Transcript 第 三 篇 电 场 和 磁 场 Electric field and magnetic field 第八章 真空中的静电场 Electrostatic field 第九章 导体与介质中的静电场 Electrostatic field in conductor and dielectric 第十一章 真空中的恒定磁场 Magnetic field 第十三章 电 磁 感 应 Electromagnetic induction 第十四章 麦克斯韦方程组 Maxwell equations.

第 三 篇
电 场 和 磁 场
Electric field and magnetic field
第八章
真空中的静电场
Electrostatic
field
第九章
导体与介质中的静电场
Electrostatic field in conductor and
dielectric
第十一章
真空中的恒定磁场
Magnetic
field
第十三章
电 磁 感 应
Electromagnetic
induction
第十四章
麦克斯韦方程组
Maxwell
equations
第 八 章
真空中的静电
场
( ELECTROSTATIC )
• 电荷与电场、库仑定律
• 电场强度
• 电通量、高斯定理
• 静电场的环路定理、电势能与电势
• 等势面、电势与场强的微分关系
第 八 章
( ELECTROSTATIC )
§8-1
律
真空中的静电场
电荷
库仑定
( Electric Charge and
Coulomd`s Law )
一、电 荷( Electric Charge )
实验证明 , 自然界只存在两种电
荷，分别称为正电荷和负电荷。
同种电荷互相排斥，异种电荷互相吸引。
二、电荷守恒定律
(Conservation of Electric Charge )
在一个与外界没有电荷交换的系统内，无论进行
怎样的物理过程，系统内正、负电荷量的代数和总是保持不
变。
----- 电 荷 守 恒 定 律
( Law
of
Electric
Charge
Conservation )
例：
238
物理学中的基本定律之一．
放射性
＋
U → 234
90T h
92


4
2
He
γ e e


e  e  2


三、电荷的量子化
( Quantization of Electric Charge )
物体所带的电荷量不可能连续地取任意量值，
而只能取电子或质子电荷量的整数倍值．电荷量的这种只
能取分立的、不连续量值的性质，称为电荷的量子化。
一个电子电荷量为：
1906-1917年，密立根
用液滴法首先从实验上证
明了，微小粒子带电量的
变化不连续。
夸克 ——-
e=1.602189246×10－
q  Ne
1

q   3 e

2
q   e
3

19
库仑
四、真空中的库仑定律
(Coulomd`s Law)
１、点电荷 ( Point Charge )
在具体问题中，当带电体的形状和大小与它们之间的距离
相比允许忽略时，可以把带电体看作点电荷( Point Charge ) ．
？
点电荷( Point Charge）
２、库仑定律 (Coulomd`s Law)
1785年，库仑(A．de Coulomb)
通过扭称实验总结出点电荷之
间相互作用的静电力所服从的
基本规律
库 仑 (1736 ~1806)
---库仑定律 ( Coulomd`s Law)
(Charlse-Augustin de Coulomb)
法国工程师、物理学家
真空中，两个静止点电荷之间相互作用力的大小与
这两个点电荷的电荷量乘积成正比，而与这两个点电荷之间
距离的平方成反比，作用力的方向沿着这两个点电荷的连线，
同号电荷相斥，异号电荷相吸．
其数学表达形式 :
1 q 1 q2
F
4 πε0 r 2
大 小
方 向
q1 q2 >
 0  8.85  10 12
同种电荷:
0
F1
q1
r
q2
异种电荷:
q2 < 0
q1
F1
r
q1
q2
F2
F2
c2
m2 N
矢量形式:

