Transcript 第三章
第三章 林婷如 問題 • 1. 如果你知道質點在路徑上兩點的位置向量，同時也知道這一點移 動到另一點所需時間，你是否可決定此質點的瞬時速度？平均速度？ 請解釋之。 Sol : (a) 不可以決定順時速度 (b) 可以決定平均速度 • 2. 請畫出一移動圖，以表示拋物體在其路徑中的某幾個點上的速度 與加速度，假設 (a) 拋物體被水平地拋出；(b) 拋物體被以一拋射角拋 出。 Sol : • 3. 一顆籃球被拋出去時，已知道其初速在 與 的分量。忽略空氣的 阻力，請描述你如何計算球到達軌跡的頂端時的 (a) 座標；(b) 速度； (c) 加速度。若考慮空氣的阻力，結果會如何變化？ Sol : • (a) • 4. 一球由建築物頂端水平擲出，一秒後另一球以相同位置、相同速 度水平擲出，請問運動中何時兩球彼此最接近？是否第一球永遠比第 二球運動還快？當球落地時，兩球相差多少時間？是否可改變第二個 球的水平速度使其與第一個球同時到達地面？ Sol : • The balls will be closest together as the second ball is thrown. Yes, the first ball will always be moving faster, since its flight time is larger, and thus the vertical component of the velocity is larger. The time interval will be one second. No, since the vertical component of the motion determines the flight time. • 5. 太空船在太空中等速度漂流，突然太空船一側的燃料糟外漏，產 生一等加速度，且與初速方向垂直，太空船的方位並無改變，所以此 加速度保持與原來的速度垂直，請問在此狀況下太空船之路徑為何形 狀？ • Sol :會形成拋物線 • 6. 陳述下列那些物理量在投射體沿拋沿拋物線軌跡運動時是維持定 值的。(a) 速率；(b) 加速度；(c) 速度之水平分量；(d) 速度之垂 直分量。 • Sol : (a) 不會(b) 會(c) 會(d) 不會 • 7. 一拋物體以初速率 與水平面夾某角度發射，若忽略空氣阻力。 請問此拋物體是否為自由落體？垂直方向的加速度為何？水平方向的 加速度為何？ • Sol : 是為自由落體；垂直方向為向下加速度；水平加速度為零。 • 8. 若不考慮空氣阻力，當某拋物體被以與水平線夾角 方向拋出時， 有最大的拋射距離。若考慮空氣阻力，拋射的最佳的角度會多於還是 少於 ？請解釋。 • Sol : 最佳角度則小於45°；因物體發射出時間越長，在空氣中的阻 力越會改變部分的速度。因此垂直分量的速度是飛行時間的速度，故 最佳角度應是小於45° • 9. 一拋物體在地球上以一初速度被拋出。另一拋物體在月球上以相 同初速度被拋出。若不考慮空氣阻力，那一個拋物體有較大的拋射範 圍？那一個拋物體被拋得較高？(註：在月球上，自由落體的加速度 大約為 ) • Sol : 月球上物體拋出的範圍較大，也拋得較高。 • 10. 修正下列說明：「跑車以每小時90英哩之速度繞圓形跑道行 駛？」 • Sol : 跑車以時速每小時90英哩之速度繞圓形跑道行駛。 • 11. 請解釋下列質點是否有加速度：(a) 質點以等速率做直線運 動；(b) 質點以等速率做曲線運動。 • Sol : (a)沒有 (b)有 • 因在這兩種情況下，質點是連續不斷的在改變速度向量的方向。 • 12. 一物體以等速率在圓形路徑上運動，請問 (a) 此物體之速度是 否為常數？(b) 其加速度是否為常數？ • Sol : • (a)速度不是常數，因目標一直部斷在改變運動運動方向的速度向量。 • (b)加速度也不是常數，因為點的方向一直是指向圓心的中心點。 • 13. 請描述一位駕駛人如何以等速率駕駛一輛汽車使得 (a) 加速 度為零；或者 (b) 加速度之大小保持為常數。 • Sol : (a) 直行(b)在一個圓或直行 • 14. 一位溜冰選手表演八字動作，此動作包含兩個大小相等且相交 於一點的圓形路徑。第一圈她均勻地增加速率，到第二圈她以等速率 移動。請畫出此動作的曲線圖，並在路徑上的幾個點表示出她的速度 與加速度。 Sol : • 15. 一位水手從船桅上丟下一把扳手。這時船以穩定且高速度筆直 前進。這把扳手最後將碰撞甲板何處？(伽利略提出之問題) • Sol : • 扳手將達到在該基地的桅杆。如果空氣阻力是一個因素，這將背風的 輕該基地的杆子，分散方向，空氣相對運動的甲板。 • 例如，扳手的影響問題，可以在前面的桅杆。 • 16. 一位乘客從一列等速行駛的火車上往上拋出一球。(a) 描述乘客 所見球的路徑。描述在火車外之軌道上觀察者所見之路徑；(b) 如果 火車在軌道上加速前進，這些觀測會如何改變？ • Sol: (a)球會就直上直下的觀察乘客。球會動之以拋物線軌跡的看到地面觀察 員。 (b)無論是客運和地面觀測者看來，球朝著拋物線軌跡，雖然這兩個觀察 道路不會是相同的。 習題 • 1. 一汽車駕駛者以20.0 m/s之速率朝南行駛3.00分鐘，然後朝西方 以25.0 m/s之速率行駛2.00分鐘，最後以30.0 m/s之速率朝西北方行駛 1.00分，則在整個6.00分鐘的行程中，試求 (a) 全部向量位移；(b) 平 均速率；(c) 平均速度。令東方為正 軸。 Sol : 北 東 位移 平均速率 平均速率 • 3.有一條魚在海中距離某一岩石 的水平面上某一點， 以速度 游泳，若其以等加速度 游了20.0秒後，速 度為 。(a) 求加速度的各分量？(b) 加速度相對於 單位向量 的方向？(c) 若此魚仍維持等加速度，則在 t=25.0秒後，其 方向為何？ Sol : • 5.有一質點以一加速度 與初速度 點出發。求 (a) 任何時間 的位置與速度向量；(b) 當 的座標與速率。 Sol : 以知條件 以知條件 ，由原 時質點 • 7.在一酒吧裡，有一客人將一空的啤酒杯滑向櫃台要求重新注滿，酒 保沒有注意到此酒杯，而使其滑下櫃台，掉到距櫃台底部1.40 m的地 方，若櫃台高度為0.860 m。(a) 酒杯離開櫃台之速度為何？(b) 當酒杯 恰好撞擊地板時之速度方向為何？ Sol : • 9.馬雅人統治時期，很多學校體育隊伍都以動物界中最會跳的動物如 美洲獅 (山獅) 為隊名。牠以對地成 角跳躍時可達高度12.0 ft。單位用 SI制，應以什麼樣的速度可達到這樣的高度？ Sol : • 11.一個砲口速率為1 000 m/s的大砲被用來使山坡崩塌。一個目標在大 砲水平方向2 000 m，上方800 m。大砲的角度為多少可擊中目標？ Sol : • 13.有一拋體，當其到達最大高度時的速率恰為其在一半高度時的速率 之半，求此物被拋出時的角度？ Sol : • 15.在定位踢球時，必須將足球由距離目標36.0 m (約40碼) 處開始，而 有半數的觀眾希望此球能飛躍球門橫木，其高度為3.05 m，當此球以 仰角 ，20.0 m/s之速率由地面被踢出時。(a) 此球經過橫木時的高度？ (b) 經過橫木後，此球將繼續上升或下降？ Sol : • 17.有一遊樂場位於學校的屋頂平台，距街道6.00 m高，此建築物的牆 高7.00 m，恰好在遊樂場的四周形成一個1.00 m高的圍欄。當有一球 掉落街道時，正好有一行人在距離建築物底部24.0 m處以仰角 往回丟， 在2.20 s後，此球恰好躍過圍牆上某一點。求 (a) 球被丟出時的速率； (b) 球躍過牆時的高度；(c) 球落地時與圍牆的距離。 