Transcript 第五章静电场

电场  客观存在、特殊物质
基本知识点
电场强度  E=F/q  特例E=kQ/r2
电场的叠加  矢量运算
场的概念
•一般意义的场：温度场
，速度场
指某种物理量在空间的一种分布。
•物理中的场：
a) 场是物质，是物质的一种特殊形态。具有能量、
动量、角动量，无静止质量，可以叠加，可转化
为实物粒子。比如，引力场，电磁场。
b) 传递相互作用。
场的描述
标量场的梯度
矢量场的通量 ——研究场与源的关系
矢量场的环流 ——研究场的涡旋性质
矢量场的场线
静电场——源电荷静止且电量不随时间改变时产生
的电场。
静电力的传递者。
描述电场的场量：
E  x, y, z 
矢量场
静电场的性质：
静电场的通量（电通量）
静电场的环流
静电场的场线（电场线）
有源场
无旋场
一、电场线
假想的线，使电场强度形象化。
切向代表场强方向，
密度代表场强大小。
E
dN
dS
常见的几种电场线图

E
dS

E
点电荷的电场线
负电荷
正电荷
+
一对等量异号电荷的电场线
+
一对等量正点电荷的电场线
+
+
一对异号不等量点电荷的电场线
+
2q
q
带电平行板电容器的电场线
++ ++ + + + + +
静电场电场线特性：
1、不闭合，起于正电荷或无穷远处，止于负电荷
或无穷远处；
2、在没有电荷的空间，不相交，不中断。
二、电通量
通过电场中某一面的电场线数称为通过该面的电通量。
用e表示。
均匀电场
S与场强方向垂直
均匀电场，S 法线方向与
场强方向成角
S

E
 e  ES
S



n

E
 
e  ES cos  E  S
注：一个曲面的方向是由它的法线
方向定义的，可以指向两侧。
电场不均匀，S为任意曲面
d e  EdS  EdS cos 
 
 E  dS
 e   d e   E cos dS
S
S


 
  E  dS   E  ndS
S
S
S为任意闭合曲面
e 
 E cosdS  
S


E  dS
S
规定：闭合曲面的正方向是
由内向外。
三、高斯定理

 dS
(1)场源电荷为点电荷且在闭合曲面内
e 



E  dS

S
q

S


E

4 0 r
2
q
S
4 0 r
2
q
4 0 r
2


r0  dS
dS 
q
q
4 0 r
 4r
2

2
 dS
S
+
r
q
0
与球面半径无关，即以点电荷q为中心的任一球面，
不论半径大小如何，通过球面的电通量都相等。
讨论：
a.
q  0  e  0
q  0  e  0
电量为q的正电荷有q/0条电
力线由它发出伸向无穷远
电量为q的负电荷有q/0
条电力线终止于它
b、若q不位于球面中心，
积分值不变。
+q
c、若封闭面不是球面，
积分值不变。


q
 E  dS 
s
0
(2) 场源电荷为点电荷，但在闭合曲面外。
+q
因为有几条电力线进面内必然有同样数目的电力线
从面内出来。
e  0 


 E  dS  0
s
(3) 场源电荷为点电荷系(或电荷连续分布的带电体)，
对任意闭合曲面




E  E1  E2    En
e 

q2


E  dS
q1
S






  E1  dS   E 2  dS          E n  dS
s
S
s
  e 1   e 2     en 
 000
q4

0
e 

q5
n

i 1
0


1
E  dS 
S
ei
0
q
内
q3
q4
q5
+
+
通过闭合面的电通量等于电场线数目相加。
+
通过闭合面的电通量等于电场线数目相减。
真空中的高斯定理
在真空中的任意静电场中，通过任一闭合曲
面S的电通量e ,等于该闭合曲面所包围的电荷电
量的代数和除以0 ，与闭合曲面外的电荷无关。
 
1
 e   E  dS 
s
0
q
i
高斯定理的理解
整个闭合面的电通量不变
1.在闭合面内，若电
荷的代数和不变，则
电荷分布的变化影响各点场
强的变化
2.在闭合面外的电荷分布，会影响闭合面上的场强
的大小和方向，但不改变通过闭合面的电通量。
 
1
 e   E  dS 
s
0
q
i
面内电荷
包括了面内电荷和面外电荷的贡献
2.

qi  0  e  0
表明电力线从正电荷发出，穿出闭合曲面,
所以正电荷是静电场的源头。
静
电
 qi  0  e  0
场
是
表明有电力线穿入闭合曲面而终止于负电荷， 有
源
所以负电荷是静电场的尾。
场
q
i
 0  e  0
表明穿入=穿出，电场线不会中断，体现了电
场线的连续性。
通量的概念：
v
矢量场对曲面积分。
 e   v  dS   v  ndS
S
S
以流体的速度场为例，通量给出单位时间内流向曲
面指定侧的流量。
 e   v  dS   v  ndS   v cos  dS  v cos  A  体积
S
S
S
库仑定律 vs. 高斯定理
是用不同形式表示的电场与源电荷关系的同一客观规律。
E
1
q
4 0 r
2
r0
 
1
 e   E  dS 
s
0
q
i
高斯（Carl Friedrich Gauss 1777~1855）
德国著名数学家、物理学家和天文学家。高
斯在数学上的建树颇丰，有“数学王子”美
称。
高斯长期从事数学研究，并将数学应用于物
理学、天文学和大地测量学等领域。
高斯分布（标准正态分布）
当他16岁时，预测在欧氏几何之外必然会产
生一门完全不同的几何学。相对论证明了宇
宙空间实际上是非欧几何的空间。
1840年他和韦伯画出了世界第一张地球磁场
图，而且定出了地球磁南极和磁北极的位置
，并于次年得到美国科学家的证实。今天，
我们仍用“高斯”作为磁场强度的单位。
高斯的肖像已经被印在从1989年至2001年流
通的德国马克的纸币上。
四、高斯定理的应用
 
1
 e   E  dS 
s
0
q
当场源分布具有高度对称性时求场强分布
步骤：

1.对称性分析，确定 E 的大小及方向分布特征
2.作高斯面，计算电通量及  qi
3.利用高斯定理求解
i
例1. 均匀带电球面的电场。已知R、 q>0

解: 对称性分析 E 沿径向
作高斯面——球面
rR
e 
 E  dS  E  dS  E 4 r
s
 qi  q
E
E 4 r  q  0
2
q
4 0 r
2
dq
2
O
dq’
P
rR
电通量
e 
dq
 E  dS
 E  dS  E 4 r
2
s
电量
q
i
0
用高斯定理求解
E 4 r  0
2
E  0
O
P
dq’
E
1
q
4 0 R
r
2
2
O
R
r
例2 无限长均匀带电直线的电场强度，设电荷线密度为 
解 对称性分析：场强沿柱坐标的径向
选取闭合的柱型高斯面
 
SE  dS   
 
 E  dS   E  dS   E  dS
s ( 柱面）

s ( 上底）
 
h
 E  dS 
0
s ( 柱面）
2 π rhE 
E
z
n
+
s (下底）
+
h
+
h
r +o
0
+

2π  r

E
x
y
例3. 均匀带电无限大平面的电场，已知电荷面密度为

解: E垂直于平面
 
 e   E  dS 
 
 E  dS 
 
 E  dS 
S1
S2
 ES1  ES2  0 
2 ES 
1
0
E 
高斯面:柱面
S

2 0
1
0
 
 E  dS
高
斯
面S
S侧
S

E
S2
S侧
σ
S1

E
作业：5，6，7