F12 
1
q1 q2 
r0
2
4  0 r


F2 1  - F1 2
q1
同种电荷:
q1q2 > 0
q2

F1 2
q1
异种电荷:
q1q2 < 0

F2 1

r12

F1 2

r12
q2

F2 1
§8-2
场强度
电场
电
(Electric Field and Electric
Field Strength)
一、 电场
(Electric Field )
1. 电场
超距作用理论
电荷
电荷
法拉第提出近距作用, 并提出力线和场的概念
电荷
场
电荷
电场是物质存在的一种形态，它分布在一定范围
的空间里，并和一切物质一样，具有能量、动量、
质量等属性.
2.电场力 ( Electric Field Force)
电场对处在其中的其他电荷的作用力
两个电荷之间的相互作用力本质上是:
一个电荷的电场作用在另一个电荷上的电场力．
二、电场强度( Electric Field Strength )
1.试探电荷q0 ( Test Charge )
静电场的最基本特征:
对引入电场中的其他电荷产生电作用力．
试探电荷： A.其电量很小，以便它引入电场后不会
导致产生电场的电荷分布发生变化；
B.这个电荷的几何线度很小，以致于可
将其视为点电荷．

FA
q0
++
A
+ +
+
+
+ + B q0
+ +
C
+
q0
+
+
+
+
+
+
+ q0
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+ 2nq0q0
+
+
+

F

FB

FC

2nFF

F
比值
与试探电荷 qo 无关，仅与该点处电场性质有关
q0
2. 电场强度 ( Electric Field Strength )


F
E 
q0
描述场中各点电场的
强弱的物理量
电场中某点的电场强度:
大小
等于单位电荷在该点受力的大小,
方向
为正电荷在该点受力的方向
3.场强的计算
(1)点电荷的场强
q

r

F
q0
1 qq0 
r0
2
4π 0 r

 F
1 q 
r
E 
2 0
q0 4π 0 r

F

E
1 q 
r0
2
4π ε0 r
+q
q0

r
+q

E

E
1 q 
r0
2
4π ε0 r
-q

E

r
-q
q0
(2)点电荷系的场强
q2
n 
 


F  F1  F2      Fn   Fi
q1
i 1





n
F
F
F
F
F
 1  2    n   i
q0 q0 q0
q0
i 1 q0


F
1 q1 
E1  1 
r10
q0
4π 0 r12


F
1 q2 
E2  2 
r20
2
q0
4π 0 r2


F
1 qi 
Ei  i 
ri0
2
q0
4π 0 ri

Fi

Fn
q3
qi
r3
r2
ri
r1
q0
rn
qn

F1

F3

F2

F
n 
n
  

1 qi 
E  E1  E2      En   Ei  
r
2 i0
i 1
i 1 4π 0 ri
( 场强叠加原理 )
(3) 连续分布电荷的场强
dq
把带电体看作是由许多个电荷元
组成，然后利用场强叠加原理。
dV

r
任取体积元 dv
p

dE 

dE
根据 场强迭加原理



E p   dE 
(V i)
视为点电荷dq
1
4 0

(V)
dq 
r0
2
r
dq 
r0
2
4 0 r
1

1
E
40
dq 
r
2 0

r
(V )
体分布
dq = ρ dV
:
电荷体密度
面分布
dq  dS
:
电荷面密度
线分布
dq  dl
:
电荷线密度
分量式




E  E x i  E y j  Ez k
例8-1 设有一均匀带电直线段长度为L，总电荷量为q，
求其延长线上一点P电场强度．
P
d
解:
P
x
X
d
0

dE
dx
建坐标系, 在坐标为 x 处取一线元 dx, 视为点电荷,电量为:

dE  
dq  dx,   q
L


E   dE  
1
4π ε0

1
q

i
4π ε0 d (d  L)

