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第七章
位能
Ch07 位能
2
位能
• 位能是一種與組成系統各物體間相互作用
力有關的能量
此處所指的力為系統內部的作用力
Ch07 位能
3
7.1
系統的位能
位能的形成
• 位能的種類有下列幾種:
重力位能
電磁位能
化學能
核能
• 於系統內,某種形式的位能有可能轉變成
另一種形式的位能
Ch07 位能
5
以一個系統為例
• 此一系統包含地球與
書
• 以將書舉高 Dy 的方式
對系統做功
• 所做的功等於
mgyb-mgya
Ch07 位能
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位能
•儲存有力學能的能量稱為位能
•任一位能只和特定的力相關
•位能通常存在於二個或更多個相互作用物
體的系統中
Ch07 位能
7
重力位能
• 重力位能反應出物體距離地球表面某一高
度所對應的能量
• 假設物體處在平衡條件下,且以等速度運
動
• 對物體所做的功是由力 F mg 與向上的位
移Dr Dyˆj 二者運算得來
Ch07 位能
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重力位能
W mgˆj ( y
• W F Dr
ˆj
y
)
b
a
W mgyb mgya
• mgy三者相乘的結果稱為重力位能 Ug
U g mgy
• 重力位能的單位是焦耳(J)
Ch07 位能
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重力位能
• 重力位能只和物體距地面的垂直高度有關
• 在解題時,首先需建構一個參考平面,將
某一位能值設定在該平面上,通常都會將
它定為零
對參考平面所選定的位能,可以為任意值,通
常我們有興趣的是位能差值,這與所選擇的參
考平面位能為多少沒有關聯。
Ch07 位能
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簡答題 7.1
• 選擇正確的答案。系統的重力位能 (a) 總是
正的;(b) 總是負的;或 (c) 可能負或正。
• (c)。重力位能的符號決定於你所選擇的零
點結構。如果此兩物體在系統內比在零點
結構內更接近,則位能為負。如果它們互
相遠離,位能為正。
Ch07 位能
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簡答題 7.2
• 一物體從桌上掉至地板。我們希望藉由動
能和位能分析此狀況。討論系統的位能下,
我們所定義的系統為 (a) 物體和地球兩者;
(b) 只有物體;(c) 只有地球。
• (a)。如果我們要討論重力位能的行為,則
我們必須包含地球。
Ch07 位能
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7.2
孤立系統
力學(機械)能守恆
• 系統的力學能為系統的動能與位能的代數
和
Emech = K + Ug
• 對於一個孤立系統而言,其力學能守恆可
表示成 Kf + Ugf = Ki+ Ugi
所謂的孤立系統,是指能量無法穿越系統的邊
界
Ch07 位能
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力學能守恆的例題
• 來看看一本書自某一
較高的高度落到較低
點時,書本所做的功。
• Won book = DKbook
• 又,W = mgyb – mgya
• 所以,DK = –DUg
Ch07 位能
15
簡答題 7.3
• 從建築物的頂端把三個相同的球丟出去,
三個都有相同的初速率。第一個球被水平
丟出,第二個球以高於水平線某一個角度
拋出,第三個球是以低於水平線相同的角
度拋出,如互動圖7.3。忽略空氣阻力,比
較當它們落地時的速度。
Ch07 位能
16
簡答題 7.3
Ch07 位能
17
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Ch07 位能
18
簡答題 7.3
• v1 = v2 = v3。第一球和第三球在它們丟出後加速,
然而第二球一開始減速然後在到達高點後加速。
這三個球的路徑皆為拋物線,且到達地面的時間
皆不同,因為它們有不同的初速度。但是,所有
的三個球在碰到地面的當時有相同的速率,因為
它們一開始具有相同的動能和因為在此三種情形
下,球-地球的系統遭受相同的重力位能改變。
Ch07 位能
19
例題7.1
• 一質量 m 的球從高於地面 h
的高度落下,如圖7.4所示。
A.忽略空氣阻力,求距地面為
y 高度時的速率。
• 解答
Ch07 位能
20
例題7.1(續)
K f U gf Ki U gi
1 2
mv f mgy 0 mgh
2
v 2g(h y)
2
f
v f 2 g (h y )
Ch07 位能
21
例題7.1(續)
B.若在起始高度 h 時有初速率 ,試求在高度
y 時的速率。
• 解答
1 2
1 2
mv f mgy mvi mgh
2
2
v2f vi2 2g (h y)
v f vi2 2 g (h y )
Ch07 位能
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例題7.2
• 你設計一套裝置用來支持一位65 kg的演員,他在演出期間
飛降至舞台上。演員的鎧甲附上一130 kg的沙包,藉由一
輕鋼纜繞過兩個無摩擦的滑輪平順的滑動,如圖7.5a所示。
在鎧甲和最近的滑輪間的纜線需3.0 m,以便滑輪能藏於
布簾內。當這個裝置能成功的運轉,則演員從舞台上方飛
至地板時,沙包絕不能離開地板。當演員從靜止開始運動
時,演員上的纜線和垂直線的夾角定義為 。則在演員飛行
時,沙包未離開地板, 的最大值為何?
