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第七章 位能 Ch07 位能 2 位能 • 位能是一種與組成系統各物體間相互作用 力有關的能量 此處所指的力為系統內部的作用力 Ch07 位能 3 7.1 系統的位能 位能的形成 • 位能的種類有下列幾種： 重力位能 電磁位能 化學能 核能 • 於系統內，某種形式的位能有可能轉變成 另一種形式的位能 Ch07 位能 5 以一個系統為例 • 此一系統包含地球與 書 • 以將書舉高 Dy 的方式 對系統做功 • 所做的功等於 mgyb－mgya Ch07 位能 6 位能 •儲存有力學能的能量稱為位能 •任一位能只和特定的力相關 •位能通常存在於二個或更多個相互作用物 體的系統中 Ch07 位能 7 重力位能 • 重力位能反應出物體距離地球表面某一高 度所對應的能量 • 假設物體處在平衡條件下，且以等速度運 動 • 對物體所做的功是由力 F mg 與向上的位 移Dr Dyˆj 二者運算得來 Ch07 位能 8 重力位能 W mgˆj ( y • W F Dr ˆj y ) b a W mgyb mgya • mgy三者相乘的結果稱為重力位能 Ug U g mgy • 重力位能的單位是焦耳(J) Ch07 位能 9 重力位能 • 重力位能只和物體距地面的垂直高度有關 • 在解題時，首先需建構一個參考平面，將 某一位能值設定在該平面上，通常都會將 它定為零 對參考平面所選定的位能，可以為任意值，通 常我們有興趣的是位能差值，這與所選擇的參 考平面位能為多少沒有關聯。 Ch07 位能 10 簡答題 7.1 • 選擇正確的答案。系統的重力位能 (a) 總是 正的；(b) 總是負的；或 (c) 可能負或正。 • (c)。重力位能的符號決定於你所選擇的零 點結構。如果此兩物體在系統內比在零點 結構內更接近，則位能為負。如果它們互 相遠離，位能為正。 Ch07 位能 11 簡答題 7.2 • 一物體從桌上掉至地板。我們希望藉由動 能和位能分析此狀況。討論系統的位能下， 我們所定義的系統為 (a) 物體和地球兩者； (b) 只有物體；(c) 只有地球。 • (a)。如果我們要討論重力位能的行為，則 我們必須包含地球。 Ch07 位能 12 7.2 孤立系統 力學(機械)能守恆 • 系統的力學能為系統的動能與位能的代數 和 Emech = K + Ug • 對於一個孤立系統而言，其力學能守恆可 表示成 Kf + Ugf = Ki+ Ugi 所謂的孤立系統，是指能量無法穿越系統的邊 界 Ch07 位能 14 力學能守恆的例題 • 來看看一本書自某一 較高的高度落到較低 點時，書本所做的功。 • Won book = DKbook • 又，W = mgyb – mgya • 所以，DK = –DUg Ch07 位能 15 簡答題 7.3 • 從建築物的頂端把三個相同的球丟出去， 三個都有相同的初速率。第一個球被水平 丟出，第二個球以高於水平線某一個角度 拋出，第三個球是以低於水平線相同的角 度拋出，如互動圖7.3。忽略空氣阻力，比 較當它們落地時的速度。 Ch07 位能 16 簡答題 7.3 Ch07 位能 17 • If you can't see the image above, please install • If this active figure can’t auto-play, please click right button, then click play. NEXT Ch07 位能 18 簡答題 7.3 • v1 = v2 = v3。第一球和第三球在它們丟出後加速， 然而第二球一開始減速然後在到達高點後加速。 這三個球的路徑皆為拋物線，且到達地面的時間 皆不同，因為它們有不同的初速度。但是，所有 的三個球在碰到地面的當時有相同的速率，因為 它們一開始具有相同的動能和因為在此三種情形 下，球－地球的系統遭受相同的重力位能改變。 Ch07 位能 19 例題7.1 • 一質量 m 的球從高於地面 h 的高度落下，如圖7.4所示。 A.忽略空氣阻力，求距地面為 y 高度時的速率。 • 解答 Ch07 位能 20 例題7.1(續) K f U gf Ki U gi 1 2 mv f mgy 0 mgh 2 v 2g(h y) 2 f v f 2 g (h y ) Ch07 位能 21 例題7.1(續) B.