d L
d
 dx 
x
2
i
1 dx 
i
2
4 π ε0 x

E
讨论
1) q > 0
q< 0

E沿x负方向

E沿x正方向

1
q
i
4 π ε0 d (d  L)
P
x
P
x

dE
２) 我们可以通过两种方法大致检查此题结果是否正确
Ａ 量纲方法

Ｂ 当 d L 时， E  
L
1
q 
i
2
4π ε 0 d
d

dE
例8-2 求:总电量为Q ，半径为R的均匀带电圆环轴线上的场强。
解：dl 视为点电荷dQ

r
R
dQ
dE 
4 o r 2

dE // x
x

dE 

Qdl
dQ  dl 
2 R

dE
由对称性分析:
xxQ
x dQ
L dQ
E//  L dE//  L cos

d
E
2 
3
r 4o r
4o r
 
E  E// 
xQ


i
4 o x  R
2
2

3
2
 

dE  dE//  dE
 

E  E //  E 
E   dE  0
L
讨论：

（1） x  0
E0

Q 
（2）R <<x E 
i
2
4 o x
例8-3
求总电量Q ,半径R 的均匀带电圆盘轴线上的场强。
解：平面视为许多同心圆环组成
r

dE x
x
当R
>>x

rdr
R
0

3
2
2QQr dr
dQ  2  22rdr
R R
dr
xQ
E
2 o R 2

4 o x 2  r 2
p
R

xdQi

dE 
x
2
r

3
2 2
 Q  i 
EE 
i

2
2

20 Ro

E

x
1 
2 
2 o R 
x2  R2
Q
无 限 大
带电平面场强

i


§8-3
高斯定理
(Gauss theorem)
一.电场线 (电力线 )(electric field
line )
1.电场线:电场线是用来形象描述场强分布的空间曲线,
2.规
定: A 电力线上每一点的切线方向为该点场强方向
B 对电场中任一点，通过垂直于该点场强方向
单位面积上的电力线条数等于该点场强的大小
dS

E
电力线
通过 dS 的电力线条数
d
E
dS
d  Eds
+
-
+
-
+
3.电力线的性质
1)电力线起始于正电荷(或无穷远处)，
终止于负电荷，不会在没有电荷处中断；
2)两条电力线不会相交；
3)电力线不会形成闭合曲线。
这些都是由静电场的基本性质和场的单值性决定的

E
电力线

E
匀强电场
二. 电通量 (electric flux) E

E
n
通过任一曲面的电力线条数
1. 均匀电场
S⊥
 
(A) E // n
Ψ E  ES
 
( B) E  n  
Ψ E  ES 
 ES cos 
 
面积矢量
Sn  S
 
ΨE  E  S
S⊥
S

n


E
2. 非均匀电场、任意曲面

n

面积元矢量 d s
大小:

n
ds
方向:


ds

E
把曲面分成许多个面积元
每一面元处视为匀强电场
 
dΨ E  E  ds
 E cos ds
Ψ E   dΨ E
s
 
Ψ E   E  dS
S
讨论
通过闭合面的电通量
ΨE 
S
 
E  dS
规定：面元ds方向由闭合面内指向面外
 
E  ds <0
 
E  ds >0
电力线穿入
电力线穿出
三. 高斯定理 (Gauss theorem)
高斯定理讨论的是:
封闭曲面的电通量与该曲面
内包围的电荷之间的关系
高 斯
（Carl Friedrich Gauss)
(1777~1855)
德国数学家和物理学家
1. 点电荷的情况
1) 通过以点电荷为球心,
半径为R的球面的电通量

E
q
4 0 R
2

r0

ds


ds  ds n

n

E
+q
 
dΨ E  E  d s  E cos ds
R


E与 d s 方向相同   0

 dΨ
E
 Eds
q
ds
Ψ E   dΨ E   Eds  
2
S
S
S 4 R
0
q
q
2

ds

4R
2 S
2
4 0 R
4 0 R

q
ΨE 
0

E
2) 点电荷不位于球面的中心
ΨE 
+q
q
0
3) 任意形状封闭曲面
ΨE 

E
q
+q
0
4) 点电荷位于封闭曲面外
ΨE  0
+q

E
2. 点电荷系的情况
q1
根据 场强迭加原理
 n 
E   Ei
i 1
ΨE  
s
q2
  n  
E dS    E i dS
i 1
n
n
i 1
i 1
 Ψ i  
qi
s
qi
0
 
