Transcript 第七章位能

第七章 位能
• 1. 如果遊樂場的溜滑梯的高度保持一定，則
溜滑梯的長度或凸塊的存在對於小朋友在上面
玩時最後的速率有何差別？假設溜滑梯非常光
滑以致於可考慮其沒有摩擦。重複此問題但假
設其有摩擦。
Ans:
假如沒有摩擦力，溜滑梯的長度或凸塊對於小朋友
在上面玩時最後的速率是沒有影響。
假如有摩擦力，溜滑梯最後的速率會隨長度下降；
凸塊對於小朋友會減少總力學能。
•
2. 解釋為什麼系統的總能可為正或負，然
而動能永遠為正的。
A ns:
定義動能和位能總和是總能，位能可以為負，所
以動能加上位能可以為負。
• 3. 一個人在一棟建築物頂端丟下一球，同時
另一個人在底部觀察球的運動，這兩個人是
否會觀察到相同的重力位能的值？相同的位
能改變量？相同的動能的值？
• Ans:
兩個人是否會觀察到的位能與動能的值相同，但重
力位能會依兩個人所選的位置 值會不相同。
• 4. 討論力學能的取得及消耗在 (a) 舉起一重
物；(b) 保持住重物；(c) 緩慢將重物放下。
在討論時要將肌肉的情況包括在內。
– Ans:
(a) mgh 是提供給肌肉
(b) 地球無提供任何能量，但化學能必須提
肌肉維持物體的高度
(c) 重物消耗mgh能量使它回到肌肉，其中
分成為內能源
供給
大部
• 5. 一滑雪者準備從一覆蓋雪的山頭滑下。在
下滑過程中重力提供能量的說法是否正確？
– Ans:
ex:提高一本書從低架子把它高的架子上。淨改變
其動能為零， 但是這本書，地球系統增加重力位
能。使用者拉伸橡皮筋兩端 ，它增加了彈性能量。
• 6. 如果有三個保守力和一個非保守力在一系
統內，則描述此系統有多少項的位能在方程
式內？
– Ans:
三個位能的問題上將會出現在表達總機械能，為每
名保守力量。如果你寫一個公式，初始能量為一方
和終端能源的另一方面，方程包含六個位能條件。
• 7. 如果只有一外力作用於一質點上，(a) 它
必須改變質點的動能嗎？(b) 它改變質點的速
度嗎？
– Ans:
(a)它如果它使對象的速度變化，但如果它
不僅使該方向速度的變化。
(b)是的，根據牛頓第二定律
• 8. 車主將移動的車子停住，假設踩煞車使車
子滑行，(a) 請問車子停止後，最初車子的動
能轉化成何種形式且儲存於那裡？(b) 同上述
問題，但是沒有煞車 (車輪在轉動)，則最初
車子的動能轉化成何種形式且儲存於那裡？
– Ans:
原動能車的側滑，可降解成動能隨機分子運動的
輪胎和道路：這是內部的能量。如果制動運用得
當，同樣的能源表現為內能在剎車外胎和滾筒。
• 9. 你騎一輛自行車，怎麼感覺你的自行車是
太陽能驅動的？
– Ans:
切斷提供的太陽能量來測他們的動作
• 10.在一地震中，一巨大的能量被釋放，而且
是朝四面八方傳開，而造成巨大損害。在地
震前這些能量是以何種形式存在，以及從震
央傳開時能量的轉換機制為何？
– Ans:
當板塊“滑動” 板塊在重力能量壓力下釋放出
彈性位能。帶出機械波。
• 11.一個保齡球被以一粗繩懸
掛在演講廳的天花板，球從平
衡位置移開，而從示範者的鼻
尖處靜止釋放。假如示範者保
持靜止，解釋為什麼他不會被
擺回來的球擊中，若當球釋放
時他去推球，則他是否安全？
• Ans:
地球系統的作用下的總能。由於系統
中最初的引力能源mgh，沒有動能，
球將再次有動能為零時，返回到其
原來的位置。空氣阻力會導致球回
來點略低於其初始位置。另一方面
，如果有人給出了向前推進的球沿
任何路徑， 會出現球迅速行進
圖Q7.11
• 12 .一球被筆直丟到空中，在那個位置動能 最大？
