Transcript 静电场

第七章
静 电 场
相对观察者静止的电荷所激发的电场
一.电荷
1. 电荷的正负性 自然界上存在正
负两种电荷
2. 电荷守恒定律 孤立系统中电荷的代数和保持不
变
3. 电荷量子化 任何电荷的电量是某个基本单元的
整数倍
“微观世界的一个特殊概念；按某种规律取分
立值的物理量。”
q  n  e(n  1,2,3,)
电荷的量子e  1.602 10
19
c
二.库仑定律
1. 库仑定律（两个点电荷之
间相互作用力）


q1q2 
q1q2 
F12  k 2 e12 (或F12  k 3 r12 )
r12
r12
2
k  8.987 10 N  m  c q
1
2. 几点说明
9
2
q2

r12

e12
（1）在国际单位制中，通常采用 k 
1
40
12 2
1 2
 0  8.85 10 c N m (真空中电容率）

1 q1q2 
库仑定律写成 F12 
e12
2
40 r12
（2）库仑定律中反平方比
的规律的验证
设指数 2 的偏差为 n ，则

q1q2 
F12  k 2 n e12
r
16
现已测得指数 n 不超过10
三.电场强度
1.静电场：
（静）电荷在其周围所激发的
“ 特殊 ” 物质
电荷间的相互作用是通过电场
来实现
下面将从力和能量角度
研究电场的性质和规律并由
此引进描写电场性质的两个
物理量
电场强度和电势

2. 电场强度 E （描写电场性质的物理量）


 F
E
q0
q0
F

q0 --试验电荷：点电荷，足够小电荷
大小：单位正电荷所受的电
场力
方向：正电荷受力方向
3. 点电荷电场强度

 F
1 Q
E

e
2 r
q0 40 r
p
Q

er

r q
0

F
4. 点电荷系的电场强度
由 Q1 , Q2 , Q3  点电荷组成的点电
荷系的电场强度
  

 F F1  F2  F3  
E

q0
q0
1 Q1 
1 Q2 

e 
e 
2 r1
2 r2
40 r1
40 r2
n
Q1
1 Qi 

e
2 ri

4

r
i 1
0 i
Q
F2
3
   
即：E  E1  E2  E3  

F4
Q2

F3

F1
Q4
点电荷系在某点 p产生的电场强度等于
各点电荷单独存在时，在该点产生的电场强
度的矢量和----电场强度的叠加原理
5. 带电体的电场强度

1 dq 
dE 
e
2 r
40 r


1 dq 
 E   dE  
e
2
V
V 4 r
0
（电荷元 dq ）
+
dq
+
+++ ++
++ +
+++dr
+++ ++++
+ ++
P
++ + +
对不同电荷分布的带
电体可分别写作
体带电体：

dq  dV（为电荷体密度） E  
V
1 dq 
e
2 r
40 r
面带电体：

dq  dS （为电荷面密度） E 

1 dq 
e
2
S 4 r
0
线带电体：

dq  dL（ 为电荷线密度） E  
1 dq 
e
2
L 4 r
0
6. 电场强度计算举例
例1. 电偶极子的电场强度
两个等量异号点电荷  q和  q，
相距为 r0 ，若点 P 到这两个电荷距离比 r0
大得多时，这两个电荷构成的电荷系称
 q 指向  q 的矢
为电偶极子。
通常将从
  

量 r0 称为电偶极子的轴， p  q  r0 称
为电偶极矩（电矩）。试计算
（1）电偶极子轴线上一点的电场强度
（2）电偶极子轴线的中垂线上一点的

q

q

电场强度
r
0
解： （1）取轴线中点为坐
标原点 o ，建立坐标原点 ox
则 q 和 q在 A点电场强度分
别为

 
1
q
1

q
E 
i , E  
i
40 ( x  r0 ) 2
40 ( x  r0 ) 2
2
2
  

q
1
1
叠加得E  E  E 
[

]i
40 ( x  r0 ) 2 ( x  r0 ) 2
2
2

A
1 2r0 q 
1 2 p  q  q

i 
3
3
r
x
0
40 x
40 x
o
x
（2）取 oxy 坐标系，则  q
和  q在 B 点电场强度
大小：E  E 
方向：如图
1
q
40 y 2  ( r0 ) 2
2
y
B
则 B 点电场强度大小
E  E cos   E cos   2 E cos 
r0
2
cos  
1
r0 2 2
2
[y  ( ) ]
2