Ψ E   E  ds   E cos ds 
S
qn
S
q
i
0
i内
3.
静电场的高斯定理（Gauss theorem）
在真空中的静电场内，通过任一闭合曲
面的电通量等于这闭合曲面所包围的电
荷量的代数和除以 ε0
 
ΨE   E  dS 
S
q
i内
i
0
静电场的高斯定理
讨论
qi内
  
Ψ E   E  dS  i
0
S

1.闭合面内、外电荷的对 E 都有贡献
 
对电通量  E  dS
的贡献有差别
S
只有闭合面内的电量对电通量有贡献
2.静电场----有源场
3.源于库仑定律 高于库仑定律
三、高斯定理的应用
 
ΨE   E  dS 
S
q
电荷的分布具有某种
对称性的情况下利用高

斯定理求解E 较为方便
i内
i
0
常见的电量分布的对称性
(均匀带电)
球对称
柱对称
面对称
球体
（无限长）
（无限大）
球面
柱体
平板
点电荷
柱面
平面
带电线
例8-4 求电量为Q 、半径为R的均匀带电球面的场强分布。
分析:
电荷分布具
有球对称性
电场分布具
有球对称性
dS

dE

dE 

dE
p
R
dS
dE  dE

dE

dE
解:
ΨE
 
  E  dS
S
1. 球面外
ΨE
(r>R)
 
  E  dS 
S
 EdS
S
r
 E  dS  E  4 r 2

n
S


 
Ψ E   E  dS 
q
S
Ψ E  E  4r 
2
i

E
i内
0
Q
0

E
Q
4 0 r
2
(r  R)
2.球面内(r<R)
 
Ψ E   E  dS   EdS
S
S
2
 E  dS  E  4 r
S
Ψ
Ψ
E
E
 
  E  dS 
i
S
E
i内
0
 E  4r 2  0
E  0

q
r
R
(r  R)
0 r  R
Q
r  R
2
4o r
E
r
0
R
例8-5 求：电量为Q 、半径为R 的均匀带电球体的场强分布
解： 选择高斯面——同心球面
1.球面外(r>R)
 
2
Ψ E   E  dS  E  4 r
S
 
Ψ E   E  dS 
q
i内
i
S

E
0
Q
4 0 r
2

0
(r  R)
2.球面内(r<R)
 
2
Ψ E   E  dS  E  4 r 
S
Q
q
i内
i
0

3
1
Q
1
Q
4

r
 
dV  

3
3
 0 (V ) 4R 3
 0 4R
3
3
1
    dV
 0 (V )

E
Qr
3 (r  R)
4 0 R
E 
Qr
4o R 3
Q
4 o r 2
r
r  R 
r  R
R
E
r
0
R
例8-6 求：电荷线密度为 的无限长均匀带电直线的场强分布
分析:
(a)过空间任意一点的电力线 都与带电直线垂直且相交
(b)到带电直线距离相等的各点的场强的大小相等
O
Q
P

E

n
解： 选择高斯面——同轴柱面
 
 
 
Ψ E   E  dS   E  ds   E  ds
侧
S


E // dS, 且同
侧面
一侧面上E 大小相等
l
上下底面


E  dS

n

E
R
Ψ E   Eds   E cos900 ds
侧
上下底面
 E  ds  0  E  2rl
侧

i qi内
  l
Ψ E   E  dS 
S
0
2 rlE 

l
o

E
2 o r

E
例8-7 求：电荷面密度为 的无限大均匀带电平面的场强分布。
分析:
解： 选择高斯面——与平面正交对称的柱面
底面
侧面


E
//
d
S


且 大小相等；
E  dS
 
 
 
