Transcript 第五章静电场

用电场强度描述 矢量场
静电场
用电势描述
标量场
矢量场的描述
场线 （图形描述）
通量 （有源场）
环流 （无旋场、保守场）
标量场的描述
等势面 （图形描述）
梯度
（标量场的场量在空间各点只有大小，没有方向）
通量的概念：
v
矢量场对曲面积分。
 e   v  dS   v  ndS
S
S
以流体的速度场为例，通量给出单位时间内流向曲
面指定侧的流量。
 e   v  dS   v  ndS   v cos  dS  v cos  A  体积
S
S
S
环流的概念：
矢量场对闭合路径积分。
 v  dl   v  dl
l
v dl
l
说明：路径的方向规定为该点的切线方向。
对矢量场定义，反映涡旋性质。
以流体中速度场 v 为例，设水中某处有漩涡，取闭合
曲线L，
 v  dl   vdl  v2 R  0
L
L
当R一定时，v越大则环流越大，旋转得越厉害。
5-4
环路定理
电势
一．静电力是保守力
电场力做功 ——与路径无关，保守力
 
 
dA  F  dl  q0 E  dl  q0 E cosdl
其中
则
rb
b
cosdl  dr
rb
dr
dA  q0 Edr
qq0 1 1
Aab   qo
dr 
(  )
2
4 0 r
4 0 ra rb
ra
r  dr
q
q
r
ra
a
c 
dl
c

E

二．静电场的环流：
1.数学定义：电场强度对闭合路径积分，
 E  dl
l
2.物理意义：将单位正电荷沿闭合路径移动一周电场力做的功。
A   q0 E dl  q0  E dl
L
L
因为静电场力是保守力，所以其沿任一闭合路径所作的功为零。
A   q0 E  dl  0
 
 q0  0   E  dl  0
在静电场中，电场强度沿任意闭合路径的环流恒
为零。
——静电场的环路定理
通量
环流
静电场的两个定理：高斯定理和环路定理
两个基本性质：有源保守场（无旋场）
从电场线来看：
起于正电荷、止于负电荷，不中断
电场线不闭合
如果电场线是闭合曲线，取电场线作为积分回路，得

 E  dl  0
E dl
这与静电场环路定理相矛盾，说明电场线不可能闭合。
三、电势能 （因为静电场力是保守力，可以引入势函数）
保守力的功 = 相应势能的减少
所以
静电力的功 = 静电势能增量的负值
a点电势能 Wa
试验电荷q0 处于
a
W
b点电势能
b
b


则ab电场力的功 Aab  q0  E  dl  Wa  Wb
b
取 W  0
Wa  Aa

a


  q0 E  dl
a
意义：某处的势能等于把它从该处移到零势能点保守力所作的功。

注意 Wa属于q0及 E 系统，是二者的相互作用能。

四、电势 电势差


Wa   q0 E  dl



Wa
  E  dl
定义电势 ua 
q0
a
单位正电荷在该点
所具有的电势能
a
单位正电荷从该点到无穷远
点(电势零)电场力所作的功
电势是电场的性质，不再是检验电荷与电场共同的性质。
定义电势差 ua  ub 电场中任意两点 的
电势之差（电压）

     b  
uab  ua  ub   E  dl   E  dl   E  dl
a
b
a
a、b两点的电势差等于将单位正电荷从a点移到b
时，电场力所做的功。
几种常见的电势差（单位：V）
生物电
10-3
普通干电池
1.5
汽车电源
12
家用电源
110～220
高压输电线
2.2×105～5.5×105
发电机（3×104kW） 1.3×104
闪电
108~109
b
ua  ub   E  dl  0
a
ua  ub
b
a
电势沿电场线单调减小。
电场线的方向总是由高电势指向低电势。
点电荷的电势
正电荷
负电荷
ua<0
+
ua>0
将电荷q0从ab电场力的功


Aab  Wa  Wb  q0  E  dl  q0 ( ua  ub )
b
a
注意
1、电势与电势能都是相对量，与零点的选择有关。
2、零点的选择是任意的。
3、两点间的电势差与电势零点选择无关。
静电场----相对于观察者静止的电荷产生的电场
两个物理量：
电场强度、电势；
一个基本规律：库仑定律；
两个基本定理：高斯定理、环路定理
静电场中导体的性质
静电场中电介质的性质
静电场的能量
五、电势的计算
1、点电荷电场中的电势

如图 P点的场强为 E 
 q
r0
q
4 0 r 2
 
 
由电势定义得 uP   E  dl  
P
r

r0
r
q
4 0 r
P
2
dr 
q
4 0 r
讨论
大小
q  0 u  0 r  u  r   u最小
q  0 u  0 r  u  r   u最大
对称性 以q为球心的同一球面上的点电势相等
2、电势叠加原理
若场源为q1 、q2 qn的点电荷系，其场强满足叠加原理
场强
 


E  E1  E 2  .......  E n


   


电势 u   E  dl   ( E1  E 2    E n )  dl
P

P

P
P







  E1  dl   E 2  dl  .......   E n  dl
P
n
 u1  u2  ......  un   ui
i 1
点电荷系激发的电场中，某场点的电势等于各点电
荷单独存在时在该点电势的代数和. （电势是标量）
u   ui  
点电荷系的电势
连续带电体的电势
u   du  
qi
4 0 ri
dq
4 0 r
电势计算的两种方法：
根据已知的场强分布，按定义计算



uP   E  dl
P
由点电荷电势公式，利用电势叠加原理计算
Y
例1、求均匀带电圆环轴线
上的电势分布。已知：R、q
解:方法一 微元法
du 
dq
4 0 r
dl



R

O





r
x

P
X
方法二 定义法
Z
dl
由电场强度的分布

4 0 r
qx
E
2R
3
dl
2R
2
2 2
4 0 ( x  R )
uP   du  

4 0 r 4 0 r


0
qxdx
u   Edx  
3
q
2
2
xp
x p 4 ( x  R ) 2

0
2
2
4 0 R  x
例2、求均匀带电球面的电势分布，已知R，q
q
解： 由高斯定理求出场强分布 E 


由定义 u   E  dl

rR
R
    
u   E  dl   E  dl
r
 0 

q
4 0 r
q

4 0 R
2
dr
R
O
R

rR
0
rR
P
rR
4 0 r 2
u
r
R

q
4 0 r 2
q
4 0 r
dr
P
r
作业：14，16