 q o r0  q
x
E 
1
40
qr0
3
2

p
40 y
3
 2 r0 
y  


4




1 p
方向：负ox轴的方向，则写成 E  
3
40 y
2
例2. 一均匀带电直线长 l,带电 q
（线分
q
布带电体   l ），线外一点 p 到直线
垂直距离为 a ，p点与直线两端连线与直
线夹角分别为 1 和  2 ，求 p 点的电场
强度。
解：取图示oxy坐标
电荷元 dq  dy ，离原点 o
为 y ，其在 p 点的电场强度

dE 
dq 
er
2
40 r
y
2
dE x  dE sin 
dE y  dE cos 



由图知： y  atg   
2

  actg
 dy  acec 2d
dq 
r
y er
o
1
a
p
x

dE
又 r  a  y  a cec 
2
2
2
2
2

 dE x 
sin d
40 a

dE y 
cosd
40 a
2
 E x   dE x  
1

sin d
40 a
y
2

dq 

(cos 1  cos  2 )
r
40 a
y er


E y   dE y  
cos d
 4 a
o a
0
1


(sin  2  sin 1 )
40 a
2
1
p
x

dE
讨论: 若 a  L 即 p 点极靠
近带电直线，该带电直线视
为“无限长”
1  0， 2  

 Ex 
Ey  0
20 a
例3. 半径是 R 的均匀带电细圆环，
带电量为  q ，试计算圆环轴线上与
环心相距为 x 的 p 点的电场强度
解: 取图示 oxyz坐标, 圆环
中心与坐标原点 O重合,在
圆环上取电荷元 dq，其在 p
dq
y
点的电场强度


1 dq 
er
dE 
e
r
2

r
40 r
o
p 
z
E
x
则圆环在 p的电场强度
Ey



dE x
E   dE
r
电场分析:圆环各电荷元对 p点的电场强

度 dE 的分布有对称性
则合电场强度沿 x 轴方向，
即 E   dEx   dE cos
x
 cos 
dq
y
r

 E   dE x 
er
1
dq x z


 40 r 2 r

qx
3
2
o

r
p 
Ex
Ey

dE x
4 ( x  R ) 方向: 沿 x 轴的方向
2
2
讨论:
（1）x  0 时，E  0
3
2
2
2
3
（2）x  R 时，
（x  R )  x
E 
q
40 x
2
（与点电荷电场强度表达式一样）
例4 . 半径为 R，均匀带电 q(面电荷分布
q
带电体(   R 2 )的薄圆盘轴线上的任
一点 x 处的电场强度
解: (回顾力学中计算刚体转
动惯量的基本方法）将圆盘
分成有许多半径不等的细圆
环组成, 那么圆盘在 p点的电场强度是
这些细圆环电场强度的叠加
设某一细圆环半径为 r ，宽为 dr ，
则带电：dq    2rdr
y
dr
p
r
o
x
x
该圆环在 p 点的电场强度
xdq
dE 
40 ( x  r )
2
（与
E
2
3
2
xq
40 ( x 2  R 2 )
3
2
比较）
因为圆环上各细园环在 p 点产生的电场
强度方向都相同(沿ox轴),因此圆盘在 p
点的电场强度
R x
xdq
rdr
E   dE  

3
3
0 2
2
2 2
2
2 2
0
40 ( x  r )
(x  r )
x 1
E 
( 
2 0 x
1
1
2
)
(x  R )
方向沿 ox 轴的方向
讨论：
若 R  x，即视圆盘为“无限大”


