第十二章 动量矩定理 §12-0 引言 均质轮受外力作用而绕 其质心O作定轴转动,它有 角速度和角加速度,但对于 Foy o Fox A 轮的动量为: P mvC mvO 0 外力的矢量和为: e F F R F ox Foy F
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Transcript 第十二章 动量矩定理 §12-0 引言 均质轮受外力作用而绕 其质心O作定轴转动,它有 角速度和角加速度,但对于 Foy o Fox A 轮的动量为: P mvC mvO 0 外力的矢量和为: e F F R F ox Foy F
第十二章
动量矩定理
§12-0 引言
均质轮受外力作用而绕
其质心O作定轴转动,它有
角速度和角加速度,但对于
Foy
o
Fox A
轮的动量为:
P mvC mvO 0
外力的矢量和为:
e
F
F R F ox Foy F 0
这个问题不能用动量定理来描述轮绕其质心作定
轴转动是的运动。
§12-1 动量矩
动量矩:动量对某点(轴)之矩。
一、质点的动量矩
1、质点对某点之矩:质点在某瞬时的动量对O点之矩
定义为质点在某瞬时对点O的动量矩。
z
mv
M Z mv
M O mv
r
θ
y
o
r xy
x
A
mv xy
质点A对点O的动量矩:
质点A对Z轴的动量矩:
M O (mv ) r mv
大小: M z (mv ) [M O (mv )]z r xy (mv ) xy
方向: M z (mv ) 是代数量,它的正负可以通过右手
定则判断;即:手心握转动轴(坐标轴),四指的指
向为质点动量的方向,大拇指指向为该动量矩的方向,
若方向与坐标轴正向相同为正、相反为负。
或:从坐标轴正向看去,逆时针为正、顺时针为负。
单位:
kg m 2 s
二、质点系动量矩
n
1、对点的动量矩:
LO M O (mi vi )
i 1
2、对轴的动量矩(即上式在各轴上的投影):
Lz M z (mi vi )
3、刚体的动量矩
(1)平移刚体:刚体上任意点的速度均与其质心速度
相同。故可将其看作为质量集中与质心的一个质点。
对点的:
m r v
L M mv
LO M O (mi vi )
对轴的:
z
z
i
C
i
C
M O mv C
(2)定轴转动刚体对转动轴的动量矩:
vi ri
Lz M z mi vi mi ri J z
2
J z 定轴转动刚体对z轴的转动惯量
(3)平面运动刚体的动量矩
平面运动刚体对垂直与其质量对称平面内任一
固定轴的动量矩为:
Lz M z mvC J C
即:其对z轴的动量矩等于刚体随质心作平移时的动
量对该轴的动量矩,与其绕过质心的轴作定轴转动时
对该轴的动量矩之和。
§12-2 动量矩定理
一、质点的动量矩定理
设有质点A,受外力作用,
由牛顿第二定律:
ma F 且
z
dv
a
dt
F
dv
m
F
dt
o
在等式两边同时叉
乘矢径 r
x
r
mv
y
d
r (mv ) r F
dt
d
d
dr
r
(mv )
r mv
mv
dt
dt
dt
左式:
其中:
dr
mv v mv 0
dt
d
(r mv ) r F
dt
d
d
(r mv )
M O mv
其中:
dt
dt
r F MO F
d
M O mv M O F
dt
--质点对点的动量矩定理
即:质点对任一点
的动量矩对时间的
导数等于作用在质
点上的力对该点之
矩。
z
M O mv
MO F
o
x
F
r
mv
y
上式向坐标轴投影后得:
d
M Z mv M Z F
dt
--质点对轴的动量矩定理
即:质点对固定轴的动量矩对时间的导数等于作用在
质点上的力对该轴之矩。
二、质点系的动量矩定理
质点系中某质点对固定点的动量矩定理为:
d
(i)
(e)
M O(mi vi ) M O(Fi ) M O(Fi )
dt
质点系对固定点的动量矩定理为:
d
(i)
(e)
M O(mi vi ) M O(Fi ) M O(Fi )
dt
其中: M O(Fi (i) ) 0
d
d
d LO
M O(mi vi ) M O(mi vi )
dt
dt
dt
e
d LO
M O Fi
dt
--质点系对固定点的动量矩定理