Ψ E   E  d S  E  ds  E  ds
S

侧
 0  2 ES



n
q
i
i
0
 S

0
E 

2 o

上下底面
S

n

dS

E
§8-4
势
一
静电场的环路定理 电
静电力的功
静电场的环路定理
B
1. 静电力的功
1）点电荷的情况
 
 
元功：dA  F  dl  q0 E  dl
rB
 q0 Edl cos
已知 E 
1
q
4π 0 r 2
dr  cos dl
q0 q
dA 
dr
2
4 0 r
dr
q

dl
r

E
q0
rA

A
B
B
A
A
AAB   dA  

B
A
  B   B
F  d l  A q0 E  d l   q0 Ecosθ dl
A
1 q0 q
q0 q 1 1
dr 
( - )
2
4πε 0 r
4πε 0 rA rB
B
rB
结论：AAB 只与 q0 的起
点和终点位置有关而与
所经路径无关。
q
rA
A
q0
q2
2）点电荷系的情况
 
 
dA  F  dl  q0 E  dl
AAB 

B
A
B

q1
dA

Ei
 
  B
F  dl   q0 E  dl
A
i 1
n
A
i 1
AAB   q0 
rAi
A
q0

r
2 i0

E
qn
rAn

E1

E3

E2
B
40 ri
n
 
qB0 qi  1  1
( i  dl)
Ei  dl 
qo E
4Aπ ε0 rAi rB i
i 1
i 1
B
qi
rA3
rA2
rA1
qi

En
A
由场强的迭加原理:
n
n


E   Ei  
q3

试探电荷在任何静电场中移动时, 电场力所作的功只与试探
电荷的电量及路径的起点和终点的位置有关, 而与路径无关.
结论：
静电力------保守力;
静电场------保守力场
2. 静电场的环路定理
S1
B
S2
积分路径：由A-------B--------A 为闭合路径
A   dA 

 
q0 E  dl
 
F  dl
 0
 
q0  E  dl  0
q0
S1
A
S2
L
 q0  0
 
E

d
l

0

L
静电场的环路定理：
静电场中场强沿任意闭合环路的
线积分（环流）恒等于零。
二、电势能
电势
1、电势能
设WA 和 WB 分别表示试探电荷 q 0 在起点A和终点B处的电势能
AAB  W  (WB  WA )  WA  WB
AAB  
B
A

 
B 
F  dl  q0  E  dl
A
WB
A
若取B点: WB  0
q0
B
WA
 
AA"0"  WA  WB  WA  q0  E  dl
A
 
"0"
WA  AA"0"  q0 
E  dl
"0"
在 A 点处的电势能：
A
1）电势能零点的选取是任意的, 一般视问题方便而定, 通常参
考点不同,电势能不同。对于有限带电体，一般选无限远为势
能零点, 实际应用中或研究电路问题时常取大地、仪器外壳等
为势能零点；对于无限大带电体，常取有限远为势能零点；
2）电势能是属于系统的 (电场 + 试验电荷)
例8-8 在带电量为Q 的点电荷所产生的静电场中，电量为q 的

r
点电荷在a 点处的电势能。
解：

E
Q 
r
2 0
4 0 r
1

q
W  0
Wa  Aa  q 
 
E  dl

a
Q
选取合适的积分路径


dr  dl
Wa  Aa  q 

a


ra
 
E  dr
1 Qq
Q q
dr

4 0 r 2
4πε 0 ra
ra
2、电势
"0"
WA  q0 
A
 
E  dl

"0" 
WA
  E  dl
A
q0
定义A 点的电势VA：
注意：
比值与试探电荷无关, 反
映了电场在 A 点的性质.

"0" 
WA
VA 
  E  dl
A
q0
电势零点的选取是任意的：
1 对于有限带电体，一般选无限远为电势零点,
实际应用中或研究电路问题时常取大地、仪
器外壳等为电势零点；
2 对于无限大带电体，常取有限远为电势零点。
3
电势差（电压）
 
V12  V1 E
V2 dl
r2
r1

r2
q0
"0"