带电平板，则E 
i （方向垂直圆平面）
2 0
2
2
例5 . 一半径为 R 的均匀带
电半球面。其面电荷密度
为，求该半球面球心处的
电场强度大小。
解：分析
所以，将半球面分成由一系列不同
半径的带电细圆环组成，带电半球
面在 o点的电场就是所有这些带电
圆环在 o点的电场的叠加。
今取一半径为 r，宽度
为 Rd的带电细圆环
在 o 点电场
hdq
dE 
3
40 R
h  R cos
r
h
o
d
dq  2r ( Rd  )  2 ( R sin  )( Rd  )
3
 2R sin  cosd 
 dE 


sin  cosd
3
40
R
2 0



2
整个半球面 E   dE  0
sin  cosd 
2 0
4 0
例6 . 厚度为 d ,面积为s 的均
匀带电长方体附近的电场强
度， 设带电体密度为 
(体带电体)
s
dx
d
2
o
d
x
p
x
解： 参照上题思路,将带电
体分为许多“无限大”带电
设在 ox 轴上 x 处有一厚度为
平板
dx
带电为
的“无限大”带
dq  dv  sdx
电厚板,其在板外 p 的电场强度为

 
dE 
i
d dx
2 0
2
p x
dq



dx
s

i 
i
2 0
2 0
s
o
d
x
那么带电长方体在 p点
的电场强度


E   dE

d
2
d

2

dx  d 
i 
i
2 0
2 0
四. 电场强度通量，高斯定律
1. 电场线：形象描写电场强度的假想
曲线
（1）规定：
电场线上的任一点的切
线方向为该点电场强度的方
向；

通过电场中某点，垂直于
的单
E

位面积的电场线等于该点 E 的大小，
即 E  dN（电场线的密度）
ds
ds

E
（2）几种典型带电系的电
场线：
点电荷
正负电荷
平板带电 均匀电场
2. 电场强度通量：通过电场中的某一面
 
en
积的电场线数
E
 e   d e   Eds

s
  Eds cos 
s


 e   E  ds
s
s ds
 
（ E 与 en 的夹角）
若 s 为闭合曲面

则：

 e   E  ds
  E  ds cos 
3. 高斯定理
真空中通过任一闭合曲面的电场强
度通量等于该曲面所包围的所有电荷的
代数和除以  0 。


 e   E  ds 
q
i

定理中的“闭合曲面”
通常又称其为“高斯面”
定理的逐步验证
（1）设闭合曲面是一半径为 R的球面，
其包围一个位于球心的电荷 q ，则计算
通过该闭合曲面的电通量


ds
 e   E  ds
q

q
40 R
2
ds


q
0
（2）任意闭合曲面 s 内包
围一点电荷 q
今以 q为中心作一半径
为 R 的球面，由于电场线在空间连续不中
断，显然，通过球面与通过闭合曲面 s 的
s
电场强度通量相等

q

即  e   E  ds 
s
0
q
（3）任意闭合曲面 s ，不包围电荷，点
电荷 q 位于闭合曲面外，情况如何？
有电场线连续，则穿入
和穿出曲面 s 的电场线数相
等，则穿出闭合曲面 s 的电
场强度通量为零。


即  e   E  ds 
q
i
0
s
0
q
（4）任意闭合曲面 s内有点电荷 q1 , q2 ,, qn
曲面外有点电荷 Q1 , Q2 ,, Qn ，则通过该闭
   qi
合曲面的电场强度通量  e   E  ds 
0
4. 高斯定理应用举例
例题1. 求“无限长”均匀带
电直线外，相距为 r 处的电
场强度（设直线的电荷密度为  ）

解：电场分析
E


E 的方向：垂直带电直线沿 E
r
径矢的方向

E 的大小：轴对称性
作高斯面
由上分析，作一直线为轴，半径为 r
高为 h 的正圆柱闭合面为高斯面，
则通过闭合曲面的



 E  ds 


 E  ds 
侧面


E  ds 
上底面


 E  ds
下底面


  E  ds  0  0  E
侧面
ds

E

2

rh

侧面


由高斯定理  E  ds 
q
0
h

E  2rh 
E 
0
20 r
h
s
r
例题2 . 求均匀带(正)电的
“无限大”平板外一点的电

场强度（设板的电荷面密度
解：电场分析
距平板两侧等距的各点 
的电场强度大小相等，方向 E
处处垂直平面
作高斯面
侧面与平板垂直，两底
面与平板平行，且以平板为
对称的正圆柱面