• 解答
Ch07 位能
23
例題7.2(續)
Ch07 位能
24
例題7.2(續)
K f U gf Ki U gi
1
2
mactor v f 0 0 mactor gyi
2
yi R R cos R(1 cos )
v 2gR(1 cos )
2
f
Ch07 位能
25
例題7.2(續)
F
y
T mactor g mactor
T mactor g mactor
v
v
2
f
R
2
f
R
Ch07 位能
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例題7.2(續)
mbag g mactor g mactor
cos
3mactor mbag
2mactor
2 gR(1 cos )
R
3(65 kg) 130 kg 1
2(65 kg)
2
60
Ch07 位能
27
7.3
保守力和非保守力
保守力
• 構成系統的任二物體之間,它們相互作用
的力若不會導致系統內力學能的移轉時,
此力稱為保守力。
• 保守力對一物體作用時,其所做的功和物
體移動所經過的路徑無關。
• 保守力對一物體(質點)所做的功,當該
物體移動的路徑為一封閉迴路時,所做的
功為零。
Ch07 位能
29
非保守力
• 所有不符合保守力條件的力均為非保守力
• 非保守力對一系統作用,會導致系統的力
學能改變
Ch07 位能
30
關於非保守力的例子
• 摩擦力是非保守力中
的一個
摩擦力所做的功與物體
移動的路徑有關
圖中紅色路徑所做的功
較藍色路徑為多。
Ch07 位能
31
彈力位能
1 2
• 彈力位能是彈簧的一種能量, U s kx
2
• 外力對彈簧-木塊系統所做的功可表示成
1 2 1 2
W
kx f kxi
2
2
此力所做的功等於系統最初與最後二種狀態間
能量的差值
Ch07 位能
32
彈力位能
• 彈力位能可表示為:
1 2
U s kx
2
• 彈力位能可看作是彈
簧變形時儲存在彈簧
內的能量
• 這些儲存在彈簧內的
能量可以轉變為動能
Ch07 位能
33
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Ch07 位能
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彈力位能
• 當彈簧沒有變形時,儲存在彈簧內的彈力
位能為零 (當 x = 0 時 U = 0 )
只有當彈簧被拉長或被壓縮時,彈簧才具有彈
力位能
• 在彈簧處於其最大伸長量或最大壓縮量時,
儲存在彈簧內的彈力位能最大。
• 彈力位能永遠大於零
這是因為 x2 恆為正
Ch07 位能
35
能量守恆
• 將目前為止我們所介紹過的所有能量一併
考量,能量守恆的數學式可表為
DK DU DEint DEsystem 0
或
K U Eint 定值
動能 K 是系統中所有物體的動能
U 是所有各種不同形式位能的總和
Ch07 位能
36
孤立系統的解題步驟
1. 概念:對所謂的孤立系統加以定義,同時
對系統的初、末狀態加以界定。
系統可能包括二個或二個以上相互作用的質
點。
系統也可能含有彈簧或其他類似的裝置,它
們可以儲存彈力位能
也可能包含那些系統中相互作用的各個部分
Ch07 位能
37
孤立系統的解題步驟
2. 分類:判定是否有能量穿越系統的邊界
若有,則採用非孤立系統形式,DEsystem = ST
若無,則用孤立系統形式,DEsystem = 0
判別題目中是否有保守力的存在
3. 分析:確定系統的零位能位置
這些位能包含重力位能與彈力位能
假如系統中有一個以上的作用力,每一作用
力都要有一個對應的位能表示方法。
Ch07 位能
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孤立系統的解題步驟
如果出現摩擦力或空氣阻力,那麼,系統的力
學能不守恆。
能量方程式需以非保守力的特殊關係加以取代
• 系統的最初與最後狀態的能量差,等於非保守力作
用下轉變成的內能,或由內能提供出來的能量。
如果系統的力學能守恆,則系統的初、末狀態
總能可寫成:
• Ei = Ki + Ui 系統初狀態的總能
• Ef = Kf + Uf 系統末狀態的總能
由於力學能守恆,如 Ei = Ef ,可以由此一等式
中求得未知量
Ch07 位能
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力學能與非保守力
• 一般而言,如果系統有摩擦力作用時,
DEmech DK DU f k d
式中 DU 是所有形式的位能變化量
若摩擦力為零,上式即與力學能守恆式相同
Ch07 位能
40
簡答題 7.4
• 一球以一輕彈簧連接且垂直懸掛著。當球從平衡
位置往下移動並釋放,則球上下震盪。(i) 在球、
彈簧和地球的系統下,在運動期間有何能量形式?