P2

r1
r1
  r"20"  
E  dl 
  E  dl
"r02"
把单位正电荷从 P1 处沿任意路
径移到 P2 处电场力做的功。
P1
A  q0 V1  V2 
把q0从P1处移到 P2 处电
场力做的功可表示为:
A
r2
r1

 
r 
q0 E  dl  q0 r E  dl  q0 V1  V2 
2
1
4 电势的计算
1) 点电荷电场中的电势
W  0
P
q
r
WP
AP
VP 

q0
q0





P
P


P


E  dl
q  
r0  dr
2
4 0 r
1 q
dr
4 0 r
+q
1
-q
2
q
VP 
4πε 0 r
电力线的方向指向
电势降落的方向
q0
2) 点电荷系电场中的电势
"0"
VP  
P
 
E  dl


Ei  dl
"0" n

P
n

i 1

i 1
"0"

P
场强-----迭加原理


Ei  dl
n
n
i 1
i 1
 VPi  
n
VP  VP i
i 1
qi
4πε 0 ri
电势-----迭加原理
连续分布的带电体系
dq
dVP 
dV

r
dq
4 0 r
p
dVP
电势-----迭加原理
VP   dVP  
Q
Q
dq
4 0 r
r  R 
0


Q
E
r  R 
2

4


r
0

例8-9 求：均匀带电球面 解：已知
的电场的电势分布.
设无限远处为零 电势，则电场中距离球心rP 的 P 点处电势为
VP  

r
1) rP  R
VP  
R


rP


rPp
 
EE
 dl dr
Q 
E  d2rdr 
4 o r
Q
4 0 rP
2) rP  R
VP  

rP
 
R 
   
E  dr   E  dr   E dr
rP
R
Q
  Qdr

  0  dr  
rP
R 4 r 2
4 0 R
0
R
例8-10
求：电荷线密度为 的无限长带电直线的电势分布。

E
2o r
解：
P0
V  
V
rr
 
E  dlr
分析: 选择某一定点为电势零点,
现在选距离线 a 米的P0点为电势0点。
a
r
 
V   E  dr
r
a

V 
 dr
r 2 r
0

llnnaa lnr 

20
r
P0
P0
均匀带电细棒，长 L ，电荷线密度  ，
求：沿线、距离一端 a 米处的电势。
例8-11
0
P
解：
a
x
dQ  λ dx
a
ddx
Q
dV 
4 0 x
V   dV  
a L
a
L


ln x
4 0
dx
4 0 x
a L
a
aL

lnlna  L  ln a

a
4 0
aL
x
§8-5
等势面
场强与电势的微分关系
一、等势面
电势相等的空间各点所组成的面
（1）沿等势面移动电荷，电场力不作功
A12  qV1  V2   0
（2）等势面处处与电力线正交
 
dA  qE  dl  qEdlcos


, q 0 E 0 d l 0 , E  dl
（3）等势面稠密处 —— 电场强度大
（当规定相邻两等势
面的电势差为定值）
等势面越密
电势变化越
快
电场强度大
二、 电势梯度
dV  0
dn  dl cos 
dV
dV