E
s


则： E  ds 


E

d
s

侧面


  E  ds 
右底


E

d
s

左底
 0  Es  Es


由高斯定理
 E  ds 
讨论：
q
0
s  

2 Es 
E 
0
2 0
（1）“无限大”带电平板的电场为均匀电场
（2）两块带电等量异号电荷
的“ 无限大 ”平行平面的电
场强度可由电场强度叠加原



理求得
（一）
（二）
板间电场 E      
2 0 2 0  0


板外电场 E 

0
2 0 2 0


 E
（三）

例题3 . 求均匀带电球壳
内外的电场强度，设球壳
带电 q 半径为 R 。
解：电场分析
电场分布具有球对称性，
电场强度方向沿径矢方向
q
o
r
R
作高斯面
r
作以 o 为中心，分别作半
径为 r  R和 r  R 的球面

 q
高斯定理 若r  R，则 E  ds 
0
2
 E  4r  0，即E  0

 q
若r  R，则 E  ds 
0
q
2
 E  4r 
0
q
E
2
40 r
重要结论： 均匀带电球壳 (qq, R)
E  0(r  R)；E 
(
r

R
)
2
40 r
例四. 均匀带电球体半径为 R ，带电为 q ，
求球体内外的电场强度
解：电场分析
电场分布具有球对称性，且沿径矢方向
作高斯面
以球心 o 为中心，分别做
和r  R 的球面
rR
高斯定理

 q
若r  R，则 E  ds 
 E  4r 
2
q
0
E
0
q
40 r
q
2

q

若r  R，则 E  ds 



0
0
4 3
q
q
q  ( r )
E
r
4 3
3
3
R
40 R
3
重要结论：
r  R时，E 
q
40 r
2
5. 关于高斯定理应用的
几点说明
（1）高斯定理是反映静电场性质的基本定
理是普遍成立的，然而，用高斯定理计算电
场强度，只限于具有对称性的电场（为什
么？）
（2）分析电场分布和取合适的高斯面是应
用高斯定理计算电场的关键


（3）定理  E  ds 
q
i
0
表明电场强度的通量只与高 
斯面 s内电荷有关，而式中的 E
是高斯面内外电荷所产生的
Q
电场强度
s
1
五. 电势能 电势
Q2
q1 q2
q3
Q3
从电场力做功的角度来研究电场的性质
和规律
1. 静电场力做功与路径无关
（1）点电荷 q 的电场力对q0




做功 dW  F  dl  q E  dl
0

qq0 
qq0

e  dl 
dr
2 r
2
B
4

r
4

r

0
 0

dr  er  rdl

d
l
dr
r
B qq
B
0 dr
E

W  

r
2
rA 4 r
0
qq0 1
1

(  )
40 rA rB
q
er
r
A
rA
点电荷的电场力对 q0做功与路径无关，
且与 q0 移动的始末位置有关（保守力）
（2）根据电场叠加原理，推
广到点电荷系 (q1 , q2 , q3 ,)
电场力做功


W   q0 E  dl
l




  q0 E1  dl   q0 E2  dl  
l
l
同样得到如下结论：
静电场对试验电荷所做的功与路径
无关，与试验电荷 q0和路径的始末位置
有关。
2. 静电场的环路定理—反映
径电场性质的另一基本定理
若 q0 沿闭合路径移动
一周，电场力做功




W   q0 E  dl  q0  E  dl  0
l


则  E  dl  0
环路定理

静电场中，电场强度 E 沿任意闭
合路径的线积分为零（电场强度的环流
为零）
3. 电势能
重力做功  保守力 
比
引入重力势能等物理量
较
静电场力做功  保
守力  引入电势能
相类似：静电场力对电荷所做功等于电
荷电势能的改变量
 
WAB  q  E  dl  E p A  E pB   E pB  E p A
B
A


令 B 点为电势能零点，则可得任一点 A
的电势能
E p A  q0 
0
A
 
E  dl
即 试验电荷 q0 在电场中某点
处的电势能，在数值上等于把它从该点
移动到零电势能参考点处电场力所做的
功
可见电势能也是个相对量
4.电势是描写静电场性质的另一个物理