Sol : • 19.一位足球員在懸崖上踢一石頭，此石頭落到懸崖下40.0 m的水潭。 若足球員在3.00 s後聽到濺水聲，請問石頭的初速率是多少？假設空 氣中的音速是343 m/s。 Sol : • 21.有一煙火在其軌跡的頂點 h處爆炸，以相同速率v朝四方灑下一堆 灰燼碎片，若灰燼掉落地面時不考慮空氣阻力，求灰燼以最終速度撞 擊地面時最小的角度為何？ Sol : • 23.如圖P3.23所示的運動員，將一質量為1.00 kg的鐵餅沿著半徑1.06 m 的圓旋轉，鐵餅最大速度為20.0 m/s，求此鐵餅的最大徑向加速度為 何？ Sol : • 25.有一半徑為0.500 m的輪胎，以200轉/分的速率轉動，求其邊緣處 的速度與加速度。 Sol : • 27.如圖P3.27，有一太空人繞著地球周圍軌道運行，並準備將太空船 靠向Westar VI衛星，此衛星之軌道距地表上方600 km，其重力加速度 為 ，若地球半徑為6 400 km，求此衛星之速率與其繞地球一圈所需之 時間？ Sol : • 29.有一火車在行經一水平彎路處，將其速度在15.0 s內由90.0 km/h減 為50.0 km/h，若其曲率半徑為150 m，求在火車速率達到50.0 km/h時 的加速度。 Sol : • 31.圖P3.31為一質點在某一時間以順時針方向繞著一半徑2.50 m之圓 其整個加速過程。在此瞬間，求 (a) 徑向加速度；(b) 質點之速率；(c) 其切線加速度。 Sol : • 33.一河流以0.500 m/s的速率穩定的流動，有一學生向上游了1.00 km 後又游回原點，若此學生能以1.20 m/s的速率在靜止的水中游泳，則 在這段過程中將花多久的時間？若水是靜止的，又將花多久的時間？ Sol : • 35.有一飛行員注意到其羅盤指向西方，此時飛機相對於空氣之速率為 150 km/h，若風是以30.0 km/h，朝北吹，求飛機相對於地面之速度。 Sol : • 37.有一學生乘坐在以等速率10.0 m/s沿著一直線行駛的火車平台上， 當他朝空中以仰角60.0 °拋起一球，此時，其教授站在附近的地面上， 所看到的球是垂直上拋，則他所觀察到的高度為何？ Sol : • 39.汽車的轉彎性能是在斜坡墊上測試的。這斜坡墊是具有乾燥且平坦 的圓形跑道，可測試汽車最大的轉彎速率。然後向心加速度或稱橫向 加速度可計算為自由落體加速度 的倍數。影響汽車效能的因素含車高 與車寬，還有輪胎的特性和車子的懸吊系統。一輛Dodge Viper GTS-R 可以速度139 km/h在半徑為156 m的斜坡墊上通過。計算它最大橫向 加速度，並與表3.1的數據做驗證。 Sol : 附加習題 • 41. 「噴射彗星機」。在無重力太空人訓練及設備測試中，美國太空 中心一駕編號KC135A飛機沿一拋物線路徑飛行。如圖P3.41所示，飛 機由2 4000 ft爬升至31 000 ft。飛機以機鼻朝上 速度143 m/s進入零 拋 物線，並以機鼻朝下 速度143 m/s離開零 狀況。在這段飛行中，飛機 和有襯墊的機艙內處於自由落體狀況，如彈道一般的行進。然後飛機 以上升加速度 拉升脫離急速下降狀態，並沿著半徑為4.13 km的垂直 圓周飛行。(在這段飛行期間，機內乘客感受到之加速度為 。) 在高處 演練時飛機的 (a) 速率和 (b) 高度為何？(c) 零重力所花的時間為何？(d) 飛機處於底部飛行路徑的速率為何？ Sol : • 43.繩子的末端有顆球，且在做半徑為0.300 m的水平圓周運動。此圓 平面在地面上方1.20 m。當繩子斷掉，球自某位置被筆直的拋出，並 落於水平距離為2.00 m的地面上。請求出球在做圓周運動期間的半徑 加速度。 Sol : • 45.巴里．龐德擊出全壘打，將球打到距本壘板130 m遠，高21.0 m最 上層之露天看台上。