静电场和刚体部分2 - 大学物理::首页
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Transcript 静电场和刚体部分2 - 大学物理::首页
第6章
一
静电场
库仑定律
二. 电场力的叠加
三. 电场强度、电场强度的叠加原理
四.电通量
五.高斯定理 及应用
六.静电场的环路定理、.电势能
七. 电势、电势叠加原理、电势差及计算
§ 电荷
库仑定律
一.电荷
1. 正负性
2. 量子性
Q ne
e (1.602 189 2 0.000 004 6) 10
盖尔—曼提出夸克模型 :
1
e
3
2
3
19
C
e
3. 守恒性
在一个孤立系统中总电荷量是不变的。即在任何时刻系统
中的正电荷与负电荷的代数和保持不变，这称为电荷守恒
定律。
4. 相对论不变性
电荷的电量与它的运动状态无关
二. 库仑定律
q2
q1
F12
k
0
1
4 0
r
r12
真空中的电容率（介电常数）
0 8.854 187 82 10
F
q1q2 0
r
2
4 0 r
1
(1) 库仑定律适用于真空中的点电荷；
(2) 库仑力满足牛顿第三定律；
(3) 一般 F电 F万
12
F/m
三. 电场力的叠加
对n个点电荷：
F F1 F2 ...... Fn
Fi
i
i
r1
q0dq 0
F Q
r
2
4 0 r
q3
f1
q0 qi
ri 0
2
4 0 ri
1
对电荷连续分布的带电体
q0dq 0
dF
r
2
4 0 r
q1
q2
r2
f2
dF
r
Q
dq
q0
例 已知两杆电荷线密度为，长度为L，相距L
求 两带电直杆间的电场力。
解 dq dx
dq dx
dF
dq
dq
x
O
2L x
L
dxdx
4 0 ( x x)
3L
F dx
2L
L
0
2
dx
2
4 0 ( x x)
2
2
4 0
ln
4
3
3L
x
定义： 电场中某点的电场强度的大小等于单
位电荷在该点受力的大小，其方向为
正电荷在该点受力的方向。
E
F
q0
三. 电场强度叠加原理
点电荷的电场
F
E
qq0 0
r
2
4 0 r
1
点电荷系的电场
E
Fk
k
q0
F
q 0
r
2
q0 4 0 r
1
Ek
k
k
qk 0
r
2 k
4 0 rk
1
点电荷系在某点P 产生的电场强度等于各点电荷单独在该
点产生的电场强度的矢量和。这称为电场强度叠加原理。
连续分布带电体
E
dl
dq
dE
dq
4 0 r
dE
dq 0
r
2
4 0 r
0
r
2
（线分布 ）
dS
（面分布）
dV
（体分布）
1
r
dq
: 线密度
: 面密度
: 体密度
P
例 长为L的均匀带电直杆，电荷线密度为
求 它在空间一点P产生的电场强度（P点到杆的垂直距离为a)
解 dq dx
dE
dEx dE cos
1
dx
4 0 r
y
dE y
2
dE y dE sin
P
由图上的几何关系
r
1
x a tan(θ ) acot θ
2
dx a csc θ dθ
2
dEx
4 0 a
cos d
dE
dE x
a
2
dq O
x
r a x a csc
2
2
dE y
2
4 0 a
2
2
sin d
Ex dEx
θ2
4 0 a
θ1
E y dE y
θ2
θ1
cosθ dθ
4 0 a
sin θ dθ
4 0 a
4 0 a
(sin θ 2 sin θ 1 )
(cosθ 1 cosθ 2 )
讨论
(1) a >> L
Ex 0
杆可以看成点电荷
Ey
λ L
4 0 a
P
2
(2) 无限长直导线
θ1 0
Ex 0
θ2
Ey
1
λ
2ε 0 a
dE
y
dE y
r
dEx
a
dq O
2
x
例 半径为R 的均匀带电细圆环，带电量为q
求 圆环轴线上任一点P 的电场强度
1 dq 0
解 dq dl
dE
r
2
4 0 r
1 dq 0
E dE