dn
dl

dn


E
P1
P2

en

dl
电势梯度
dV 
gradV 
en  V
dn
三、电场强度与电势梯度的关系

dV  dV 
E  E  
enEenegradV
n
dn dn
q0
电荷从 P1 处移到
P2 处电场力做的功
 
 
dA  F  dn  q0 E  dn  q0 E dn
dA  q0[V1  (V1  dV )]  q0dV
dV
E 
dn


 dl
dV  dl
dV
dV
El  E 

en 

cos  
dl
dn
dl
dn
dl
dV
Ex  
dx
dV
Ey  
dy
dV
Ez  
dz




E  Exi  E y j  Ez k
 V  V  V  
 
i
j
k 
y
z 
 x
例8-12
已知：总电量Q ；半径R 。
求： 均匀带电圆环轴线上的电势和场强的分布
dQ
R
0
解：1 轴线上P点的电势

r
1）方法一（电势叠加原理）
P
x
r R x
2
2
V 
x
dV 
dQ
4 0 r
1 dQ
dQ
V


4Q40
r 0r
Q

4 0 r
Q
4 0 R 2  x 2
2）方法二（定义）
o

E
x

X

E
R
V 

x


x

i
xQ

4 0 x  R
2
2

3
2
 
E  dl
Qx dx

40 R  x
2
2

3

2
Q
40 R  x
2
2
2 轴线上P点的场强
1）方法一（场强叠加原理）
Qd l
dQ 
2 R

r
R

dE 

dE //




dE  dE//  dE
dQ
dE 
40 r 2
x
 

E  E //  E 

dE
E    dE   0
L
xQ
E//  L dE// 
40 r 3
 
E  E// 
xQ


i
4 0 x  R
2
2

3
2
2）方法二（电场强度与电势梯度的关系）

 V  E
V
dQ
r
R
Q
4 o R  x
2
2
P
x
0
xQ
V

Ex  
3
2
2 2
x
4 0 x  R 
V
V
Ey  
0
Ez  
0
y
z




E  Ex i  E y j  Ez k 

xQ
4 0 x  R
2
2

3

i
2
x
第八章
真空中的静电场
Electrostatic
field
一、真空中的库仑定律 (Coulomd`s Law)
矢量形式:
F

F12 
q1 q2 
r0 ,
2
4  0 r
1 q 1 q2
4πε0 r 2
同种电荷:
q 1q2 > 0


F2 1  - F1 2
1
q1
q2

F1 2
q1
异种电荷:
q1q2 < 0

F2 1

r12

F1 2

r12
q2

F2 1
二、 电场
(Electric Field )


F
E 
q0
三、电场强度( Electric Field Strength )

 F
1 q 
E

r0
2
q0
4πε0 r
1 点电荷的场强
2 点电荷系的场强
n 
n
  

1 qi 
E  E1  E2      En   Ei  
r
2 i0
i 1
i 1 4πε0 ri
( 场强叠加原理 )
3 连续分布电荷的场强



E   dE 
(Vi)

dE 
1
4 0
dq 
r0
2
4 0 r

(V)
1
dq 
r0
2
r
四.
静电场的高斯定理（Gauss theorem）
电通量 (electric flux) E
 
Ψ E   E  dS
S
 
ΨE   E  dS 
S
q
i内
i
0
五. 静电场的环路定理
 
 E  dl  0
静电场中场强沿任意闭合环路的
线积分（环流）恒等于零。
L
六、电势能
电势
"0"
 
E  dl
1、电势能
WA  AA"0"  q0 
2、电势

"0" 
WA
VA 
  E  dl
A
q0
A
电势零点的选取是任意的：
1 对于有限带电体，一般选无限远为电势零点,
实际应用中或研究电路问题时常取大地、仪
器外壳等为电势零点；
2 对于无限大带电体，常取有限远为电势零点。
3 电势差（电压）
V12  V1  V2  
r2
r1
 
E  dl
把q0从P1处移到 P2 处电场力做的功可表示为:
A
r2
r1

 
r 
q0 E  dl  q0 r E  dl  q0 V1  V2 
2
1
A  q0 V1  V2 
4 电势的计算
( 1 ) 点电荷电场中的电势
( 2 ) 点电荷系电场中的电势
电势-----迭加原理
q
VP 
4πε 0 r
n
VP  VP i
i 1
（3）连续分布的带电体系
VP 

Q
dVP 

Q
dq
4 0 r
七、电场强度与电势梯度的关系
dV
Ex  
dx
dV
Ey  
dy
dV
Ez  
dz




 V  V  V  
E  Ex i  E y j  Ez k    i 
j  k 
y
z 
 x
计算电势的方法
1、点电荷场的电势及叠加原理
V 
i
V 
Q
qi
（分立）
4 0 ri
dq
4 0 r
2、根据电势的定义
"0"
Vp  
p
（连续）

E V
 
E  dl
计算场强的方法
1、点电荷场的场强及叠加原理


qi r0
E
2
4

r
i
0 i
（分立）

E
dq  （连续）
r0
2
Q 4 r
0
2、

 V  E

V E
V

 Ex
x