位能最大？
• Ans:
– 起點動能是最大。頂部是球重力能源最大 的時候。
• 13. 打樁機是一種藉由不斷地將一重錘落下打
在它上面的方法而將物體打進地表的裝 置，
當重錘的重量加倍時，打樁機的能量 增加多少？
(假設每次垂錘均從同樣的高
度掉下)
• Ans:
– 引力能量成正比的質量，因此增加一倍。
• 14. 當我們舉、推、跑、跳時，身體的肌肉展現出
力量，這些力是保守力嗎？
• Ans:
– ex:在攪拌蛋糕麵糊和舉重，你的身體返回到相同的構
象在每敲擊。在每次行程是不可逆轉的化學能轉換成輸
出工作（和內部能源）。這一觀察證明，肌肉力量非保
守。
• 15.一物連在彈簧的一端，而彈簧另一端垂直掛在
天花板上，物體上下振盪，忽略空氣阻力，說
明系統 (包括物體及彈簧) 內的能量轉換。
• Ans:
– 如果您震動物體，移動到讓引力能量為零時的最低點
（2）它的動能變得額外 彈性位能Ug )。在集體開始移
動在其較低的轉折點（3），這種能量都變得動能（K）
和重力位能(Ug )，然後就引力當能量物體是它的 最大高
度（1）。當時能源轉回到動能和彈性位能，而且重複這
個週期。
• 16.汽車行駛中，討論能量的轉換。
– Ans:
化工能源燃料轉化為內能作為燃料燃燒。大多數剩下的
車熱穿牆的發動機和轉讓問題的廢氣。一些分離燃料系
統所做的工作，推動了活塞。這項工作，結果在一個小
的內部能量在軸承和齒輪，但大部分成為所做的工作對
空氣推在一邊。工作的空氣立即變成內能在空氣中。如
果您使用雨刮，你把能源從曲軸，使之成為額外的內部
能量在玻璃和雨刷片和雨刮器電機線圈。如果您打開空
調，你最終的效果是把多餘的能量進行到環境。您必須
煞車最後你的旅行。只要聲音的
引擎已經消失，你必須表明它是熱污染。
• 17.若一質點在自然平衡的區域內，對的曲線
看起來像什 麼？
– Ans:
常數函數
• 18.一球在水平面滾動，它是在穩定、非穩定、
自然平衡的 那一種狀態？
• Ans:
– 這球在自然平衡
習題
7.1節 系統的位能
• 1. 一部1 000 kg的雲霄飛車在一頂點A靜
止，以俯角40度滑下135 ft到底點B。(a)
將B定為重力位能的零基準，求A、B的
重力位能及位能差 U A  U B；(b) 重複
(a)，A將定為零基準。
• Ans:
– (a) 當我們選擇車子在B點位能為零 UB =0
當車子在A點，地球所供給的位能為
UA = mgy
Y的高度為
A移動到B的位能為
• (b) 當我們選擇車子在A點位能為零 UA=0
當車子在B點，地球所供給的位能為
UB = mgy
Y的高度為
y = (41.1 m)(sin40.0°)= - 26.4 m.
A移動到B的位能為
•
•
3.
有一人想製作水力發電機，附近的
河流寬3.00 m，深0.500 m，有一瀑布在
高5.00 m以1.20 m/s流速沖下來，但水力
發電機只有25.0% 轉換效率，請問此發電
機功率為何？
Ans:
水流每秒流的體積量
水的密度為 1(公克／立方公分)=1000
(公升/立方公尺)
• 每公升/秒水流量質量
• 輸入的功率:
• 輸出的功率:
• 5. 如圖P7.5所示，一玻璃珠在一無摩擦的軌
道上滑行，若玻璃珠從高h=3.5m 處釋放，則
在A點的速率為何？(b) 若玻璃珠的質量為
5.00 g，正向作用力有多大？
• 7. 大衛強森在1992年巴塞隆納奧運的十項全
能項目裡奪牌，其中在跳高的比賽裡，當他
跳起時，垂直速度為6.00 m/s，請問大衛的
質心能升多高？
Ans:
•
9.