r
2
4 0 r
Ex
4 0
cosθ
x
r
dq
r
2
dEx
P
cosθ
1
4 0 r
r (R x )
2
cosθ
2 1/ 2
2
dq
E
r
R
O
dq
E 0
圆环上电荷分布关于x 轴对称
1
x
dEx dE cosθ
dE dE sin θ
dE
dE
1
q
4 0 r
1
2
cosθ
qx
4 0 ( R x )
2
2 3/ 2
讨论
x
(1) 当 x = 0（即P点在圆环中心处）时，
P
E0
(2) 当 x>>R 时
E
1
4 0 x
r
q
2
可以把带电圆环视为一个点电荷
R
dq
O
例 面密度为 的圆板在轴线上任一点的电场强度
解
dq 2rdr
1
dE
2
x
2 3/ 2
P
rdr
2 0 (r x )
2
E dE
E
dE
xdq
4 0 (r x )
x
2 0
2 3/ 2
x
rdr
R
2 0 0 (r x )
[1
2
2 3/ 2
x
]
2
2 1/ 2
(R x )
[1 2
]i
2
2 1/ 2
2 0 R
(R x )
q
x
r
O
R
dr
讨论
(1) 当R >> x ，圆板可视为无限大薄板
E
2 0
EI E1 E2 0
(2)
EII E1 E2
E1
E1
E1
E2
E2
E2
0
x
EIII E1 E2 0
p
(3) 补偿法
E ER 2 ER1
x
[
1
2 0 ( R x )
2
1
2
]i
2 1/ 2
( R2 x )
1
2 1/ 2
O
R1
R2
例 已知圆环带电量为q ，杆的线密度为 ，长为L
求 杆对圆环的作用力
解
R
q
dq λ dx
L
dq
圆环在 dq 处产生的电场
1
Ex
O
Ex
qx
4 0 ( R x )
2
2 3/ 2
dF Ex dq Exλ dx
F
L
0
qλ xdx
4 0 ( R x )
2
2 32
qλ
(
1
4 0 R
1
R L
2
2
)
x
§
电通量
高斯定理
EA
一.电场线（电力线）
电场线的特点:
(1) 由正电荷指向负电荷
或无穷远处
(2) 反映电场强度的分布
电场线上每一点的
切线方向反映该点
的场强方向 ,电场
线的疏密反映场强
大小。
E
dN
dS
+q
A
-q
(3) 电场线是非闭合曲线
(4) 电场线不相交
二.电通量
在电场中穿过任意曲面S 的电场线条数称为穿过该面的电通
量。
En
e
E
1. 均匀场中
n
d e En dS E cos dS
E
EdS
dS
dS
定义 dS dSn
d e E dS
n
2. 非均匀场中
dS
d e E dS
e d e E dS
S
E
E
对闭合曲面
e d e E dS
S
讨论
(1) S 方向的规定：
非闭合曲面
闭合曲面
0 θ
(2) 电通量是代数量
2
凸为正，凹为负
向外为正，向内为负
2
θ
d e
为正
d e
为负
三.高斯定理
e E dS
S
0
q
0
q
+q
以点电荷为例建立e——q 关系:
-q
取球对称闭合曲面
e E dS E dS
S
S
1
q
4 0 r
2
4r
2
取任意闭合曲面时
1
q
e E dS
S
1
0
q
+q
0
结论: e 与曲面的形状及 q 在曲面内的位置无关。
q 在曲面外时：
e e1 e 2 0
+q
当存在多个电荷时：
E E1 E2 ... E5
S1
S2
S
e E dS ( E1 E2 ... E5 ) dS
E1 dS E2 dS ... E5 dS
q1
0
q2
0
q3
q1
q2
q3
0
q4
结论: E 是所有电荷产生的，e 只与内部电荷有关。
q5
高斯定理
1
e E dS
S
0
1
e E dS
S
0
qi (内)
（不连续分布的源电荷）
i
V dV
（连续分布的源电荷）
真空中的任何静电场中，穿过任一闭合曲面的电通量，在
数值上等于该曲面内包围的电量的代数和乘以 1 0
意义
反映静电场的性质—— 有源场