若在起始高度 h 時有初速率 ，試求在高度 y 時的速率。 • 解答 1 2 1 2 mv f mgy mvi mgh 2 2 v2f vi2 2g (h y) v f vi2 2 g (h y ) Ch07 位能 22 例題7.2 • 你設計一套裝置用來支持一位65 kg的演員，他在演出期間 飛降至舞台上。演員的鎧甲附上一130 kg的沙包，藉由一 輕鋼纜繞過兩個無摩擦的滑輪平順的滑動，如圖7.5a所示。 在鎧甲和最近的滑輪間的纜線需3.0 m，以便滑輪能藏於 布簾內。當這個裝置能成功的運轉，則演員從舞台上方飛 至地板時，沙包絕不能離開地板。當演員從靜止開始運動 時，演員上的纜線和垂直線的夾角定義為 。則在演員飛行 時，沙包未離開地板， 的最大值為何？ • 解答 Ch07 位能 23 例題7.2(續) Ch07 位能 24 例題7.2(續) K f U gf Ki U gi 1 2 mactor v f 0 0 mactor gyi 2 yi R R cos R(1 cos ) v 2gR(1 cos ) 2 f Ch07 位能 25 例題7.2(續) F y T mactor g mactor T mactor g mactor v v 2 f R 2 f R Ch07 位能 26 例題7.2(續) mbag g mactor g mactor cos 3mactor mbag 2mactor 2 gR(1 cos ) R 3(65 kg) 130 kg 1 2(65 kg) 2 60 Ch07 位能 27 7.3 保守力和非保守力 保守力 • 構成系統的任二物體之間，它們相互作用 的力若不會導致系統內力學能的移轉時， 此力稱為保守力。 • 保守力對一物體作用時，其所做的功和物 體移動所經過的路徑無關。 • 保守力對一物體（質點）所做的功，當該 物體移動的路徑為一封閉迴路時，所做的 功為零。 Ch07 位能 29 非保守力 • 所有不符合保守力條件的力均為非保守力 • 非保守力對一系統作用，會導致系統的力 學能改變 Ch07 位能 30 關於非保守力的例子 • 摩擦力是非保守力中 的一個 摩擦力所做的功與物體 移動的路徑有關 圖中紅色路徑所做的功 較藍色路徑為多。 Ch07 位能 31 彈力位能 1 2 • 彈力位能是彈簧的一種能量， U s kx 2 • 外力對彈簧－木塊系統所做的功可表示成 1 2 1 2 W kx f kxi 2 2 此力所做的功等於系統最初與最後二種狀態間 能量的差值 Ch07 位能 32 彈力位能 • 彈力位能可表示為： 1 2 U s kx 2 • 彈力位能可看作是彈 簧變形時儲存在彈簧 內的能量 • 這些儲存在彈簧內的 能量可以轉變為動能 Ch07 位能 33 • If you can't see the image above, please install • If this active figure can’t auto-play, please click right button, then click play. NEXT Ch07 位能 34 彈力位能 • 當彈簧沒有變形時，儲存在彈簧內的彈力 位能為零 (當 x = 0 時 U = 0 ) 只有當彈簧被拉長或被壓縮時，彈簧才具有彈 力位能 • 在彈簧處於其最大伸長量或最大壓縮量時， 儲存在彈簧內的彈力位能最大。 • 彈力位能永遠大於零 這是因為 x2 恆為正 Ch07 位能 35 能量守恆 • 將目前為止我們所介紹過的所有能量一併 考量，能量守恆的數學式可表為 DK DU DEint DEsystem 0 或 K U Eint 定值 動能 K 是系統中所有物體的動能 U 是所有各種不同形式位能的總和 Ch07 位能 36 孤立系統的解題步驟 1. 概念：對所謂的孤立系統加以定義，同時 對系統的初、末狀態加以界定。 系統可能包括二個或二個以上相互作用的質 點。 系統也可能含有彈簧或其他類似的裝置，它 們可以儲存彈力位能 也可能包含那些系統中相互作用的各個部分 Ch07 位能 37 孤立系統的解題步驟 2. 分類：判定是否有能量穿越系統的邊界 若有，則採用非孤立系統形式，DEsystem = ST 若無，則用孤立系統形式，DEsystem = 0 判別題目中是否有保守力的存在 3. 