如圖下所示，兩物體由一輕繩跨
過一無摩擦的定滑輪所連接5.00 kg的物
體從高於地面4.00 m的高度靜止釋放，利
用能量守恆，(a) 求當5.00 kg物體到達地
面時，3.00 kg物體的速率；(b) 求3.00 kg
物體上升的最大高度。
• 11.有一鞦韆如下圖，繩長 ，角度與垂直線
夾度  ，有一表演者質量m，走上舞台手握
長繩，角度與垂直線夾  i，從靜止開始擺動，
忽略空氣阻力，且不會盪到比原來高，
(a) 請證明當表演者盪到角度差為時，他手
拉住繩子的力為 mg(3 cos  2 cos i )
(b) 請算出為多少時，
表演者盪到底部所
受的力為自己體重
的兩倍。
•
Ans:
(a) 作用力必須與空中飛人懸掛的力F相等
在地球上作用，隨著表演者從起始點到任
何更高點都必須等於機械能守恆：
化減上方程式成
可得
• (b) 在底部的鞦韆
• 13.在明尼蘇達州的一草原上的城市建了一污
水處理站。16號的處理站每天未處理的污水
垂直上升5.49 m的高度，有1 890 000 L。廢
棄物的密度為。這些污水在一大氣壓下經由
直徑相同的管子進出抽水機。(a) 求抽水站的
輸出功率；(b) 假設抽水機的馬達連續換作的
平均功率為5.90 kW，求其效率。
• Ans:
• (a) 污水通過pump產生相同數額的動能，該
pump的工作增加了污水的重力能量我們
採取方程Ki +Ugi +Wpump = K f +Ugf減
去K項， Ugi = 0選擇在底部的水池，以獲
取Wpump = mgy f .。現在，我們區分通
過對時間：
•
(b)效率= 機械輸出功率 / 輸入電力功率

F  (2 yˆi  x 2 ˆj) N，作用於一質點，x與y的
15. 一力
單位為公尺，質點從原點移動到x=5m，
y=5m的位置，如圖下所示，求沿著 (a) OAC
；(b) OBC ；(c) OC 所作的功；(d) F是
保守力或非保守力？解釋之。
Ans:
d) F是非保守，因為所做的工作是路徑與F有關。
• 17.一質量0.250 kg放在垂直放置的彈簧頂端，
彈簧的力常數為5 000 N/m，現在物體往下壓，
彈簧被壓縮0.100 m而後靜止釋放，物體被往
上彈，而且脫離彈簧，求物體可彈到最大的
高度為何？從釋放點算起的高度。
Ans:
• 19.在時間時，一質點動能為30.0 J且系統的
位能為10.0 J。於稍後時間時，質點的動能
為18.0 J，(a) 如果只有保守力作用於質點上，
則在時間時系統的位能和總能各為多少？(b)
如果系統的位能在時為5.00 J，是否有非保
守力作用於質點上？解釋之。
• Ans:
是非等於零，對於保守力
• 21.一壘球投手在將球投出去之前，將
0.250 kg的球擺動一半往60.0 cm的垂直圓
周。投手以定力30.0 N沿著圓周方向作用於球
上。球在圓頂時的速率為15.0 m/s，若球在圓
底部時丟出，求丟出時球的速率為何？
– Ans: 球從頂部弧形的底部的傳輸距離是。在所
做的工作是非保守力，投手施加 ，是我們在求
施加重力能:
•
23.