四. 用高斯定理求特殊带电体的电场强度
例 均匀带电球面，总电量为Q，半径为R
求 电场强度分布
P
解 对球面外一点P :
+
+R
取过场点 P 的同心球面为高斯面
2
E
d
S
E
d
S
Ed
S
E
4
r
S
S
+
Q +
S
根据高斯定理
E 4r
rR
qi
i
0
qi Q
i
E
E
qi
i
4 0 r
2
Q
4 0 r
2
r
+
+
E
dS
+
+ R
对球面内一点:
rR
qi 0
+
+
+
+
E
i
E=0
E
E0
O
1
r
2
r
电场分布曲线
例 已知球体半径为R，带电量为q（电荷体密度为）
求 均匀带电球体的电场强度分布
解 球外 (r R)
r
3
+ +
1 q 0
R 0
E
r
r
R
2
2
4 0 r
3 0 r
r' + +
球内( r R )
1 4
1
3
2
r q '
E
4
r
E
d
S
S
0 3
0
E
3 0
r
E
O
r
R 电场分布曲线
例 已知“无限大”均匀带电平面上电荷面密度为
求 电场强度分布
E
解 电场强度分布具有面对称性
选取一个圆柱形高斯面
e E dS
n
E
n
n
S
侧 E dS 左底 E dS 右底 E dS
0 ES ES 2 ES
Ex
根据高斯定理有
2 ES
1
0
S
E
2 0
O
x
例 已知“无限长”均匀带电直线的电荷线密度为+
求 距直线r 处一点P 的电场强度
dS
解 电场分布具有轴对称性
过P点作一个以带电直线为轴，
以l 为高的圆柱形闭合曲面S 作
为高斯面
e E dS
S
r
P
E
dS
侧 E dS 上底 E dS 下底 E dS
侧 EdS E 侧 dS E 2r l
根据高斯定理得
E
l
E 2r l
E
1
0
l
E
2 0 r
电场分布曲线
总结
O
用高斯定理求电场强度的步骤：
(1) 分析电荷对称性；
(2) 根据对称性取高斯面；
高斯面必须是闭合曲面
高斯面必须通过所求的点
高斯面的选取使通过该面的电通量易于计算
(3) 根据高斯定理求电场强度。
r
§ 静电场的环路定理
电势能
一.静电力作功的特点
• 单个点电荷产生的电场中
b
A F dl
b
rb
dl
a( L)
q0 E dl
b
a( L)
b
a( L)
O
r
q
ra
a
q0 E dl cos
qq0
4 0
rb
r
a
1
r
2
dr
qq0
(
1
4 0 ra
q0
1
rb
)
L dr
(与路径无关)
E
• 任意带电体系产生的电场中
电荷系q1、q2、…的电场中，移动q0，有
b
b
Aab F dl q0 E dl
a( L)
a( L)
q0 ( Ei ) dl
n
b
a( L)
n
i 1
i 1
i
b
•
b
a( L)
q0 Ei dl
qi q0
(
1
4 0 rai
1
L
a
•
q2
q1
qi
qn 1
qn
)
rbi
结论
电场力作功只与始末位置有关，与路径无关，所以静电力
是保守力，静电场是保守力场。
二.静电场的环路定理
在静电场中，沿闭合路径移动q0，电场力作功
Aab F dl q0 E dl
b
a ( L1 )
b
a ( L1 )
a
q0 E dl
b ( L2 )
b
q0 E dl
a ( L2 )
q0 E dl
q0 E dl
0
E dl 0
L
环路定理
b
L1
L2
a
(2) 环路定理要求电力线不能闭合。
(3) 静电场是有源、无旋场，可引进电势能。
三. 电势能
• 电势能的差
力学
静电场
保守力场
保守场
引入势能
引入静电势能
定义：q0 在电场中a、b 两点电势能
之差等于把 q0 自 a 点移至 b 点过程
中电场力所作的功。
Aab
b
a
b
q0 E dl Wa Wb
E
q0
a
• 电势能
取势能零点
W“0” = 0
q0 在电场中某点 a 的电势能：
"0"
Wa Aa"0"
a
q0 E dl
说明
(1) 电势能应属于 q0 和产生电场的源电荷系统共有。