分析：確定系統的零位能位置 這些位能包含重力位能與彈力位能 假如系統中有一個以上的作用力，每一作用 力都要有一個對應的位能表示方法。 Ch07 位能 38 孤立系統的解題步驟 如果出現摩擦力或空氣阻力，那麼，系統的力 學能不守恆。 能量方程式需以非保守力的特殊關係加以取代 • 系統的最初與最後狀態的能量差，等於非保守力作 用下轉變成的內能，或由內能提供出來的能量。 如果系統的力學能守恆，則系統的初、末狀態 總能可寫成： • Ei = Ki + Ui 系統初狀態的總能 • Ef = Kf + Uf 系統末狀態的總能 由於力學能守恆，如 Ei = Ef ，可以由此一等式 中求得未知量 Ch07 位能 39 力學能與非保守力 • 一般而言，如果系統有摩擦力作用時， DEmech DK DU f k d 式中 DU 是所有形式的位能變化量 若摩擦力為零，上式即與力學能守恆式相同 Ch07 位能 40 簡答題 7.4 • 一球以一輕彈簧連接且垂直懸掛著。當球從平衡 位置往下移動並釋放，則球上下震盪。(i) 在球、 彈簧和地球的系統下，在運動期間有何能量形式？ (ii) 在球和彈簧的系統下，在運動期間有何能量形 式？(a) 動能和彈性位能；(b) 動能和重力位能；(c) 動能、彈性位能和重力位能；(d) 彈性位能和重力 位能。 Ch07 位能 41 簡答題 7.4 • (i)，(c)。此系統表示出動能的改變和兩種 形式的位能改變。(ii)，(a)。因為地球並未 包含於系統內，將沒有和系統相關的重力 位能。 Ch07 位能 42 例題7.3 • 在一裝卸貨物的地點，一個3.00 kg的條板 箱從斜板滑下，斜板是1.00 m長，30.0° 傾 斜角，如圖7.8所示。條板箱由斜坡頂點靜 止滑下，受到一固定的摩擦力5.00 N。利用 能量的方法求出條板箱到達底部的速率。 • 解答 Ei Ui mgyi Ch07 位能 43 例題7.3(續) Ch07 位能 44 例題7.3(續) 1 2 E f K f mv f 2 1 2 f k d mv f mgyi 2 fk d v f 2 gyi 2 m (5.00 N)(1.00 m) 2(9.80 m/s )(0.500 m) 2 (3.00 kg) 2 2.54 m/s Ch07 位能 45 非保守力例題（滑行） DEmech DK DU DEmech (K f Ki ) (U f Ui ) DEmech (K f U f ) (Ki Ui ) DEmech 1 2 mv f mgh f k d 2 Ch07 位能 46 例題7.4 • 如圖7.9所示，一個質量為 m 的小孩在一不 規則形狀，高度為 h = 2.00 m的曲線滑梯上 滑下。起先，小孩子靜止在頂端。 A.求出孩子在底部的速率，假設沒有摩擦力。 • 解答 Ch07 位能 47 例題7.4(續) K f U f Ki Ui 1 2 mv f 0 0 mgh 2 v f 2 gh v f 2 gh 2(9.80 m/s 2 )(2.00 m) 6.26 m/s Ch07 位能 48 例題7.4(續) B.假設有一摩擦力作用在20.0 kg的小孩身上， 且他到達底部的速率 vf = 3.00 m/s，有多少 系統的力學能因此損失掉？ • 解答 DEmech K f U f Ki U i 1 2 mv f 0 0 mgh 2 DEmech 1 (20.0 kg )(3.00 m/s) 2 (20.0 kg)(9.80 m/s 2 )(2.00 m) 2 302 J Ch07 位能 49 非保守力例題(彈簧－質量系統) • 若沒有摩擦力作用，能量就一直在動能與 彈力位能間相互轉換，系統的總能量保持 一定 • 如果有摩擦力作用，系統的力學能會越來 越少 DEmech f k d Ch07 位能 50 例題7.5 • 如圖7.10所示，一質量為 0.800 kg，初速度 vA = 1.20 m/s向右的方塊與一條輕的彈簧， 常數 k = 50.0 N/m，發生碰撞。 A.若平面為光滑的，計算在碰撞後，彈簧的 最大壓縮量。 • 解答 1 2 1 2 mvA 0 0 kxmax 2 2 Ch07 位能 51 例題7.5(續) Ch07 位能 52 例題7.5(續) xmax m 0.800 kg vA (1.20 m/s) 0.152 m k 50.0 N/m B.