量
E pA
零 
VA 
q0
  E  d（与
l
E p A比较）
A
电场中某一点的电势，
在数值上等于把单位正电荷
从该点移到势能零点处电场
力所作的功
任意两点的电势差
U AB  VAB  VA  VB  
B
A
 
E  dl
将电荷 q0从 A点移到 B 点电场力做功为
WAB  q0 
B
A
 
E  dl  q0 (VA  VB )
5. 关于电势的几点说明
（1）电势是描写静电场性质
的重要物理量，电势是标量。
（2）零电势的参考点可选取任意点，通
常是：电荷分布在有限空间的电场中，
选无限远处电势为零；在实际应用中，
选地球或仪器外壳的电势为零；在某些
情况下，可选某一点的电势为零。
（3）电势值与电势零点的选取有关，也
是个相对量，电势差则与电势为零的选
择无关。
6. 电势的计算
（1）定义式 VA 

零
A
 
E  dl
（2）点电荷
V 

r
  
E  dl  
r
点电荷系
n
V 
i 1
qi
40 ri

电势叠加原理
q
40 r
q1
40 r1

2
dr 
q2
40 r2
q
40 r

（3）带电体
dq
V   dV  
40 r
Q
计算举例
dq r p
例题1 . 均匀带电的细圆
环，半径为 R ，带电为q ， Q
计算在圆环轴线上与环心 y
相距 x 处 p 点的电势
dq
r px
解：取oxyz坐标系，圆环
o
位于yz平面，环心与原点
x
R
o
重合，在圆环上取一电荷
z
元 dq
则有
Up  
q
dq
40 r

1
dq

4 r
0
q
q

40 ( x  R )
2
2
1
2

 
E  dl 求得结果
另外，可以用 V  
x
设从 p 点（ x 处）沿轴线将单位正电
荷移到无限远处为积分路径（为什么这样
选择？），则 p 点的电势
Vp  

p( x)
qx
3
2 2
40 ( x  R )
2
dx 
q
1
2 2
40 ( x  R )
2
例题2 . 半径为R ，均匀带
q
电 q（电荷面密度   R 2）
的圆盘轴线上任一点 p 的
y
电势
解：均匀带电圆盘可视为
由许多半径不等的均匀带
电细园环组成
任一细圆环，半
径为 r，宽为 dr，其带
z
电量
dq    2r  dr
p x
o
r
dr
x
其在轴线上 p 点的电势为
dV 
dq
40 (r  x )
2
2
1
2
整个圆盘在 p 点的电势为
V   dV  
0


2 0

40 (r  x )
2
rdr
R
0
  2r  dr
R
(r  x )
2
2
1
2
2
1
2

2
2

( R  r  x)
2 0
同样也可以用电势定义
式计算（选择积分路径！）
V 

x


x
 
E  dl

[1 
2 0
x
(x  R )
2
2

2
2
]dx 
( R  x  x)
1
2

0
2
例题3 . 带电为 Q，半径为R 的均匀带
电球壳内外一点的电势
解：带电球壳内外的电场分布

E

Q 
e
(
r

R
)
，
E

0
(
r

R
)
r
2
40 r
1
用电势定义式计算
若r  R，则V  

r


Q
Q
40 r


 
R 
若r  R, 则V   E  dl   E  dl
r
40 r
dr 


E  dl
2
r


R



E  dl  
R
r
Q
40 r
2
dr 
Q
40 R
重要结论：均匀带电球壳内外电势
V 
Q
40 r
(r  R)，V 
Q
40 R
(r  R)
例题4 . 半径为 R ，均匀带
电Q 的球体内外电势
解：球内外的电场强度为

Qr 
E
e (r  R)
p
3 r
40 R
r
o

Q

R
E
e
(
r

R
)
2 r
40 r
r
p
若r  R，则

 