(2) 电荷在某点电势能的值与零点选取有关,而两点的差值与
零点选取无关
(3) 选势能零点原则：
• 当(源)电荷分布在有限范围内时，势能零点一般选在
无穷远处。
• 无限大带电体，势能零点一般选在有限远处一点。
• 实际应用中取大地、仪器外壳等为势能零点。
例 如图所示, 在带电量为 Q 的点电荷所产生的静电场中，有
一带电量为q 的点电荷
求 q 在a 点和 b 点的电势能
b
解 选无穷远为电势能零点
qQ
Wa qE dl
a
4 0 ra
Wb
b
qE dl
Q
c
q
qQ
4 0 rb
a
qQ 1 1
Wa qE dl
( )
选 C 点为电势能零点
a
4 0 ra rc
c
qQ 1 1
Wb qE dl
( )
b
4 0 rb rc
b
qQ 1 1
两点的电势能差： Wa Wb qE dl
( )
a
4 0 ra rb
c
§ 电势
电势差
一. 电势
单位正电荷自ab 过
程中电场力作的功。
• 电势差
uab
Wa
q0
Wb
q0
Aab
q0
b
E dl
a
• 电势定义
ua
Wa
q0
• 点电荷的电势
ua E dl
a
ua
Aa"0"
q0
"0"
E dl
单位正电荷自
该点“势能
零点”过程中
电场力作的功。
a
q
r
E
1 0
r
2
4 0 r
q
0
dl dr r
a
dl
q
ua
4 0
r
dr
r
2
q
4 0 r
二. 电势叠加原理
q1
• 点电荷系的电势
u p E dl
p
( E1 E2 ) dl
r1
q1
4 0 r1
q1
4 0 r1
对n 个点电荷
2
q2
4 0 r2
n
u
i 1
P
r2
q2
p
E2
E1
r1
qi
4 0 ri
dr
r2
q2
4 0 r2
2
dr
在点电荷系产生的电场中，某点的电势是各个点电荷单独存
在时，在该点产生的电势的代数和。这称为电势叠加原理。
对连续分布的带电体
u
Q
dq
4 0 r
三.电势的计算
（1） 已知电荷分布 u
Q
方法
dq
4 0 r
（2） 已知场强分布 u p
"0"
p
E dl
例 均匀带电圆环半径为R，电荷线密度为。
求 圆环轴线上一点的电势
解 建立如图坐标系，选取电荷元 dq
dq dl
du
dq
4 0 r
up
2 R
0
dq
r
R
dl
4 0 R x
2
dl
4 0 R x
2
2
O
2
P
2R
4 0 R x
2
2
x
例 半径为R ，带电量为q 的均匀带电球体
求 带电球体的电势分布
解 根据高斯定律可得：
r R
E1
r R
E2
对球外一点P
qr
4 0 R
q
4 0 r
u外
p
对球内一点P1
u内 E dr
p1
R
r
+ P1
+
+
R
+
+ +
r
P
3
2
q
qdr
E2 dr
2
r 4 r
4 0 r
0
E1dr E2dr
R
q
8 0 R
(3R r )
3
2
2
§ 静电场中的导体
一. 导体的静电平衡
1. 静电平衡
导体内部和表面上任何一部分都没有宏观电荷运动，我们就
说导体处于静电平衡状态。
2. 导体静电平衡的条件
E内 0
E 表面 导体表面
E内 0
3. 静电平衡导体的电势
导体静电平衡时，导体上
各点电势相等，即导体是
等势体，表面是等势面。
U a Ub
b
a
E dl 0
二.导体上电荷的分布
由导体的静电平衡条件和静电场的基本
性质，可以得出导体上的电荷分布。
1. 静电平衡导体的内部处处不带电
证明：在导体内任取体积元 dV
由高斯定理
E dS 0
E 0
- dV
--+q- --- - - ----
qi V dV 0
s
i
体积元任取
导体中各处 0
如果有空腔且空腔中无电荷,可证明电荷只分布在外表面。
如果有空腔且空腔中有电荷,则在内外表面都有电荷分布，
内表面电荷与 q 等值异号。
2. 静电平衡导体表面附近的电场强度与导体表面电荷的关系