若一固定的動摩擦力作用於物體與表面之 間，其 mk = 0.500，而假設物體在與彈簧碰 撞瞬間前的速率 vA = 1.20 m/s，則彈簧壓縮 的最大量為何？ • 解答 f k mk n mk mg 0.500(0.800 kg)(9.80 m/s2 ) 3.92 N Ch07 位能 53 例題7.5(續) DEmech fk xmax 3.92xmax DEmech 1 2 1 2 E f Ei 0 kxmax mvA 0 2 2 50.0 2 1 2 xmax (0.800)(1.20) 2 2 3.92 xmax 2 max 25.0x 3.92xmax 0.576 0 xmax 0.0924 m 及 0.249 m xmax 0.0924 m Ch07 位能 54 7.4 保守力和位能 保守力與位能 • 若將位能以 U表示，那麼由保守力所做的 功等於系統位能淢少的量 • 由保守力 F 所做的功 W 可表為 W xf xi Fx dx DU (U f Ui ) U f Ui 當力 F 與位移 x 同方向時 DU 小於零 Ch07 位能 56 保守力與位能 • 保守力可經由對位能函數的微分得到 dU Fx dx • 保守力沿某一方向的分量等於位能在該方 向的變化率的負號 這一表示法可以同樣運用於其他二個方向 (y, z) Ch07 位能 57 保守力與位能－核對 • 來看看一個位於參考點上方，高度為 y 的物 體： dU g d Fy (mgy) mg dy dy 此一表示法即為重力在 y (垂直)方向的分量 Ch07 位能 58 7.5 穩定狀態下的非孤立系統 在穩定狀態下的非孤立系統 • 一個非孤立系統也有可能 DT = 0 此種情況發生在進入系統的能量與同一時間由 系統流失的能量相同時。 有時候這種能量的流入與流出是經由多重方式 來進行的。 Ch07 位能 60 在穩定狀態下的非孤立系統 －以房子為例 Ch07 位能 61 7.6 重力位能和電位能 重力位能 • 一般來說，如果用 牛頓萬有引力Fg來 描述萬有引力位能 GM E m Fg rˆ 2 r Ch07 位能 63 重力位能 • 則位能的表示法為 GM E m Ug r Ch07 位能 64 重力位能 • 之前提及的地球－物體的系統，可以將其 引伸至任何由 m1 與 m2 二物體所構成的系統： • Gm1m2 Ug 對於三個或以上的質點系統來說，系統的 r 總位能可表示成 U total U12 U13 U 23 m1m2 m1m3 m2 m3 G r13 r23 r12 Ch07 位能 65 例題7.6 • 一質量為 m 的質點在地球表面附近，有一 垂直方向的小位移 Dy。證明重力位能變化 量的方程式可以導出關係式 DU g mgDy 。 • 解答 1 1 rf ri DU g GM E m GM E m rf ri ri rf GM E m DU g Dy Fg Dy mg Dy 2 RE Ch07 位能 66 電位能 • 庫侖定律描述二靜電荷之間的作用力 q1q2 Fe ke 2 r • 此力對應出電位能 Ue 來 q1q2 U e ke r Ch07 位能 67 7.7 能量圖和平衡的穩定性 能量圖與穩定平衡 • 在圖中 x = 0 處，是穩定 平衡的位置 • 在能量圖的圖形構造上， 穩定平衡的位置是出現在 位能 U(x) 最小的地方 • 在 x xmax 與 x xmax 二 處位置，稱為轉捩點 Ch07 位能 69 能量圖與穩定平衡 Ch07 位能 70 能量圖與非穩定平衡 • 在 x = 0 處， Fx = 0，質 點在該處可保持平衡 • 一旦離開了x = 0 的位置， 質點就會朝遠離平衡點 的方向運動 • 這種現象就是非穩定平 衡 • 能量圖中，非穩定平衡 位置都是出現在能量U(x) 為最大處 Ch07 位能 71 • If you can't see the image above, please install • If this active figure can’t auto-play, please click right button, then click play. 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