球以對地 之仰角擊出，空氣阻力忽略不計。計算 (a) 球之初速率；(b) 球飛至最上層看台所經過之時間；(c) 球至看台時 之速度分量和速率。假設球在距地高1.00 m處被打中。 Sol : • 47.一籃球選手身高2.00 m，站在距籃框10.0 m的地板上，如圖P3.47所 示。若投籃出手角度與水平夾角40.0 ° ，則他出手的速率為何才可使 籃球空心進籃得分？籃框的高度為3.05 m。 Sol : • 49.你的祖父是轟炸機的副駕駛員，以275 m/s的速率飛行於高於地面3 000 m的高度。(a) 轟炸員投下炸彈，炸彈在被投下和撞擊地面之過程 中，水平地移動了多遠？忽略空氣阻力。(b) 忽然有來自地面上的人 的攻擊，但轟炸員來不及投下炸彈，結果，飛行員保持平面路線、高 度和速率穿過高射砲的攻擊。當炸彈碰到地面，飛機將會在那裡？(c) 這飛機配備望遠投彈瞄準設備，供投彈時觀測炸彈命中目標之情形。 此望遠投彈瞄準器應設定與垂直方向成多少角度才適當？ Sol : Sol : • 51.一輛汽車停在一個陡峭的斜坡上看海，斜坡水平俯角為37.0 ° ，突 然煞車失靈，汽車由靜止以等加速度 滑向距離50.0 m外的垂 直峭壁，峭壁距海深30.0 m。求 (a) 汽車滑行到峭壁邊緣時的速率及 所需時間？(b) 汽車落海時的速度？(c) 汽車由開始滑行至落海的全部 時間？(d) 汽車落海處距峭壁多遠距離？ Sol : Sol : • 53.一隻心意已決的土狼再次跑出去追一隻行蹤不定的走鵑。土狼穿上 一雙有噴射器的直排輪，噴射器供應 的加速度。土狼在離 崖邊70.0 m處，走鵑迅速地向崖邊移動，當走鵑經過土狼的位置時， 土狼便開始追走鵑。(a) 走鵑以等速率移動，請求走鵑比土狼早一步到 達崖邊的最小速率。在崖邊，走鵑突然回轉得以逃脫，而土狼仍筆直 的向前。土狼飛出崖邊，他的直排輪仍水平地且持續運作，加速度在 空氣中為 ；(b) 懸崖在寬大的峽谷上方100 m，請求 出土狼落在峽谷的位置；(c) 請求出土狼衝擊速度的分量。 Sol : Sol : • 55.一火箭彈射器以初速率100 m/s，水平角度 射出火箭。火箭的引擎 立即點燃，前3.00 s，火箭以加速度 沿最初的移動軌跡移動。 之後引擎動力減弱，火箭在自由落下中持續移動。(a) 求火箭到達的最 大高度；(b) 總飛行時間；(c) 水平移動距離。 Sol : Sol : • 57.一滑雪者以速度10.0 m/s，水平仰角15 °離開跳躍台，如圖P3.57所 示，山坡斜面的斜角為50.0 ° ，忽略空氣阻力。求 (a) 離開跳台後多少 距離著陸？(b) 落地時速度各分量為何？(若空氣阻力考慮進去，對結 果有何影響？為何選手將手貼近身體兩側，以增加飛行距離？) Sol : • 59.在華盛頓州西北部的盤得奧利多河流域，有一釣客從馬得林瀑布展 開溯溪之旅。他的小船採用外掛的馬達推進，並以等速率 前進。水 流以固定且低的流速 流動。他溯溪向上游走2.00 km時冰筒落入水 中。他發現時已向上游又多走15.0分鐘。這時他調頭朝下游尋找，船 對水之相對速率相同未變。他撿回冰筒的地點大約就是他的出發點。 水之流速多快？求解有兩種方法。(a) 第一，視地球為參考座標系。以 地球為準，船溯溪而上之速率為 ，順流而下之速為 ； (b) 第二種比較簡單而細緻的解法將水視為參考座標系。這種方法在 許多複雜的問題上有重要的應用。例如計算火箭及繞地球人造衛星之 運動情形，和分析由質量大之目標上次原子級粒子之散射情形。 Sol : • 61.一艘敵艦在一山形小島東側，如圖P3.61所示，距小島山頂水平距 離為2 500 m，山高1 800 m，以初速250 m/s發射炮彈，若小島的西側 岸邊距山頂水平距離為300 m，則兩側的船隻距岸邊多少距離可躲過 敵艦的攻擊？ Sol :