在圖下中，3.00 kg物體與表面間的
摩擦係數為0.400，系統從靜止起動，當
5.00 kg的物體掉下1.50 m時的速率為何？
Ans:
• 25.一個5.00 kg的物體以初速8.00 m/s往斜
面上方運動 (如圖下)，斜面的傾斜角為，物
體在斜面上移動了3.00 m後停止。求 (a) 物
體動能的改變量；(b) 位能的改變量；(c) 作
用於物體上的摩擦力 (假設為定力)；(d) 摩擦
係數。
Ans:
(c)
機械能轉換成磨擦力為 86.5 (J)
• 27.一玩具砲彈利用彈簧發射一質量5.30 g的
橡膠球，此彈簧一開始被壓縮5.00 cm單位長
度受力8.00 N/m，當砲彈發射後，球水平移動
且砲管長15.0 cm，同時砲管與球之間有摩擦
力0.032 0 N (a) 球離開砲管時速度為何？(b)
那一點球的速度為最大值？(c) 最大速度為多
少？
Ans:
(b) 當彈簧力正好等於摩擦力，將加快球停止。
這裡
• 29.一個1.50 kg的物體放在距離一無質量且
力常數為320 N/m的上方1.20 m處。物體掉
到彈簧上。(a) 它將彈簧壓縮的長？(b) 若將
此實驗搬到月球 ( g  1.63 m/s2 ) 上去做則又如
何？(c) 重做 (a)，但假設空氣阻力為0.700 N
且為定值。
Ans:
• 31.一保守力 F  (2x  4) N 作用於5.00 kg的質
點上，而以公尺為單位。當質點沿X軸X=1m
由移至x=5m時，計算 (a) 力所作的功；(b)
系統位能的改變量；(c) 若在X=1m時的速率
為3.00 m/s，求質點在X=5m處的動能。
x
– Ans:
• 33.一系統有兩個質點，質點相距，其位能為，
為常數，求質點間的作用力。
• 35.有一質量100 kg的衛星在高的上空 (a) 請問在
衛星與地球的系統裡位能多少？(b) 請問衛星受
到地球的重力為何？(c) 請問衛星施予地球的力
為多少？
37.在地球表面，一物體以10.0 km/s的速率垂
直發射，它能到達多高？忽略空氣阻力。
Ans:
• 39.如圖下所示的位能曲線圖。(a) 在所示的五
點，決定那些點是正的、負的，或是零？(b)
指出穩定平衡、不穩定平衡、中性平衡；(c)
由至，畫出對的曲線圖。
• 41.一質量1.18 kg的質點，介於兩相同的彈簧
之間，如圖P7.41所示，放在一水平無摩擦平
面上，彈簧力常數為，開始時彈簧均未伸長。
(a) 若質點被沿軸方向拉動了的距離，證明系
統的位能為：U ( x)  kx2  2kL(L  x 2  L2 )
(b) 畫出 U (x) 對的圖形，設 L  1.20 m k  40.0 N/m
(c) 若質點被向右拉
了0.500 m後釋放，則
當它到達平衡位置時的速率為何？
• 43. 在考慮供給汽車的能量，能源的單位質量的能
量是一重要的參數。如章節中指出，「燃燒的熱」
和單位質量儲存的能量，對於汽油、酒精、柴油、
食用油、甲烷和丙烷是非常相似的。對一較寬的觀
點，以每公斤幾焦耳比較汽油、鉛－酸電池、氫和
乾草的單位質量的能量。依照能量密度增加的大小
分成四等並且說明每一個和另一個間能量增加的因
子。氫氣的「燃燒熱」為142 MJ/kg。對於木柴、
乾草和一般的乾植物，這參數為17 MJ/kg。一充滿
電的16.0 kg的鉛－酸電池每1.0小時可釋放1 200 W
的功率。
• Ans
• 45.當你爬樓梯時，預估你的功率輸出，在你
的答案裡陳述計算、預估的物理量，你可曾
想過你的最高功率或你所能承受的功率嗎？
• Ans:
•
37.複習題。如圖下的系統由一輕且不能擴
展的細繩，輕而無摩擦的滑輪和相等質量
的方塊組成。最初保持靜止，所以兩方塊
位地面上相同的高度。然後方塊釋放。求
出當兩方塊垂直高度的差為時，方塊A的速
率為何。
Ans:
• 49.有一質點如習題7.48在點從靜止開始釋放，
如圖P7.48，碗的表面為光滑，在點質點的速
度為1.50 m/s，(a) 請問在點的動能為多少？
(b) 從點到點有多少能量轉換成內能？(c) 儘可
能算出摩擦係數。
•
•
