e 3 x 通解
工程數學
(aD2+bD+c)y=r(x) 之解(二)
待定係數
II..y ' '3 y '2 y cos3x
....令yp A cos3 x B sin 3 x...則y' p 3 A sin 3 x 3B cos3 x.,
y ' ' p 9 A cos3x 9 B sin 3 x
....帶入上式....(9 A cos3 x 9 B sin 3 x) 3(3 A sin 3 x 3B cos3 x) 2( A cos3 x B sin 3 x) cos3 x
7
9
,B
130
130
yh C1e x C2 e 2 x 為y ' '3 y '2 y 0通解
....比較係數
7 A9 B 1
9 A 7 B 0
yh C1e x C2 e 2 x
解之A
7
9
cos3x sin 3 x為y ' '3 y '2 y cos3 x通解
130
130
(aD2+bD+c)y=r(x) 之解
P84-86….Exp-11~14
工程數學
尤拉科西微分方程式(一)
an x n y ( n ) an 1 x n 1 y ( n 1) .... a0 y r ( x )
ax2 y ' 'bxy' cy 0 線性齊次
設x e z , 即z ln x, 以z取代x
原y y ( x ), 設y ( z ) y ,
dy
dy '
y',
y' '
dz
dz
dz
1 d 2z
1
,
dx
x dx2
x2
dy
dy dz
1 dy 1
y'
y',
dx
dz dx
x dz
x
d2y
d 1
1 dy '
d 1
y' '
(
y
'
)
y
'
( )
dx2
dx x
x dx
dx x
1 dz dy '
1
1
1
y ' ( 2 ) 2 y ' ' y ' ( 2 )
x dx dz
x
x
x
1
1
1
ax2 y ' 'bxy' cy ax2 [ 2 y ' ' y ' ( 2 )] bx y ' cy 0
x
x
x
ay ' ' (b a ) y ' cy 0.....新的常係數常微
工程數學
尤拉科西微分方程式(二)
ay ' ' (b a ) y ' cy 0.....新的常係數常微
1 , 2 為(aD2 (b a ) D c 0之解
I、(b a ) 2 4ac 0....1 2
y C1 e 1 z C2 e 2 z
y C1 e 1 ln x C2 e 2 ln x C1 x 1 C2 x 2
II、(b a ) 2 4ac 0.....1 2
y C1 e z C2 ze z
y C1 e ln x C2 ze ln x C1 x C2 x ln x
III、(b a ) 2 4ac 0....1 p iq, 2 p iq
y e pz [ A cos qz B sin qz]
y x p [ A cos q ln x B sin q ln x]