即:质点系对某固定点的动量矩对时间的导数,等于
质点系的外力对该点之矩的矢量和。
上式向轴投影后的:
dLz
(e)
M z(Fi )
dt
--质点系对固定轴的动量矩定理
即:质点系对某固定轴的动量矩对时间的导数,等于
质点系的外力对该轴之矩的矢量和。
三、动量矩守恒定理
0 则
若: M F 0 则
若: M O F
e
e
z
LO C(常矢量)
Lz C(常量)
§12-3 刚体的转动惯量
刚体对某轴的转动惯量:刚体内各质点质量与各质
点到轴的矢径大小平方的乘积之和。
n
J z mi ri 2
i 1
单位: kg m2
一、简单形状刚体的转动惯量
1、均质杆对质心轴的转动惯量
z
m
单位长度的质量为:dm dx
l
l
2
m
1
2
J z 2 x dx ml
0
l
12
C
2
x
l
x
dx
2、均质薄圆环对过圆心轴的转动惯量
单位弧长的质量为:m 2R
取微弧长为: ds R d
Jz
2 R
0
2
0
Z
m
R
ds
2R
2
m
R
R d mR 2
2R
2
3、均质薄圆盘对过圆心轴的转动惯量
可将圆盘分割成无数小的圆环,则各圆环质量为:
m
2m
dm
2rdr 2 rdr
2
R
R
2m 3
dJ z dm r 2 r dr
R
y
2
J z dm r
2
R
0
2m 3
1
2
r
d
r
mR
s
2
R
2
dr
r
1
1
另外: J x J y J z mR 2
2
4
R
x
二、平行移轴定理计算复杂形状刚体转动惯量
平行移轴定理: J z J zc md
2
即:刚体对某轴的转动惯量,等于刚体对过其质心且
与该轴平行的轴的转动惯量,加上刚体的质量与两轴
间距离平方的乘积。
例1:求均质细直杆对过其端点O的轴的转动惯量。
解:
z
J z J zc md
z
2
J ZC
1
ml 2
12
O
l
2
C
1 2
1 1 2
J z ml m ml
12
2 3
2
例2:求钟摆对过点O的轴的转动惯量。
解: 杆对过点对过点O的轴的转动惯量:
1 2
J O1 ml
3
x
1
圆盘对过其质心轴的转动惯量: J c mR 2
2
杆对过点对过点O的轴的转动惯量,用平行移轴定
理求得:
JO2
1
2
2
mR ml R
2
O
J O J O1 J O 2
l
mg
C
1 2 1
2
2
ml mR ml R
3
2
2R
mg
§12-4 质点系相对质心的动量矩定理
本节主要研究:当选择质心作为动量矩和力矩
的矩心世,质心的运动对动量矩的影响。
z
r r
i
C
i
A
---(1)
v i vC v ir ---(2)
vir
r
r
i
C
i
v e vc
C
y
o
v
C
x
vi
z
vir
A
r
1、质点系相对固定
点运动的动量矩
r
i
C
i
v e vc
C
y
o
v
C
x
LO M O mi vi ri mi vi
---(3)
2、质点系相对定坐标系的运动(绝对运动)的对质心
的动量矩
LC M C mi vi i mi vi
---(4)
vi
3、质点系相对质心的运动(相对运动)对质心的动
量矩
LCr M C mi vir i mi vir
---(5)
将(2)式代入(4)得:
LC M C mi vi i mi vC vir
LC mi i vC i mi vir
C 0
m
i
i
m C 0
LC i mi vir LCr
----(6)
将(1)式代入(3)得:
LO rC i mi vi rC mi vi i mi vi
LO rC mvC LC
----(7)
将(7)式代入(6)得:
LO rC mvC LCr
----(8)
rC mvC
--质点系质心的动量对固定点的动量矩
L Cr
--质点系相对质心的运动(相对运动)对
质心点的动量矩
则第(8)式可写为如下格式:
LO M O mv C M C mi v Cr
即:质点系对于固定点的动量矩,等于质点系质心动量
对该点的动量矩,与质点系相对质心的运动对质心动量
矩的矢量和。
e
d LO
由动量矩定理:
M O Fi
dt
左边:
d L O d L Cr
v C mv C r C ma C
dt
dt
右边:
M
F M F r
e
O
e
i
C
i
Fi
e
C
e
d L Cr