设导体表面电荷面密度为 ( x, y, z )
P 是导体外紧靠导体表面的一点,相应的
电场强度为 E ( x, y, z )
表
根据高斯定理:
E dS E表 dS
dS
S
E表
0
E
P
+
+
+
n
ds
+
E dS
+
S dS
dS
0
E表
n
0
+
+
E0
+
+
ds
E
3. 处于静电平衡的孤立带电导体电荷分布
由实验可得以下定性的结论：
B
A
孤立
导体
孤导
立体
带球
电
C
A B C
1
R
+
++ ++
+
+
+
+
+
+
+
+
++ + +
++
c
在表面凸出的尖锐部分电荷面密度较大，在比较平坦部分电
荷面密度较小，在表面凹进部分带电面密度最小。
4. 静电屏蔽(腔内、腔外的场互不影响)
导体
腔外
外表面
腔内
内表面
例 如图所示,导体球附近有一点电荷q 。
求 接地后导体上感应电荷的电量
解 设感应电量为Q
Q
q
0
？
U 0
接地 即
l
R
o
q
由导体是个等势体
O点的电势为0 则
Q
4 0 R
q
4 0l
0
Q
R
l
q
例 两球半径分别为R1、R2，带电量q1、q2，设两球相距很远，
当用导线将彼此连接时，电荷将如何 分布？
R1
解 设用导线连接后，两球带
电量为 q q
1
2
q1 q2 q1 q2
u1
u2
思考
R2
q2
q1
q1
4ε 0 R1
q2
u1 u2
2
σ 1 4R1
σ 2 4R2
2
4ε 0 R2
如果两球相距较近，结果怎样？
R1
σ1
R2
σ2
R2
R1
例 已知导体球壳 A 带电量为Q ，导体球 B 带电量为q
求 系统的电荷、电场和电势的分布；
解
在A 内作高斯面，由高斯定理有 q + q’=0 , 即 q’ = -q.
外表面电荷设为 Q ,由电荷守恒
Q ' q ' Q
Q A Q ' Qq
r RB
R B r R1
R1 r R 2
r R2
E0
q
E
e
2 r
4 0 r
E0
qQ
E
e
2 r
4 0 r
r
A
-q B
Q
R1
R2
r RB
R B r R1
R1 r R 2
r R2
U
U
U
q
4 0 r0
q
4 0 r
q
4 0 R1
q
4 0 R1
qQ
4 0 R2
Qq
4 0 R2
Qq
4 0 R2
U
r
A
q
B
R1
Qq
Q
4 0 r
R2
总结 (有导体存在时静电场的计算方法)
1. 静电平衡的条件和性质:
2. 电荷守恒定律
3. 确定电荷分布,然后求解
E内 0
U 导体 C
三.导体的电容
电容器
1. 孤立导体的电容
孤立导体的电势
C
Q↑
uQ
Q
孤立导体的电容
u
单位:法拉( F )
u↑
+
E
+ +
+
+ +
+
+
++
+
+
+
求半径为R 的孤立导体球的电容.
Q
电势为
u
电容为
C 4 0 R
4 0 R
电容只与导体的几何因素和介
质有关，与导体是否带电无关
+
R
++
2. 电容器的电容
通常，由彼此绝缘相距很
近的两导体构成电容器。
使两导体极板带电 Q
两导体极板的电势差
u Q
极板
电容器的电容
C
+Q
-Q
Q
u
极板
u
电容器电容的大小取决于极板的形状、大小、相对位置以及
极板间介质。
电容器电容的计算
E
Q
C
u
Q
u
(1) 平行板电容器
u Ed
C
Q
u
+Q
Qd
S
S 0
0S
d
u
d
-Q
(2) 球形电容器
4r E
Q
2
0
b
u E dl
a
C
Q
u
E
Q
(
1
4 0 R1
b
Q
4 0 r
1
)
R2
a
2
-Q
R2 R1
+Q
4 0 R1R2
R2 R1
R2
(3) 柱形电容器
2rhE
E
Qh
0l
Q
2 0 rl
( R1 r R2 )
( R1 r R2 )
h
R1
l
u
Q
R2
R1
2 0lr
C
Q
u
dr
Q
2 0l
ln
R2
R1
R2
2 0l
ln( R2 R1 )
h
l
R1
讨论
若R1>>R2-R1 ,则 C = ?