51.在圖下中，一10.0 kg的方塊從釋放，軌
道除和段 (長6.00 m) 外是光滑的，方塊滑下
後撞擊一彈簧，力常數，且在停下之前，從
平衡位置壓縮了0.300 m，求、段方塊與表
面間的動摩擦係數。
Ans:
•
53.如圖P7.53所示，滑輪無摩擦，彈簧的質
量可忽略不計，且力常數為250 N/m，斜面
無摩擦，在圖中的彈簧尚未被拉長，現在
20.0 kg方塊從靜止上滑20.0 cm (所以30.0
kg方塊是高於地面40.0 cm)。當30.0 kg方塊
再度在高於地面20.0 cm時 (也就是，當彈簧
未被伸長時) 的每一個方塊的速率。
•
55.有一質量0.500 kg的物體受一水平推力使
彈簧壓縮長度如圖下，(彈簧質量太小所以忽
略不計)，此單位推力恆為450 N/m，當此力
放開後，此物體在無摩擦力的平面上沿水平
方向移動到點，此時速度 B  12.0 m/s ，其
中B 點為半徑 R  1.00 m圓的底部，而圓軌道
的摩擦力恆為7.00 N，(a) 請問為多少？(b)
請問物體在圓軌道正上方時的速度；(c) 此
物體真的會穿過圓軌道正上方嗎？或者還沒
到達前就掉下來呢？
• 57.質量50.0 kg的珍想過寬為D的河解救泰山，
河裡有會吃人的鱷魚，所以她必須抓著長L的
藤蔓盪過河，盪過去的期間會受到風的恆阻力

F影響，藤蔓和垂直線夾度 ，如圖下，其中
D  ,50.0 m
F  110
, N
, .0 m   50
，(a)
L  40
.0
珍至少需要多少速度才能盪到對岸？(b) 一旦
營救成功，泰山和珍必須盪回去，請問最小速
度為多少？假設泰山質量80.0 kg。
•
59. 一滑板者和其滑板可視為一質量76.0 kg的質點，並集中於
其質量中心 (將於第8章研究)。如圖P7.59所示，滑板者一開始
以彎腰的姿勢靜止於半輸送管的邊緣 (A點)。此半輸送管是一
乾掉的水通道，和其水平軸形成一半柱體，且其半徑為6.80 m。
在他的下滑過程，滑板者無摩擦的移動所以其質量中心通過半
徑為6.30 m的四分之一圓。(a) 求其到達半輸送管底部 (B點)
的速率；(b) 求他的向心加速度；(c) 求在B點作用於滑板者的
正向力。經過B點後，他立即站起來並舉起手臂，此時在C點其
質量中心從0.500 m升高到0.950 m。為了計算化學能轉換成力
學能，可視為他的腿將他往上垂直堆動並以等於正向力的定力
向上移動0.450 m的距離所作的功。(在第10章你可以一較精確
的模型來解此問題)。(d) 在此過程中，作用於滑板者身體上的
功為何？接著，滑板者往上滑動，其質量中心繞著半徑5.85 m
的四分之一圓滑行。當他通過D點時，身體是水平的，D點為
半輸送管較遠的邊緣。(e) 求在此處他的速率。最後，他彈出
去並扭轉當他的質量中心垂直移動時。(f) 他上升在D點上有多
高？(g) 他碰到D點下2.34 m前在空中飛行時間多少？(注意：
沒有所需的技巧和保護裝置或合法可用的排水通道，你不能自
己去嘗試)
圖P7.59
•
61.由一長度L的輕繩和一小球組成的擺錘在
垂直平面擺動。繩子碰到位於懸掛點下距離
d的釘子上 (圖下)。(a) 證明小球於釘子下多
高釋放時，當繩子撞到釘子後它回到同高度；
)釋放
90
(b) 證明如果擺錘於水平位置 (
且以釘子為圓心做一完全圓擺動，其最小的
d值需為3L/5。
• 63.複習題。在1887年有一人在河岸建一座滑水
道，如圖P7.63，有一人坐在小雪橇上總質量為
80.0 kg，從頂端A點以2.50 m/s的速度滑下來，
此滑水道高9.76 m，長54.3 m，寬0.51 m (忽略
摩擦力)，受到水面摩擦力影響，此人在到軌道
底部C點且延伸到水裡之水平面的長度50 m停下
來，(a) 請問雪橇在C點的速度；(b) 假設水的摩
擦力為定力，請問此摩擦力要作多少功才能讓滑
行中的雪橇停止；(c) 請算出水面摩擦力施予雪
橇的力；(d) 請算出滑水道在B點施予雪橇的力；
(e) 在C點有一垂直的彎曲面，假設此曲面的曲
率半徑為20.0 m，請計算在C點滑水道施予雪橇
的力。
圖P7.63