M C Fi
dt
--质点系相对质心的动量矩定理
即:质点系在相对质心作平动的坐标系的运动中,相对
质心的动量矩对时间的导数,等于质点系上所有外力对
质心之矩的矢量和。
§12-5 刚体的运动微分方程
一、定轴转动刚体的运动微分方程
对转动轴的动量矩为:
动量矩定理:
Lz J z
dLz d
(e)
J z M z(Fi )
dt
dt
且
(e)
J z M z(Fi )
(e)
J z M z(Fi )
--刚体定轴转动时的运动微分方程
二、平面运动刚体的运动微分方程
刚体相对质心轴的动量矩定理为
dLCr
e
J C M C Fi
dt
----(1)
刚体质心运动的运动微分方程为
maC F i
e
----(2)
(1)、(2)式共同成为刚体平面运动的运动微
分方程为
例1:单摆将质量为m的小球用长为的线悬挂于水平轴
上,使其在重力作用下绕悬挂轴O在铅直平面内摆动。
0
线自重不计且不可伸长,摆线由偏角 时从静止开始
释放,求单摆的运动规律。
解:将小球视为质点。其速度
为 v l 且垂直于摆线。摆对轴
的动量矩为
2
mo mv ml l ml
mo T o
mo F mglsin
O
0
T
l
C
v
mg
注意:在计算动量矩与力矩时,符号规定应一致(在
本题中规定逆时针转向为正)。
根据动量矩定理,有
dx
2
m l m glsin
dt
即
g
sin 0
l
——(1)
g
sin 并令
l
2
n
则(1)式化为
0
2
n
解此微分方程,并将运动初始条件带入,即当t=0时
0
0 0
0 cosnt
由此可知,单摆的运动是做简谐振动。其振动周期为
2
l
T
2
n
g
例2:双轴传动系统中,传动轴Ⅰ与Ⅱ对各自转轴的转动惯量
为 J1 与 J 2 ,两齿轮的节圆半径分别为 R1 与 R2 ,齿数分别
为 z 1 与 z2 ,在轴Ⅰ上作用有主动力矩 M 1 ,在轴Ⅱ上作用有
阻力矩 M 2 ,如图所示。求轴Ⅰ的角加速度。
解:轴Ⅰ与轴Ⅱ的定轴转动微分方程分别为
J1 1 M 1 P R1
传动比为:
R2 1
z2
i
R1 2
z1
联立上述三式得:
M1 M 2 i
1
J1 J 2 i 2
J 2 2 M 2 P R2
z2
II
M2
I
z1
M1
例3:质量为m半径为R的均质圆轮置放在倾角为 的斜面上,
在重力的作用下由静止开始运动,设轮与斜面间的静、动滑动
摩擦系数分别为 f 、f ,不计滚动摩阻。试分析轮的运动。
解:取轮为研究对象,根
据平面运动微分方程有
y
mac mgsin F
0 m gcos N
J c FR
且
R
mg
N m g cos
N
aC
F
情况一:设接触处绝对光滑。则F=0
ac g sin
0
情况二:设接触处绝对粗糙。轮只滚不滑,做纯滚动。F为
静滑动摩擦力。
ac R
2
ac g sin
3
1
F g sin
3
2
g sin
3R
例4:均质滑轮A、B的质量为 m1 与 m2 ,半径分别为 R1与R2 ,
物体C的质量为 m3 ;
求:重物的加速度,系统中各绳的张力,轴承O的约束反力。
解:设个物体的数度如
图示,且:
1
v3 v2 R22 R11
2
M
R1 F
Oy
1
m1 g
v2
2
对系统进行受力分析如
图
A
FOx
B
m2 g
R2
C
v3
m3 g
则整个系统对O点的动量矩为:
LO LOA LOB LOC
J11 J 22 m2 v2 R2 m3v3 R2
1
2
J 1 m1 R1
2
1
2
J 2 m2 R2
2
1
LO 4m1 3m2 2m3 R2 v3
2
由动量矩定理得:
M
R1 F
Oy
1
e
d LO
M O Fi
dt
A
FOx
m1 g
2M m2 m3 gR2
a3
4m1 3m2 2m3 R2
v2
2
B
m2 g
R2
C
v3
取分离体C:
m3a3 T3 m3 g
m3 g
T3
v3
C
m3 g
取分离体B:
T2
T1
m2 a2 T1 T2 T3 m2 g
v2
2
J 2 2 T1 R2 T2 R2
B
R2
m2 g
取分离体C :
m1a1x FOx
m1a1 y 0
J11 M T2 R1
联合上述各式可求
得各未知量
M
R1 F
Oy
1
FOx
A
T2
m1 g
T1