ln(
R2 R1
1)
u
R2 R1
R1
R1
C
0S
d
C
Q
u
2 0l
ln( R2 R1 )
§ 电场能量
以平行板电容器为例，来计算电场能量。
设在时间 t 内，从 B 板向 A 板迁移了电荷 q (t )
u (t )
q (t )
q(t )
C
q(t )
在将 dq 从 B 板迁移到 A 板需作功
dA u (t )dq
q (t )
dq
C
+
极板上电量从 0 —Q 作的总功为
A dA
Q
0
q (t )
C
dq
Q
2
2C
A
B
W A
Q
Q CU
2
1
CU
2
2C
2
1
QU
2
忽略边缘效应，对平行板电容器有
0s
C
U Ed
d
1
1
2
2
W 0 E sd 0 E V
2
2
w
能量密度
W
V
1
2
0E
2
（适用于所有电场）
dW wdV
不均匀电场中
W dW
V
V
1
0 E dV
2
2
例 已知均匀带电的球体，半径为R，带电量为Q
求 从球心到无穷远处的电场能量
Q
解
E1
Qr
4 0 R
取体积元
R1
3
E2
4 0 r
dV 4r dr
r
2
2
Q
R
Q
E2
E1
2
W1 0 0 E1 dV
2
40 0 R
1
2
Q
2
W2 R 0 E2 dV
2
8 0 R
2
W W1 W2
3Q
2
20 0 R
三.电介质的高斯定理
电位移矢量
0
无电介质时
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
1
E
d
S
S
σ
'
0
0
S
0
加入电介质
E
S
-
-
-
r
-
-
-
-
-
S
r
0 r E dS 0 S
令： D 0 r E E
—介电常数
D dS q0i ,内
S
i
+
+
+
+
+
+
+
+
+
σ ' - - - - - - - - - - - - - - - - 0
E0
通过高斯面的电位移通量等于高斯面所包围的自由电荷
的代数和，与极化电荷及高斯面外电荷无关。
比较
D dS q0i ,内
S
i
1
E dS ( 0 ' )S
0
S
四.介质中的电场能量密度
W
1
CU
2
AB
2
we
1
2
0 r S
E d
2
2
2d
0 r E
2
1
2
1
2
DE
EDV
例 两平行金属板之间充满相对介电常数为r 的各向同性均匀
电介质,金属板上的自由电荷面密度为0 。
E
D
0
0 r
-
-
-
r
-
-
+
+
+
'
-
+
D 0
-
-
-
S
+
DS 0 S
'
+
i
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
S
0
+
+
+
求 两金属板之间的电场强度
解
D dS q0i ,内
- - - - - - - - - - - - - - - - 0
例 平行板电容器，其中充有两种均匀电介质。
求 (1) 各电介质层中的场强
(2) 极板间电势差
解 做一个圆柱形高斯面 S1
D dS qi ( S1内）
S1
D1S1 S1
D1
同理，做一个圆柱形高斯面 S2
D dS qi ( S2内） D2
S2
D1 D2
E1 E2
S1
A
1
2
S2
d1
d2
B
u
B
A
d1 d 2
d1
E
d
r
E
d
r
E dr 1
2
o r1
0
d1
C q / u
o r 2
d2
1 2 S
1d 2 2 d1
• 各电介质层中的场强不同
• 相当于电容器的串联
d1
平板电容器中充介质的另一种情况
由极板内为等势体 u1 u2
E1
u1
d
E2
D1 0 r1E1
D2 2
u E1d E2 d
C
d
q 1S1 2 S2
q
u
1
A
D2 0 r 2 E2
D1 1
考虑到
u2
S1
1
B
2
2 S 2
d
qd
1S1 2 S 2
C1 C2
• 各电介质层中的场强相同
• 相当于电容器的并联
例 一单芯同轴电缆的中心为一半径为R1的金属导线，外层一金
属层。其中充有相对介电常数为r 的固体介质，求介质中的电
场能量.单位长度的电荷为
解 用含介质的高斯定理
E
R1
R2
2 0 r r
R2
1
R1
2
W
E1
h
2
E 2 r h dr
2
8
ln(
R
2
R1
)
r