(ii) 在球和彈簧的系統下,在運動期間有何能量形
式?(a) 動能和彈性位能;(b) 動能和重力位能;(c)
動能、彈性位能和重力位能;(d) 彈性位能和重力
位能。
Ch07 位能
41
簡答題 7.4
• (i),(c)。此系統表示出動能的改變和兩種
形式的位能改變。(ii),(a)。因為地球並未
包含於系統內,將沒有和系統相關的重力
位能。
Ch07 位能
42
例題7.3
• 在一裝卸貨物的地點,一個3.00 kg的條板
箱從斜板滑下,斜板是1.00 m長,30.0° 傾
斜角,如圖7.8所示。條板箱由斜坡頂點靜
止滑下,受到一固定的摩擦力5.00 N。利用
能量的方法求出條板箱到達底部的速率。
• 解答
Ei Ui mgyi
Ch07 位能
43
例題7.3(續)
Ch07 位能
44
例題7.3(續)
1 2
E f K f mv f
2
1 2
f k d mv f mgyi
2
fk d
v f 2 gyi 2
m
(5.00 N)(1.00 m)
2(9.80 m/s )(0.500 m) 2
(3.00 kg)
2
2.54 m/s
Ch07 位能
45
非保守力例題(滑行)
DEmech DK DU
DEmech (K f Ki ) (U f Ui )
DEmech (K f U f ) (Ki Ui )
DEmech
1 2
mv f mgh f k d
2
Ch07 位能
46
例題7.4
• 如圖7.9所示,一個質量為 m 的小孩在一不
規則形狀,高度為 h = 2.00 m的曲線滑梯上
滑下。起先,小孩子靜止在頂端。
A.求出孩子在底部的速率,假設沒有摩擦力。
• 解答
Ch07 位能
47
例題7.4(續)
K f U f Ki Ui
1 2
mv f 0 0 mgh
2
v f 2 gh
v f 2 gh 2(9.80 m/s 2 )(2.00 m) 6.26 m/s
Ch07 位能
48
例題7.4(續)
B.假設有一摩擦力作用在20.0 kg的小孩身上,
且他到達底部的速率 vf = 3.00 m/s,有多少
系統的力學能因此損失掉?
• 解答
DEmech K f U f Ki U i
1 2
mv f 0 0 mgh
2
DEmech
1
(20.0 kg )(3.00 m/s) 2 (20.0 kg)(9.80 m/s 2 )(2.00 m)
2
302 J
Ch07 位能
49
非保守力例題(彈簧-質量系統)
• 若沒有摩擦力作用,能量就一直在動能與
彈力位能間相互轉換,系統的總能量保持
一定
• 如果有摩擦力作用,系統的力學能會越來
越少
DEmech f k d
Ch07 位能
50
例題7.5
• 如圖7.10所示,一質量為 0.800 kg,初速度
vA = 1.20 m/s向右的方塊與一條輕的彈簧,
常數 k = 50.0 N/m,發生碰撞。
A.若平面為光滑的,計算在碰撞後,彈簧的
最大壓縮量。
• 解答
1 2
1 2
mvA 0 0 kxmax
2
2
Ch07 位能
51
例題7.5(續)
Ch07 位能
52
例題7.5(續)
xmax
m
0.800 kg
vA
(1.20 m/s) 0.152 m
k
50.0 N/m
B.若一固定的動摩擦力作用於物體與表面之
間,其 mk = 0.500,而假設物體在與彈簧碰
撞瞬間前的速率 vA = 1.20 m/s,則彈簧壓縮
的最大量為何?