Q
Q
V   E  dl  
dr 
2
r
r 4 r
40 r
0


若r  R，V   E  dl
r


R 
 
  E  dl   E  dl

r




R
Q
R
r
40 R
Q
80 R

Q
80 R
3
rdr  
R
Qr
2
80 R
3

(3R  r )
2
3

Q
40 r
2
dr
Q
40 R
or
2
p
R
r
p
另一方法
可以将均匀带电球体视
为由许多半径不同的均匀带
电薄球壳组成，根据球壳内外一点电势
的计算式，用电势叠加的方法计算整个
球体内外电势。（将在习题课上讨论）
例题5 . 两个同心球面，半
R2
径分别为 R1、，内球面带
电  q，外球面带电 Q，求：
（1）空间的电势分布；
（2）内外两球的电势差。
解：方法一 由电场与电势积分关系求出
由高斯定理（或以前的讨论）知
E1  0
(r  R1 )
q
E2 
( R1  r  R2 )
2
40 r
qQ
E3 
( R2  r2 )
2
所以，在
r  R1 区域
 
V1   E  dl
r



R1 
R2 
 
  E1  dl   E2  dl   E3  dl

r
R1
R2
qQ
 0
dr  
dr
2
2
R1 4 r
R2 4 r
0
0
q
q
qQ



4 0R1 4 0R2 4 0R2
q
Q


4 0R1 4 0R2
R2
q

R1  r  R2
同理，在
区域
 
V2   E  dl
r
  

R2 
  E2  dl   E3  dl

r

在
R2
q
4 0r
r  R2
V3  

r

Q
4 0R2
区域
  qQ
E3  dl 
4 0r
方法二
当
电势叠加原理
r  R1 时，该处位于两个球面内
V1  V内  V外
q
Q


4 0R1 4 0R2
R1  r  R2时，该处位于 R1 球面外, R2 球面内
q
Q
V2 

4 0r 4 0R2
当 r  R2 时，该处位于 R1 球面和 R2 球面外
q
Q
qQ
V3 


4 0r 4 0r 4 0r
当
电势计算小结
计算电势两种基本方法
零
 
E  dl
（1）有电势定义 VA  A
在已知电场强度分布情况下较为
方便，如例题3、例题4和例题5。
（2）电势叠加
1
V 
40
dq
Q r
在已知电荷分布，且电荷分布在有限区域
内的带电体较为方便，如例题一，例题 二
六 电场强度和电势的关系
1.等势面：电场中电势相等的各点所构
成的曲面
规定：
(1)相邻两等势面间的电势差相等；
(２)等势面法线方向指向电
势增加的方向 
en
V
V  V
由此，等势面的分布就能形象描写
电场中电势和电场强度的概况
根据：


dW  q0 E  dl  q0 Edl cos 

B 
WAB  q0  E  dl  q0 (VA  VB )
A
得到：
（1）等势面越密的地方，电场
强度愈大，反之相反
（2）电场线与等势面处处正交
（3）电场线方向与电势降落方向相同，即
电场强度方向与等势面法线方向相反
几种带电系的等势面和电场线分布
2.电场强度与电势梯度的
关系
设两相邻等势面 V和 V  dV
上两点 A 和 B
 
E  dl  V  (V  dV )

en
A
 dV  
Edl cos  dV  El 
E
dl

en

dl
V
B
V  dV
电场中某一点的电场强度沿某方向
分量，等于电势沿该方向的空间变化率
的负值
或写成法线方向的关系式
dV
En  
dln
 
dV 
又  E  En (为什么？）E  En  
en
dln
所以：

电场中任一点 的大小等于该点电势沿
E

E
等势面法线方向的空间变化率， 的方
向与法线方向相反，即指向电势减小的
方向

V  V  V 
i
j
k
在直角坐标系中 E  
x
y
z

写成：E  V   gradV

（电场强度 E 等于电场梯度的负值）
举例说明（应用）
例：用电场和电势的关系，求均匀带
电细圆环轴线上一点的电场强度。
解：已知 x 轴上 p点电势为
V
则
1
q
注意：这是一
个特例
40 x 2  R 2
V
1
qx
E  Ex  

3
2
2
x 40 ( x  R ) 2
小结：
（1）电场强度与电势的积分关系
VA  VB  
B
A
 
E  dl
（2）电场强度与电势的微分关系

V  V  V 
E
i
j
k
x
y
z