• 解答 f k mk n mk mg
0.500(0.800 kg)(9.80 m/s2 ) 3.92 N
Ch07 位能
53
例題7.5(續)
DEmech fk xmax 3.92xmax
DEmech
1 2 1 2
E f Ei 0 kxmax mvA 0
2
2
50.0 2
1
2
xmax (0.800)(1.20)
2
2
3.92 xmax
2
max
25.0x
3.92xmax 0.576 0
xmax 0.0924 m 及 0.249 m
xmax 0.0924 m
Ch07 位能
54
7.4
保守力和位能
保守力與位能
• 若將位能以 U表示,那麼由保守力所做的
功等於系統位能淢少的量
• 由保守力 F 所做的功 W 可表為
W
xf
xi
Fx dx DU (U f Ui ) U f Ui
當力 F 與位移 x 同方向時 DU 小於零
Ch07 位能
56
保守力與位能
• 保守力可經由對位能函數的微分得到
dU
Fx
dx
• 保守力沿某一方向的分量等於位能在該方
向的變化率的負號
這一表示法可以同樣運用於其他二個方向 (y, z)
Ch07 位能
57
保守力與位能-核對
• 來看看一個位於參考點上方,高度為 y 的物
體:
dU g
d
Fy
(mgy) mg
dy
dy
此一表示法即為重力在 y (垂直)方向的分量
Ch07 位能
58
7.5
穩定狀態下的非孤立系統
在穩定狀態下的非孤立系統
• 一個非孤立系統也有可能 DT = 0
此種情況發生在進入系統的能量與同一時間由
系統流失的能量相同時。
有時候這種能量的流入與流出是經由多重方式
來進行的。
Ch07 位能
60
在穩定狀態下的非孤立系統
-以房子為例
Ch07 位能
61
7.6
重力位能和電位能
重力位能
• 一般來說,如果用
牛頓萬有引力Fg來
描述萬有引力位能
GM E m
Fg
rˆ
2
r
Ch07 位能
63
重力位能
• 則位能的表示法為
GM E m
Ug
r
Ch07 位能
64
重力位能
• 之前提及的地球-物體的系統,可以將其
引伸至任何由 m1 與 m2 二物體所構成的系統:
•
Gm1m2
Ug
對於三個或以上的質點系統來說,系統的
r
總位能可表示成
U total U12 U13 U 23
m1m2 m1m3 m2 m3
G
r13
r23
r12
Ch07 位能
65
例題7.6
• 一質量為 m 的質點在地球表面附近,有一
垂直方向的小位移 Dy。證明重力位能變化
量的方程式可以導出關係式 DU g mgDy 。
• 解答
1 1
rf ri
DU g GM E m GM E m
rf ri
ri rf
GM E m
DU g
Dy Fg Dy mg Dy
2
RE
Ch07 位能
66
電位能
• 庫侖定律描述二靜電荷之間的作用力
q1q2
Fe ke 2
r
• 此力對應出電位能 Ue 來
q1q2
U e ke
r
Ch07 位能
67
7.7
能量圖和平衡的穩定性
能量圖與穩定平衡
• 在圖中 x = 0 處,是穩定
平衡的位置
• 在能量圖的圖形構造上,
穩定平衡的位置是出現在
位能 U(x) 最小的地方
• 在 x xmax 與 x xmax 二
處位置,稱為轉捩點
Ch07 位能
69
能量圖與穩定平衡
Ch07 位能
70
能量圖與非穩定平衡
• 在 x = 0 處, Fx = 0,質
點在該處可保持平衡
• 一旦離開了x = 0 的位置,
質點就會朝遠離平衡點
的方向運動
• 這種現象就是非穩定平
衡
• 能量圖中,非穩定平衡
位置都是出現在能量U(x)
為最大處
Ch07 位能
71
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Ch07 位能
72
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NEXT
Ch07 位能
73
隨意平衡
• 隨意平衡都是處在能量圖中,能量U保持定
值的那些範圍內
• 在此區域中給予質點一個很小的位移,此
質點既不會受到回復力作用,也不會受到
推開的力作用
Ch07 位能
74
7.8
延伸議題:燃料中的位能
燃料中的位能
• 燃料儲存有力學能中的位能
• 燃料經由化學反應釋放能量,汽車通常用
此法來行駛
Ch07 位能
76